2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)(四川卷)解析

2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科) (四川卷)解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的。 1、 设集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x ? 4 ? 0} ,则 A ? B ? (
2



A. {?2} B. {2} C. {?2, 2} D. ? 答案:A 思路分析: 考点解剖:本题主要考查解方程与集合的基本运算. 解题思路:此题准确的求出集 A、B 至关重要,产生两集合后,再求交集即可。 解答过程:易得 A ? ??2? , B ? ??2, 2? 于是 A ? B ? ??2? 规律总结: 求集合的交与并, 首先要正确的求出集合的具体元素或元素所满足的关系式, 然后再交或并. 2、 如图,在复平面内,点 A 表示复数 z ,则图中表示 z 的共轭复数的点是( )

x

A B
A. A B. B C. C D. D 答案:B 思路分析: 考点解剖:本题主要考查共轭复数的概念.

C O D
y

解题思路:此题通过两共轭复数之间的关系即可产生结论。

1

解答过程:由两共轭复数的实部相同,虚部互为相反数,因此答案为 B. 规律总结:共轭复数的实部相同,虚部互为相反数,在复平面上关于 x 对称.

3、 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )

答案:D 思路分析: 考点解剖:本题主要考查三视图转化为几何体. 解题思路:此题理解好三视图与几何体之间的关系即可。 解答过程:注意到俯视的两个圆,就可以产生结论. 规律总结:对于由三视图产生几何体,一定要认真分析图形的特征,仔细分析每个面的 形状的特点,然后产生最后结论. 4、 设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集。若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B ,则( A. ?p : ?x ? A, 2 x ? B B. ?p : ?x ? A, 2 x ? B C. ?p : ?x ? A, 2 x ? B D. ?p : ?x ? A, 2 x ? B 答案:D 思路分析: )

2

考点解剖:本题主要考查含有一个量词的命题的否定. 解题思路:此题理解好含有一个量词的命题与其否定之间的形式转化即可。 解答过程: 注意到 ?x ? A 在否定中应该是 ?x ? A , 2x ? B 在否定中应该是 2x ? B , 而 于是得答案为 D. 规律总结:对于含有一个量词的命题的否定在书写时要注意两点: (1)转换量词。 (2) 否定结论. 5、 函数 f ( x ) ? 2sin(? x ? ? )( ? 0,? ? 别是( )

?
2

?? ?

?
2

)的部分图象如图所示,则 ? , ? 的值分

2
π 3

y

O -2

5π 12

x

A. 2, ? B. 2, ? C. 4, ? D. 4,

?
3

?
6

?
6

? 3

答案:A 思路分析: 考点解剖:本题主要考查三角函数的图像. 解题思路:此题理解好建立在图像的基础上如何求周期、如何求初相即可。 解 答 过 程 : 由

3 2? 5? ? ? 代 入 得 ? ? ? (? ) ? ? ? 2 , 再 将 x ? ? 4 ? 12 3 3

2 s i ? [?2 n 3

?

?? (

结合图像,可得 ? ? ? )? ] 0

?
3

规律总结:对于由图像求解析式 A sin(? x ? ? ) 的问题,一般都是看最高点与最低点求

A ,再结合图形求 ? ,然后再代入特殊点求 ? .
3

6、 抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ?
2

2

y2 ? 1 的渐近线的距离是( 3



A.

1 2
3 2

B. C. 1

D. 3 答案:B 思路分析: 考点解剖:本题主要考查点到直线的距离. 解题思路:此题理解好点到直线距离公式的应用即可。 解答过程:由 y ? 4 x 的焦点为 (1, 0) ,双曲线 x ?
2

2

y2 ? 1 的渐近线方程 3x ? y ? 0 3

则点 (1, 0) 到直线 3x ? y ? 0 的距离为

| 3 ?0| ( 3)2 ? 12

?

