新课程高中数学测试题组(必修4)全套含答案

(数学 4 必修)第一章 三角函数(上)

[基础训练 A 组]一、选择题

1.设? 角属于第二象限,且 cos ? ? ? cos ? ,则 ? 角属于( )

2

22

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

sin 7? cos?

2.给出下列各函数值:① sin(?1000 0 ) ;② cos(?2200 0 ) ;③ tan(?10) ;④

10

.其中符号为

17?

tan

9

负的有( ) A.① B.② C.③ D.④

3. sin2 1200 等于(

) A. ? 3 2

B. 3 2

C. ? 3 2

D. 1 2

4.已知 sin? ? 4 ,并且? 是第二象限的角,那么 tan? 的值等于( )A. ? 4 B. ? 3 C. 3 D. 4

5

3

4

4

3

5.若? 是第四象限的角,则? ? ? 是( )

A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角

6. sin 2cos3tan 4 的值( ) A.小于 0 B.大于 0 C.等于 0 D.不存在

二、填空题

1.设? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin? , cos? ) 分别在第___、___、___象限.

2.设 MP 和 OM 分别是角 17? 的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式:① MP ? OM ? 0 ;② 18
OM ? 0 ? MP ; ③ OM ? MP ? 0 ;④ MP ? 0 ? OM ,其中正确的是_____________________。
3.若角? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则? 与 ? 的关系是___________。

4.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm2 ,则扇形的圆心角的弧度数是



5.与 ? 20020 终边相同的最小正角是_______________。

三、解答题

1.已知 tan? , 1 是关于 x 的方程 x2 ? kx ? k 2 ? 3 ? 0 的两个实根,且 3? ? ? ? 7 ? ,求 cos ? ? sni ? 的

tan ?

2

值. 2.已知 tan x ? 2 ,求 cosx ? sin x 的值。 cosx ? sin x

3.化简:

sin(5400 tan(9000

? ?

x) x)

?

tan(4500

?

1 x) tan(8100

?

x)

?

cos(3600 ? sin(?x)

x)

4.已知 sin x ? cosx ? m,( m ? 2,且m ? 1) ,求(1) sin3 x ? cos3 x ;(2) sin 4 x ? cos4 x 的值。
[综合训练 B 组]一、选择题

1.若角 6000 的终边上有一点 ?? 4, a?,则 a 的值是( )A.4 3 B.? 4 3 C.? 4 3 D. 3

1

2.函数 y ? sin x ? cosx ? tan x 的值域是( ) sin x cosx tan x

A.??1,0,1,3? B.??1,0,3? C.??1,3?

D. ?? 1,1?

3.若 ?

为第二象限角,那么 sin 2?

, cos? 2



1 c os 2?



1 cos?

中,其值必为正的有(



2

A. 0 个 B.1个 C. 2 个 D. 3 个

4.已知 sin? ? m,( m ? 1) , ? ? ? ? ? ,那么 tan? ?( ). 2

A. m

B. ? m

C. ? m

1? m2

1? m2

1? m2

D. ? 1 ? m 2 m

5.若角? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上,则 sin ? ? 1 ? cos2 ? 的值等于( ).

1 ? sin 2 ?

cos?

A. 2 B. ?2 C. ?2 或 2 D. 0

6.已知 tan? ? 3 ,? ? ? ? 3? ,那么 cos? ? sin? 的值是( ). 2

A. ? 1 ? 3 2
二、填空题

B. ? 1 ? 3 2

C. 1 ? 3 2

D. 1 ? 3 2

1.若 cos? ? ? 3 ,且? 的终边过点 P(x,2) ,则? 是第_____象限角, x =_____。 2
2.若角? 与角 ? 的终边互为反向延长线,则? 与 ? 的关系是___________。

3.设?1 ? 7.412,?2 ? ?9.99 ,则?1,? 2 分别是第 4.与 ? 20020 终边相同的最大负角是_______________。

象限的角。

5.化简: m tan 00 ? x cos90 0 ? p sin180 0 ? q cos 270 0 ? r sin 360 0 =____________。

三、解答题

1.已知 ? 90 0 ? ? ? 90 0 ,?90 0 ? ? ? 90 0 , 求? ? ? 的范围。 2

2.已知

f

(x)

?