3 2
| Ax ? By ? C | A2 ? B 2
,在应用于该公

规律总结:点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 距离为 式时,一定要先将直线方程化成一般形式. 7、函数 y ?

x3 的图象大致是( 3x ? 1



答案:C 思路分析: 考点解剖:本题考查函数的图像性质。 解题思路:此题理解好函数解析式与图像特征之间的关系即可. 解答过程:首先注意到函数定义域要求 x ? 0 ,于是可排除选项 A;再注意到 x ? 0 时,

y ? 0 ,可排除选项 B;再注意到 x 充分大时, x3 ? 3x ? 1 ,于是又排除选项 D。

4

规律总结:处理有关函数图像问题,首先看函数的定义域,然后再看奇、偶性,最后再 看特殊点. 8、 从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a, b ,共可得到 lg a ? lg b 的 不同值的个数是( A. 9 B. 10 C. 18 D. 20 答案:C 思路分析: 考点解剖:本题考查排列、组合的应用。 解题思路:此题理解好函数解析式与图像特征之间的关系即可. 解答过程:首先不考虑任何情况将有 A5 ? 20 种,其中当 a ? 1, b ? 3 与 a ? 3, b ? 9 值
2



相同。 同样 a ? 3, b ? 1与 a ? 9, b ? 3 值也相同。 lg a ? lg b 的不同值的个数是 A5 ? 2 ? 18 故
2

规律总结:处理排列组合问题一定要注意两点: (1)重复。 (2)遗漏. 9、 节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且 都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮。那么这两串彩 灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( A. )

1 4 1 2 3 4 7 8

B.

C.

D.

答案:C 思路分析: 考点解剖:本题考查几何概型的概率。 解题思路:此题理解好几何概型的概率的求解方法. 解答过程:设两串彩灯第一次分别在第 x, y 秒闪亮,那么所有基本事件的总体满足
5

?0 ? x ? 4 ?0 ? x ? 4 ? 而满足第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的基本事件 A 满足 ?0 ? y ? 4 , ? ?0 ? y ? 4 ?| x ? y |? 2 ?

于是作图可得 P( A) ?

16 ? 2 ? 2 3 ? 16 4

规律总结:处理几何概型的概率问题,首先要分析变量之间的关系,然后建立变量之间 的约束关系式,最后作图,通过图形产生结论. 10、 设函数 f ( x) ?

e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数) 。若曲线 y ? sin x 上存在


点 ( x0 , y0 ) 使 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是( A. [1, e] B. [e ? 1,1] C. [1, e ? 1] D. [e ? 1, e ? 1] 答案:A 思路分析: 考点解剖:本题考查函数的性质。 解题思路:此题理解好关系式 f ( f ( y0 )) ? y0 即可. 解答过程:由 f ( x) ?
?1 ?1

e x ? x ? a 易得 f ( x) 为增函数,由 f ( x) ? 0 ,从而得 0 ? y0 ? 1

于是,只能有 f ( y0 ) ? y0 ,否则,若 f ( y0 ) ? y0 ,则 f ( f ( y 0)) ? f ( y 0) ?y 0 与条件矛 盾;若 f ( y0 ) ? y0 ,则 f ( f ( y0 )) ? f ( y0 ) ? y0 也与条件矛盾;那么,问题转化为 f (t ) ? t 在

[0,1] 上恒有解。由 t ? et ? t ? a ? a ? et ? t 2 ? t ,令 g (t ) ? et ? t 2 ? t , t ? [0,1],因为
g / (t ) ? et ? 2t ? 1,再令 ? (t ) ? et ? 2t ? 1 ,得 ? / (t) ? et ?2 ,显然,当 t ? ln 2 时,? (t ) 取
得 最 小 值 2 ? 2ln t ? 1 ? 0 , 于 是 g (t ) ? 0, 函 数 g (t ) 在 [0,1] 上 是 增 函 数 , 于 是 有
/

g (0) ? a ? g (1) 即 1 ? a ? e
6

规律总结:本题难度较大,首先题意难以理解,能够说明 f ( y0 ) ? y0 都有不小的难度。 其次,当我们产生 f ( y0 ) ? y0 之后,再分析 a 的范围依然不轻松,要两次引入函数借助导 数分析其性质。可见真正通过分析产生正确结论,实在是不易啊!不过,作为选择题,从概 率的角度说,应该有四分之一的考生选择对. 第二部分 注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。 作图题可先用 铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 (非选择题 共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、 二项式 ( x ? y ) 的展开式中,含 x y 的项的系数是____________。 (用数字作答)
5 2 3

答案:10; 思路分析: 考点解剖:本题主要考查二项式定理的应用. 解题思路:此题理解好二项展开式的通项即可。 解答过程:由 Tr ?1 ? C5 x
r 5? r 3 y r ,比较知 r ? 3 ,于是,含 x 2 y 3 的项的系数是 C5 ? 10

规律总结:求解与二项式定理有关问题,必须熟练掌握二项展开式的通项公式,它是处 理此类问题的基础,也是处理此类问题的关键。. 12、 在 平 行 四 边 形 ABCD中 , 对 角 线 AC 与 BD 交 于 点 O , AB ? AD ? ? AO , 则

??? ???? ?

????

? ? ____________。
答案:2; 思路分析: 考点解剖:本题主要考查平面向量的应用. 解题思路:此题理解好平面向量加法法则即可。 解 答 过 程 : 由 于 ABCD是 平 行 四 边 形 , 且 对 角 线 AC 与 BD 交 于 点 O , 于 是 ??? ???? ??? ? ? AB ? AD ? AC ???? ???? 而 AC ? 2 AO ,故 ? ? 2 . 13、 设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? (

?
2

, ? ) ,则 tan 2? 的值是____________。

7

答案: 3 ; 思路分析: 考点解剖:本题主要考查三角公式基本的应用. 解题思路:此题理解好特殊角的三角函数值即可。 解答过程:由 sin 2? ? ? sin ? ? sin ? (2cos ? ? 1) ? 0 , 因为 ? ? ( 14、 已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x。那么,不等式
2

?

1 2? 4? ,于是 tan 2? ? tan , ? ) ,所以 cos ? ? ? ? ? ? ? 3. 2 2 3 3

f ( x ? 2) ? 5 的解集是____________。
答案: (?7,3) ; 思路分析: 考点解剖:本题主要考查奇、偶性与单调性关系的应用. 解题思路:此题理解好偶函数在原点两侧函数式之间的关系即可。 解答过程: f ( x) 是定义域为 R 的偶函数, x ? 0 时,f ( x) ? x ? 4 x 。 由 当 那么, x ? 0 当
2

时, f ( x) ? x ? 4 x
2

于是,由 ?

?x ? 0
2 ?( x ? 2) ? 4( x ? 2) ? 5

?0? x?3

由?

?x ? 0
2 ?( x ? 2) ? 4( x ? 2) ? 5

? ?7 ? x ? 0

15、 设 P , P2 , ???, Pn 为平面 ? 内的 n 个点。 在平面 ? 内的所有点中, 若点 P 到点 P , P2 , ???, Pn 1 1 的距离之和最小,则称点 P 为点 P , P2 , ???, Pn 的一个“中位点”。例如,线段 AB 上的任意 1 点都是端点 A, B 的中位点。现有下列命题: ①若三个点 A, B, C 共线, C 在线段 AB 上,则 C 是 A, B, C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点 A, B, C, D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点。 其中的真命题是_______。 (写出所有真命题的序号) 答案:①、④; 思路分析:

8

考点解剖:本题主要考查创新能力的应用. 解题思路:此题理解好“中位点”的概念即可。 解答过程: 命题①正确, 容易理解。 命题②不正确, 直角三角形的中位点应该直角顶点。 命题③不正确,因为四个点 A, B, C, D 共线,当 AB ? BC ? CD 时, B, C 两点都是中位点; 命题④正确,由三角形任意两边和大于第三边可知。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项,求数列 {an } 的首项、公 差及前 n 项和。 思路分析: 考点解剖:本题考查等差数的通项公式及前 n 项和公式. 解题思路:设出公差后,借助方程组求出首项与公差即可完成求解. 解答过程: 解:设数列 {an } 的公差为 d ,前 n 项和为 S n

规律总结: 等差数列的通项公式及前 n 项和公式是等差数列的基础内容, 也是常考内容. 求解时,主要利用方程思想通过列、解方程或方程组产生结论。 17、(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

2cos 2

A? B 3 cos B ? sin( A ? B)sin B ? cos( A ? C ) ? ? 。 2 5
??? ?
??? ?