?cos?x, x ? 1

? ?

f

(x

?1)

?1,

x


? 1,

f

(1) ? 3

f

( 4) 的值。 3

3.已知 tan x ? 2 ,(1)求 2 sin 2 x ? 1 cos2 x 的值。(2)求 2sin 2 x ? sin x cosx ? cos2 x 的值。

3

4

4.求证: 2(1? sin? )(1? cos? ) ? (1? sin? ? cos? )2

2

[提高训练 C 组]一、选择题

1.化简 sin 6000 的值是(

)A. 0.5 B. ?0.5 C. 3 2

D. ? 3 2

2.若 0 ? a ? 1,? ? x ? ? ,则 2

(a ? x)2 cos ?
x ? a cos

x

1? ax ?

的值是(

x ax ?1

)A.1 B.?1 C.3 D.? 3

3.若? ? ?? 0, ? ?? ,则 3 log3 sin ? 等于( ? 3?

)A. sin ? B. 1 sin ?

C. ? sin? D. ? 1 cos?

4.如果1弧度的圆心角所对的弦长为 2 ,那么这个圆心角所对的弧长为( )

A. 1 sin 0.5

B. sin 0.5 C. 2sin 0.5 D. tan 0.5

5.已知 sin? ? sin ? ,那么下列命题成立的是( )

A.若?, ? 是第一象限角,则 cos? ? cos ? B.若?, ? 是第二象限角,则 tan? ? tan ?

C.若?, ? 是第三象限角,则 cos? ? cos ? D.若?, ? 是第四象限角,则 tan? ? tan ?

6.若? 为锐角且 cos? ? cos?1 ? ? ?2 ,则 cos ? ? cos ?1 ? 的值为(
二、填空题

)A.2 2 B. 6

C.6 D.4

1.已知角? 的终边与函数 5x ?12y ? 0, (x ? 0) 决定的函数图象重合,cos? ? 1 ? 1 的值为____. tan? sin?

2.若? 是第三象限的角, ? 是第二象限的角,则 ? ? ? 是第 2

象限的角.

3.在半径为 30m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为

1200 ,若要光源恰好照亮整个广场,则其高应为_______ m (精确到 0.1m )

4.如果 tan? sin? ? 0, 且 0 ? sin? ? cos? ? 1, 那么? 的终边在第

象限。

5.若集合

A

?

? ?

x

?

|

k?

?

? 3

?

x

?

k?

??,k

?

Z

? ? ?



B

??x |

?2 ?

x

?

2? ,则

A?

B

=________________。

三、解答题

1.角? 的终边上的点 P 与 A(a,b) 关于 x 轴对称 (a ? 0,b ? 0) ,角 ? 的终边上的点 Q 与 A 关于直线

y ? x 对称,求 sin? ? tan? ?

1

之值.

cos ? tan ? cos? sin ?

2.一个扇形 OAB 的周长为 20 ,求扇形的半径,圆心角各取何值时,此扇形的面积最大?

3.求

1 1

? ?

sin sin

6 4

? ?

? cos6 ? cos4

? ?

的值。

4.已知 sin? ? a sin?, tan? ? b tan?, 其中? 为锐角,求证: cos? ? a2 ?1 b2 ?1
(数学 4 必修)第一章 三角函数(下)

[基础训练 A 组]一、选择题

3

1.函数 y ? sin(2x ??)(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则? 的值是( )A.0 B.? C. ? D.?

4

2

2.将函数 y ? sin(x ? ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得的图象向 3

左平移 ? 个单位,得到的图象对应的僻析式是( ) 3

A. y ? sin 1 x 2

B. y ? sin(1 x ? ? ) C. y ? sin(1 x ? ? )

22

26

D. y ? sin(2x ? ? ) 6

3.若点 P(sin? ? cos?, tan?) 在第一象限,则在[0, 2? ) 内? 的取值范围是( )

A.