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影。 思路分析: 考点解剖:本题考查两角和的余弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理. 解题思路:设出公差后,借助方程组求出首项与公差即可完成求解. 解答过程: 解: (Ⅰ)由 [1 ? cos( A ? B)]cos B ? sin( A ? B)sin B ?cos( A ? C) ? ?

3 , 5

9

得 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B)sinB ? ?

3 5

则 cos( A ? B ? B) ? ? , 即cosA ? ? (Ⅱ)由正弦定理,有

3 5

3 5

a b b sin A 2 ? , 所以,sin B = ? sin A sin B a 2
由题知 a>b,则 A>B,故 B=

? ,根据余弦定理有 4 2 4

?

?

2

? 3? ? 52 ? c 2 ? 2 ? 5c ? ? ? ? ? 5?

解得 c=1,或 c=-7(负值舍去) 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ?

??? ?

??? ?

??? ?

2 2

规律总结:熟练运用两角和的余弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函 数的关系等是求解三角基本问题的前提,这些基本公式与定理所处地位相等,每年都会考, 具体考哪些,谁都无法估计,本题是将这些基础内容全都考查了。 18、(本小题满分 12 分) 某算法的程序框图如图所示, 其中输入的变量 x 在 1, 2,3, ???, 24 这 24 个整数中等可能随 机产生。 (Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 P (i ? 1, 2,3) ; i (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n 次后,统计 记录了输出 y 的值为 i(i ? 1, 2,3) 的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。

10

甲的频数统计表(部分) 运行 次数 n 输出 y 的值 为 1 的频数 输出 y 的值 为 2 的频数 输出 y 的值 为 3 的频数

30
?

12
?

11
?

7
?

2100
乙的频数统计表(部分) 运行 次数 n

1051

696

353

输出 y 的值 为 1 的频数

输出 y 的值 为 2 的频数

输出 y 的值 为 3 的频数

30
?

14
?

6
?

10
?

2100

1027

376

697

当 n ? 2100 时 , 根 据表 中 的数 据, 分 别 写 出甲 、 乙所 编程 序 各 自 输出 y 的 值 为 的频率(用分数表示) ,并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可 i(i ? 1, 2, 3) 能性较大;
11

(Ⅲ)将按程序框图正确编写的程序运行 3 次,求输出 y 的值为 2 的次数 ? 的分布列及 数学期望。 思路分析: 考点解剖:本题考查算法与程序框图、古典概型、频数、频率、离散型随机变量的均值 等. 解题思路:首先要认清程序框图的实质,全面了解输入、输出及判断框的要求与功能. 其次了解古典概型及离散型随机变量概率的求解方法即可。 解答过程: 解: (Ⅰ)变量 x 是在 1,2,3,???,24 这 24 个整数中随机产生的一个数,共有 24 种可能。 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时,输出 y 的值为 1,故

P? 1

1 2
当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输出 y 的值为 2,故 P2 ? 当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 P ? 3

1 3

1 6

所以,输出 y 的值为 1 的概率为

1 1 ,输出 y 的值为 2 的概率为 ,输出 y 的值为 3 的 2 3

概率为

1 6

(Ⅱ)当 n=2100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的概率如下:

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程符号算法要求的可能性较大。 (Ⅲ)随机变量 ? 可能的取值为:0,1,2,3

1 1 8 11 1 2 4 0 1 , P(? ? 1) ? C3 ? ( ) ? ( ) ? P(? ? 0) ? C3 ? ( )0 ? ( )3 ? 3 3 27 3 3 9 1 1 2 1 1 1 3 P(? ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ( ) ? , P(? ? 3) ? C3 ? ( )3 ? ( )0 ? 3 3 9 3 3 27
故 ? 的分布列为
12

所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ?