? (

,

3?

)

(? , 5? )

24

4

B.

? (

,

?

)

(?

,

5?

)

C.

? (

,

3?

)

(5? , 3? )

42

4 24 4 2

D.

? (

,

3?

)

(3? ,? )

24 4

4.若 ? ? ? ? ? ,则( )A. sin? ? cos? ? tan? B. cos? ? tan? ? sin?

4

2

C. sin? ? tan? ? cos? D. tan? ? sin? ? cos?

5.函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的最小正周期是( 56

)A. 2? 5

B. 5? 2

C. 2?

D. 5?

6.在函数 y ? sin x 、 y ? sin x 、 y ? sin(2x ? 2? ) 、 y ? cos(2x ? 2? ) 中,最小正周期为? 的函数的

3

3

个数为( ) A.1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

二、填空题

1.关于 x 的函数 f (x) ? cos(x ??) 有以下命题: ①对任意? , f (x) 都是非奇非偶函数;②不存在? ,

使 f (x) 既是奇函数,又是偶函数;③存在? ,使 f (x) 是偶函数;④对任意? , f (x) 都不是奇函数.其

中一个假命题的序号是

,因为当? ?

时,该命题的结论不成立.

2.函数 y ? 2 ? cosx 的最大值为________. 4.满足 sin x ? 3 的 x 的集合为______________。

2 ? cosx

2

3.若函数 f (x) ? 2 tan(kx ? ? ) 的最小正周期T 满足1? T ? 2 ,则自然数 k 的值为______. 3

5.若 f (x) ? 2sin?x(0 ? ? ? 1) 在区间[0, ? ]上的最大值是 2 ,则? =________。 3
三、解答题

1.画出函数 y ? 1 ? sin x, x ? ?0,2? ?的图象。 2.比较大小(1)sin110 0 ,sin150 0 ;(2)tan 220 0 , tan 200 0

3.(1)求函数 y ?

log 2

1 sin

x

? 1 的定义域。(2)设

f

(x)

?sin(cos

)x,(0

?x ?) ? ,求 f (x) 的最大值与

最小值。 4.若 y ? cos2 x ? 2 p sin x ? q 有最大值 9 和最小值 6 ,求实数 p, q 的值。

[综合训练 B 组]一、选择题

1.方程 sin ? x ? 1 x 的解的个数是( 4

)A. 5 B. 6 C. 7 D.8

2.在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cosx 成立的 x 取值范围为( )

A. (? , ? ) ? (? , 5? )

42

4

B. (? ,? ) C. (? , 5? )

4

44

D. (? ,? ) ? (5? , 3? )

4

42

3.已知函数 f (x) ? sin(2x ??) 的图象关于直线 x ? ? 对称,则? 可能是( ) 8
4

A. ? B. ? ? C. ? D. 3?

2

4

4

4

4.已知 ?ABC 是锐角三角形, P ? sin A ? sin B,Q ? cos A ? cos B, 则( )

A. P ? Q B. P ? Q C. P ? Q D. P 与 Q 的大小不能确定

5.如果函数 f (x) ? sin(? x ?? )(0 ? ? ? 2? ) 的最小正周期是T ,且当 x ? 2 时取得最大值,那么( )

A.T ? 2,? ? ? B.T ?1,? ? ? C.T ? 2,? ? ? D.T ? 1,? ? ?

2

2

6. y ? sin x ? sin x 的值域是( )A.[?1,0] B.[0,1] C.[?1,1] D.[?2,0]

二、填空题

1.已知 cos x ? 2a ? 3 , x 是第二、三象限的角,则 a 的取值范围___________。 4?a

2.函数 y

?

f (cosx) 的定义域为 ???2k?

? ? ,2k? 6

?

2? 3

???(k ? Z ) ,则函数 y

?

f (x) 的定义域为_________.

3.函数 y ? ? cos(x ? ? ) 的单调递增区间是________.5.函数 y ? lg sin(cosx) 的定义域为___________。 23

4.设? ? 0 ,若函数 f (x) ? 2sin? x 在[? ? , ? ] 上单调递增,则? 的取值范围是________。 34

三、解答题

1.(1)求函数 y ?
最大值与最小值。

2 ? log 1 x ? tan x 的定义域。 (2)设 g(x) ? cos(sin x),(0 ? x ? ?) ,求 g(x) 的
2 tan? tan 2?
2.比较大小(1) 2 3 ,2 3 ;(2) sin1, cos1 。

3.判断函数 f (x) ? 1 ? sin x ? cosx 的奇偶性。 1 ? sin x ? cosx
4.设关于 x 的函数 y ? 2 cos2 x ? 2a cos x ? (2a ?1) 的最小值为 f (a) ,试确定满足 f (a) ? 1 的 a 的值, 2
并对此时的 a 值求 y 的最大值。
[提高训练 C 组]
一、选择题
1.函数 f (x) ? lg(sin2 x ? cos2 x) 的定义城是( )

A.

? ?

x

?

2k?

?

3? 4

?

x?

2k?

?? 4

,k

?

Z

? ?

?

B.

??x ?

2k?

?

? 4

?

x

?

2k?

?

5? 4

,k

?Z

? ? ?

C.

??x ?

k?

?

? 4

?

x

?

k?

?

? 4

,

k

?

Z

? ? ?

D.

? ?

x

?

k?

?

? 4

?

x

?

k?

?

3? 4

,k

?Z

? ? ?

2.已知函数 f (x) ? 2sin(?x ??) 对任意 x 都有 f (? ? x) ? f (? ? x), 则 f (? ) 等于( )

6

6

6

A. 2 或 0 B. ?2 或 2 C. 0 D. ?2 或 0

3.设

f (x) 是定义域为 R ,最小正周期为 3? 2

的函数,若

f (x) ?

??cos ?

x,(? ? 2

?

x

?

0) ,



?? sin x, (0 ? x ? ? )

f (?15? ) 4

等于(

)A. 1 B. 2 2

C. 0 D. ? 2 2

4.已知 A1 , A2 ,… An 为凸多边形的内角,且 lg sin A1 ? lg sin A2 ? ..... ? lg sin An ? 0 ,则这个多边形

是( ) A.正六边形 B.梯形 C.矩形 D.含锐角菱形

5

5.函数 y ? cos2 x ? 3cos x ? 2 的最小值为( ) A. 2 B. 0 C.1 D. 6

6.曲线 y ? Asin ?x ? a(A ? 0, ? ? 0) 在区间[0, 2? ] 上截直线 y ? 2 及 y ? ?1所得的弦长相等且不为 0 , ?
则下列对 A, a 的描述正确的是( )

A. a ? 1 , A ? 3 B. a ? 1 , A ? 3 C. a ? 1, A ? 1

22

22

D. a ? 1, A ? 1

二、填空题

1.已知函数 y ? 2a ? bsin x 的最大值为 3 ,最小值为1,则函数 y ? ?4a sin b x 的最小正周期为_________, 2
值域为________.

2.当

x

?

?? ?? 6

,

7? 6

? ??

时,函数

y

?

3

?

sin

x

?

2 cos2

x

的最小值是_______,最大值是________。

? ? 3.函数 f (x) ? (1) cosx 在 ?? ,? 上的单调减区间为_________。
3 4.若函数 f (x) ? a sin 2x ? b tan x ?1,且 f (?3) ? 5, 则 f (? ? 3) ? ___________。

5.已知函数 y ? f (x) 的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把

所得的图象沿 x 轴向左平移 ? ,这样得到的曲线和 y ? 2sin x 的图象相同,则已知函数 y ? f (x) 的解 2
析式为________.
三、解答题

1.求? 使函数 y ? 3 cos(3x ??) ?sin(3 x ??) 是奇函数。

2.已知函数 y ? cos2 x ? a sin x ? a 2 ? 2a ? 5 有最大值 2 ,试求实数 a 的值。
3.求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x, x ? ?0,? ?的最大值和最小值。

4.已知定义在区间[ ? ? , 2 ? ]上的函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ? ? 对称,当 x ?[ ? ? , 2 ? ]时,

3

6

63

函数

f

(x)

?