8 4 2 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?1 27 9 9 27

规律总结:对于概率统计问题我们要注重三大能力: (1)运用统计与概率的知识与方法 解决实际问题的能力。 (2)数据处理能力。 (3)应用意识和创新意识。本题这三个方面都有 充分体现。 19、(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C 中 , 侧 棱 AA1 ? 底 面 ABC , AB ? AC ? 2 AA1 ,

?BAC ? 120? , D, D1 分别是线段 BC , B1C1 的中点, P 是线段 AD 的中点。
(Ⅰ)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l ,说明理由,并证明 直线 l ? 平面 ADD1 A1 ; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 l 交 AB 于点 M ,交 AC 于点 N ,求二面角 A ? A1M ? N 的 余弦值。

思路分析: 考点解剖:本题考查空间直线与平面的位置关系及二面角的求法. 解题思路:对于本题首先从线面平行的判定理入手,借助线面平行产生线线平行,由此 产生线线垂直转化,最后得以第一问的结论,第二问可以从两个不同的角度入手进行求解。 解答过程:

13

所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (
2

2 2 15 ) ? 5 5

故二面角 A ? A1M ? N 的余弦值

15 5

14

规律总结:立几中欲证线面垂直,一定要通过线线垂直来完成。而对于求二面角可以从 两个的方面看,其一是传统方法,要突出“作——证——求”三步曲。其二是向量法,要突 出建立空间直角坐标系、产生各点的坐标、进一步产生面的法向量,最后产生结论。使用传 统方法求二面角时,一定要注意平面角的产生。很多考生只求有角,不管是什么角,只要角 的两边分别在两个半平在内就万事大吉,其实那是大错特错. 20、(本小题满分 13 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) ,且椭圆 C a b
经过点 P ( , ) 。 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,

4 1 3 3

15



2 1 1 ,求点 Q 的轨迹方程。 ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2
思路分析: 考点解剖: 本题考查圆锥曲线的性质及基本量之间的关系式、 考查解几的运算与变形能 力、考查基本方法的综合运用. 解题思路: 直接利用椭圆定义即可产生结论; (1) (2) 建立在 的基础上,合理、准确的应用韦达定理即可. 解答过程: 解 : ( 1 ) 由 椭 圆 的 定
2

2 1 1 ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2





4 1 1 24 2 2a ?| PF1 | ? | PF2 |? ( ? 1) 2 ? ( ) ? ( ? 1) ? ( ) ? 2 2 3 3 3 3
所以 a ? 2 ,又知 c ? 1 所以椭圆的离心率为 e ?

c 2 ? a 2

(2)由(1)知椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,设 Q( x, y ) 2

①当直线 l 与 x 垂直时,直线 l 与椭圆交于 (0,1), (0, ?1) 两点, 此时 Q 点的坐标为 (0, 2 ?

3 5 )。 5

②当直线 l 不与 x 垂直时,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,因为 M , N 在 l 上, 可设 M , N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ? 2), ( x2 , kx2 ? 2) 则 | AM | ? (1 ? k ) x1 ,| AN | ? (1 ? k ) x2 又 | AQ | ? x ? ( y ? 2) ? (1 ? k ) x
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2



2 1 1 得 ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

2 1 1 2 1 1 2 ( x ? x )2 ? 2 x x ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 22 2 1 2 2 (1 ? k 2 ) x 2 (1 ? k 2 ) x12 (1 ? k 2 ) x2 x x1 x2 x x1 x2
将 y ? kx ? 2 代入
2

x2 ? y 2 ? 1 得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 2
2 2

由 ? ? (8k ) ? 4 ? (2k ? 1) ? 6 ? 0 ? k ?

3 ?8k 6 且 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1

16

2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 18 于是由 2 ? 可得 x 2 ? 2 2 x x1 x2 10k 2 ? 3
因为点 Q 在直线 y ? kx ? 2 上,所以 k ? 于是由 x 2 ? 由k ?
2

y?2 , x

18 2 2 可得 10( y ? 2) ? 3x ? 18 2 10k ? 3

3 3 6 6 ? 0 ? x 2 ? ? (? , 0) ? (0, ) 2 2 2 2

又点 (0, 2 ?

3 5 6 6 ) 满足 10( y ? 2)2 ? 3x 2 ? 18 ,故 x ? (? , ) 5 2 2

由题意, Q( x, y ) 在椭圆内,所以 ?1 ? y ? 1 又由 10( y ? 2) ? 3x ? 18
2 2

得 ( y ? 2) ? [ , ) 且 ?1 ? y ? 1 ,从而 y ? ( , 2 ?
2

9 9 5 4

1 2

3 5 ] 5
6 6 1 3 5 , ) ,y ?( , 2 ? ] 2 2 2 5

故点 Q 的轨迹方程为 10( y ? 2) ? 3x ? 18 ,其中 x ? (?
2 2

规律总结: 圆锥曲线的定义永远是圆锥曲线的重要内容之一, 也是常考常新的内容之一, 应引起我们的高度重视。借助韦达定理进行整体运算是解几运算中的重要技能、技巧。在本 题的求解中得到了充分的运用, 另外, 对于轨迹方程的一个很重要的环节就是变量的取值范 围,本题对这一点也进行了充分的考查,考生稍有粗心,就很难年满分。. 21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 ?ln x, x ? 0