A s in (?x

??)

(A ? 0 ,?

?0,??

??

?

?

)

y ,其图象如图所示.

2

2

(1)求函数 y ? f (x) 在[ ? ? , 2 ? ] 的表达式;

1

3 ?

(2)求方程 f (x) ? 2 的解. 2

?


o? 6

?

x??

(数学 4 必修)第二章 平面向量 6

?x
2? 3

[基础训练 A 组]一、选择题

1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( )A. AB B. DA C. BC D. 0

2.设 a0 ,b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( )

A. a0 ? b0
3.已知下列命题中:

B. a0 ?b0 ?1 C.| a0 | ? | b0 |? 2 D.| a0 ? b0 |? 2

(1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 ,(2)若 a ?b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0

(3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足| a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0

(4)若 a 与 b 平行,则 a b ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是(
6

) A. 0 B.1 C. 2 D. 3

4.下列命题中正确的是( )

A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0

B.若 a?b=0,则 a∥b

C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a| D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2

5.已知平面向量 a ? (3,1) ,b ? (x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? ( )A. ?3

B. ?1

6.已知向量 a ? (cos?,sin? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则| 2a ? b | 的最大值,最小值分别是(

A. 4 2,0
二、填空题

B. 4, 4 2 C.16, 0

D. 4, 0

1.若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则 1 AB =_________ 3

2.平面向量 a, b 中,若 a ? (4, ?3) , b =1,且 a ?b ? 5 ,则向量 b =____。

C.1


D. 3

3.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 600 ,则 a ? b ?



45. .把 已平 知面a? 上? 一(2,切1)单与位b?向?量(1,归2)结,到要共使同a?的?始tb?点最,小那,么则这实些数向t量的的值终为点__所__构__成__的__图_。形是___________。

三、解答题

1.如图, ABCD 中, E, F 分别是 BC, DC 的中点, G 为交点,若 AB = a , AD = b ,试以 a ,b 为基

底表示 DE 、 BF 、 CG .

D

F

C

G E

A

B

2.已知向量 a与b 的夹角为 60 ,| b |? 4, (a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。

?

?

??

3.已知点 B(2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b ? (1, 3) ,求 b 在 AB 上的投影。

4.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,(1)ka ? b 与 a ? 3b 垂直?(2)k a ? b 与 a ? 3 b 平行?

平行时它们是同向还是反向?

[综合训练 B 组]一、选择题

1.下列命题中正确的是( )

A. OA ? OB ? AB

B. AB ? BA ? 0 C. 0? AB ? 0 D. AB ? BC ? CD ? AD

2.设点 A(2, 0) , B(4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP ,则点 P 的坐标为( )

A. (3,1)

B. (1, ?1) C. (3,1) 或 (1, ?1) D.无数多个

3.若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是180o ,且| b |? 3 5 ,则 b ? ( ) A. (?3,6) B. (3,?6) C. (6,?3) D. (?6,3)

4.向量 a ? (2, 3) ,b ? (?1, 2) ,若 ma ?b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于 A.?2 B.2 C.1
2

5.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是( )

A. ? B. ? C. 2? D. 5?

6

3

3

6

6.设 a ? ( 3ns,i

)

?

,b

?

(cos?, 1)

,且 a

//

? b

,则锐角 ?

为(

2

3

)A.30 0

B.60 0

C.75 0

7

D.? 1 2
D.45 0

二、填空题

1.若| a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为



?

?

?

??

?

?

2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?2,3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。

3.若 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 600 ,若 (3a ? 5b) ? (ma ? b) ,则 m 的值为



4.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。

?

?

??