, 其中 a 是实数。 A( x1 , f ( x1 )) ,B( x2 , f ( x2 )) 为 设

该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 。 (Ⅰ)指出函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直, x2 ? 0 , x2 ? x1 的最小值; 且 求 (Ⅲ)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围。 思路分析: 考点解剖:本题考查导数在函数中的基本运用、函数最值的求法及分类讨论思想. 解题思路: (1)根据导数在函数中的应用,利用解不等式产生单调区间;(2)利用导数 求函数最值的基本解题规范,求闭区间上的函数最值,注意公类讨论思想的应用. 解答过程:

17

解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, ?1) ,单调增区间为 [?1,0) 及 (0, ??) 。 (Ⅱ) 由导数的几何意义可知, A 的切线斜率为 f ( x1 ) , B 的切线斜率为 f ( x2 ) , 点 点 当点 A, B 处的切线互相垂直时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1
/ /

/

/

当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 2
/

因为 x1 ? x2 ? 0 ,所以 (2 x1 ? 2) ? (2 x2 ? 2) ? ?1 ? 2 x1 ? 2 ? 0, 2 x2 ? 2 ? 0 因 此 , x2 ? x1 ?

[?(2 x1 ? 2)] ? (2 x2 ? 2) ? ?(2 x1 ? 2)(2 x2 ? 2) ? 1 ( 当 且 仅 当 2

3 1 ?(2 x1 ? 2) ? 2 x2 ? 2 ? 1即 x1 ? ? , x2 ? ? 时等号成立。 2 2
所以,函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直时,求 x2 ? x1 的最小值为 1。 (Ⅲ)当 x1 ? x2 ? 0 或 x2 ? x1 ? 0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 x1 ? 0 ? x2
/ /

当 x1 ? 0 时,函数 f ( x) 的图象在点 A( x1 , f ( x1 )) 处的切线方程为

y ? ( x12 ? 2 x1 ? a) ? (2 x1 ? 2)( x1 ? 2) ? y ? (2 x1 ? 2) x ? x12 ? a
当 x2 ? 0 时,函数 f ( x) 的图象在点 B( x2 , f ( x2 )) 处的切线方程为

y ? ln x2 ?

1 1 ( x ? x2 ) ? y ? ? x ? ln x2 ? 1 x2 x2

?1 1 ? ? 2 x1 ? 2 ? a ? x12 ? ln ?1 两切线重合的充要条件是 ? x2 2 x1 ? 2 ?ln x ? 1 ? ? x 2 ? a ? 2 1
令 h( x1 ) ? x1 ? ln
2

1 1 ? 1 ? h / ( x1 ) ? 2 x1 ? ?0 2 x1 ? 2 x1 ? 1

所以 h( x1 ) 为减函数,那么 h( x1 ) ? h(0) ? ? ln 2 ? 1 ? a ? ? ln 2 ? 1 而当 x1 ? (?1, 0) 且 x1 趋近于 ?1 时, h( x1 ) 无限增大, 所以, a 的取值范围为 (? ln 2 ? 1, ??) 故函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合, a 的取值范围为 (? ln 2 ? 1, ??) 。 规律总结:函数 y ? f ( x) 在点 x0 的导数就是曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) 处的切 线的斜率, 这就是导数的几何意义. 利用导数的几何意义研究函数切线问题是高考热点之一, 利用导数的几何意义解题,既可加深对导数的理解,又可使问题得到简化.

18


相关文档

【纯Word版解析】2013年普通高等学校招生统一考试——理科数学(四川卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)(全国卷)解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(四川卷)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题 (理科)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题 (理科) 解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷,理科)word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题 (理科) word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)(新课标Ⅱ卷)解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题 (理科)解析版
电脑版