5.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。

三、解答题

1.求与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.
2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.
3.设非零向量 a, b, c, d ,满足 d ? (a c)b ? (a b )c ,求证: a ? d

4.已知 a ? (cos ?,sin ?) ,b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? .(1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直;
?? ? ?
(2)若 ka? b 与 a? k b 的长度相等,求 ? ?? 的值( k 为非零的常数).
[提高训练 C 组]一、选择题
1.若三点 A(2,3), B(3, a),C(4,b) 共线,则有( ) A. a ? 3,b ? ?5 B. a ? b ?1 ? 0 C. 2a ?b ? 3 D. a ? 2b ? 0

2.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP1 ? ?cos? , sin? ?,OP2 ? ?2 ? sin? , 2 ? cos? ?,则向量 P1P2 长度
的最大值是( )A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 2 3
3.下列命题正确的是( )

A.单位向量都相等 B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量

C.| a ? b | ?| a ? b | ,则 a ?b ? 0

D.若 a0 与 b0 是单位向量,则 a0 ?b0 ? 1

4.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 600 ,那么 a ? 3b ? ( )

A. 7 B. 10 C. 13 D. 4 5.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ?b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 A. ? B. ? C. ?
643
6.若平面向量 b 与向量 a ? (2,1) 平行,且| b |? 2 5 ,则 b ? ( ) A. (4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3) D. (4,2) 或 (?4,?2)
二、填空题

D. ? 2

1.已知向量 a ? (cos?,sin? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是 .

2.若 A(1, 2), B(2,3),C(?2,5) ,试判断则△ABC 的形状_________.

3.若 a ? (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。

4.若向量| a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则| a ? b |?



5.平面向量 a, b 中,已知 a ? (4, ?3) , b ? 1,且 a b ? 5 ,则向量 b ? ______。

三、解答题

1.已知 a, b, c 是三个向量,试判断下列各命题的真假.(1)若 a ?b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c

8

(2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos? (? 是 a 与 b 的夹角),方向与 a 在 b 相同或相反的
一个向量.
2.证明:对于任意的 a,b, c, d ? R ,恒有不等式 (ac ? bd )2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 )

3.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? (1 , 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 22
x ? a ? (t 2 ? 3)b, y ? ?ka ? tb, 且 x ? y ,试求函数关系式 k ? f (t) 。

4.如图,在直角△ABC 中,已知 BC ? a ,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ与BC

的夹角? 取何值时 BP? CQ 的值最大?并求出这个最大值。
(数学 4 必修)第三章 三角恒等变换 [基础训练 A 组]一、选择题

1.已知 x ? (? ? , 0) , cos x ? 4 ,则 tan 2x ? (

2

5

)A. 7 24

B. ? 7 C. 24

24

7

D. ? 24 7

2.函数 y ? 3sin x ? 4cos x ? 5 的最小正周期是( )A. ? B. ? C.? D. 2?

5

2

3.在△ABC 中, cos Acos B ? sin Asin B ,则△ABC 为( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判定

4.设 a ? sin140 ? cos140 , b ? sin160 ? cos160 , c ? 6 ,则 a,b, c 大小关系( ) 2
A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. a ? c ? b

5.函数 y ? 2 sin(2x ? ? ) cos[2(x ? ? )] 是( )

A.周期为 ? 的奇函数 B.周期为 ? 的偶函数

4

4

C.周期为 ? 的奇函数 D.周期为 ? 的偶函数

2

2

6.已知 cos 2? ? 2 ,则 sin4 ? ? cos4 ? 的值为( 3
二、填空题

) A. 13 B. 11

18

18

C. 7 9

D. ?1

1.求值: tan 200 ? tan 400 ? 3 tan 200 tan 400 ? _____________。

2.若 1? tan? ? 2008, 则 1 ? tan 2? ?



1? tan?

cos 2?

3.函数 f (x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是___________。

4.已知 sin ? ? cos ? ? 2 3 , 那么 sin? 的值为

, cos 2? 的值为



2 23

5. ?ABC 的三个内角为 A 、 B 、 C ,当 A 为

大值为



时, cos A ? 2 cos B ? C 取得最大值,且这个最 2

三、解答题

1.已知 sin? ? sin ? ? sin ? ? 0,cos? ? cos ? ? cos? ? 0, 求 cos(? ? ? ) 的值.

2.若 sin ? ? sin ? ?

2 2

,

求 cos?

?

cos?

的取值范围。3.求值:1? cos 200 2sin 200

? sin100 (tan?1

50

?

tan 50 )

9

4.已知函数 y ? sin x ? 3 cos x , x ? R. (1)求 y 取最大值时相应的 x 的集合;

2

2

(2)该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y ? sin x(x ? R) 的图象.

[综合训练 B 组]一、选择题

1.设 a ? 1 cos 6 2

?

3

2 tan13

2 sin 6 ,b ? 1? tan2 13

,c ?

1? cos50 , 则有( 2



A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a

2.函数

y

?

1? 1?

tan 2 tan 2

2x 2x

的最小正周期是(

)

A. ? B. ? C.?

4

2

D. 2?

3. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ( ) A. ? 1 B. 1 C. ? 3 D. 3

2

2

2

2

4.已知

? sin(

?

x)

?

3 , 则 sin 2x 的值为(

) A. 19

B. 16

C. 14

D. 7

4

5

25

25

25

25

5.若? ?(0, ?) ,且 cos ? ?sin ? ? ? 1 ,则 cos2 ? ? ( 3

)A. 17 9

B.? 17 C.? 17 D. 17

9

9

3

6.函数 y ? sin 4 x ? cos2 x 的最小正周期为(

) A. ? 4

B. ? 2

C.?

D. 2?

二、填空题

1.已知在 ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1, 则角 C 的大小为 .

2.计算: sin 65o+sin 15o sin 10o 的值为_______. sin 25o-cos 15o cos 80o

3.函数 y ? sin 2x ? cos( 2x ? ? ) 的图象中相邻两对称轴的距离是



3

36

4.函数 f (x) ? cosx ? 1 cos2x(x ? R) 的最大值等于



2

5.已知 f (x) ? Asin(?x ? ?) 在同一个周期内,当 x ? π 时, f (x) 取得最大值为 2 ,当 x ? 0 时, f (x) 3
取得最小值为 ? 2 ,则函数 f (x) 的一个表达式为______________.

三、解答题

1. 求值:(1) sin 60 sin 420 sin 660 sin 780 ;(2) sin 2 200 ? cos2 500 ? sin 200 cos500 。

2.已知 A ? B ? ? ,求证: (1? tan A)(1? tan B) ? 2 4

3.求值: log 2

cos? 9

? log 2

cos 2? 9

? log 2

cos 4? 9



4.已知函数 f (x) ? a(cos2 x ? sin x cos x) ? b(1)当 a ? 0 时,求 f (x) 的单调递增区间;(2)当 a ? 0 且

x ?[0, ? ] 时, f (x) 的值域是[3, 4], 求 a, b 的值. 2
[提高训练 C 组]一、选择题

1.求值

cos 200

?(

cos 350 1? sin 200

)A.1

B. 2 C. 2 D. 3

2.函数 y ? 2sin(? ? x) ? cos(? ? x)(x ? R) 的最小值等于(

3

6

)A.?3 B.?2

3.函数 y ? sin x cos x ? 3 cos2 x ? 3 的图象的一个对称中心是( )

C.?1

D.? 5

10

A. ( 2? , ? 3 ) B. (5? , ? 3 ) C. (? 2? , 3 ) D. (? , ? 3)

32

62

32

3

4.△ABC 中, ?C ? 900 ,则函数 y ? sin2 A ? 2sin B 的值的情况( )

A.有最大值,无最小值 B.无最大值,有最小值 C.有最大值且有最小值 D.无最大值且无最小值

5.(1? tan 210 )(1? tan 220 )(1? tan 230 )(1? tan 240 ) 的值是( )A. 16 B. 8 C. 4 D. 2

6.当 0

?

x

?

? 4

时,函数

f

(x)

?

cos

cos2 x x sin x ? sin2

x

的最小值是(

二、填空题

)A. 4

B. 1 2

C. 2

D. 1 4

1.给出下列命题:①存在实数 x ,使 sinx ? cosx ? 3 ;②若 ?, ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则 2

cos? ? cos? ;③函数 y ? sin( 2 x ? ? ) 是偶函数;④函数 y ? sin 2x 的图象向左平移 ? 个单位,得到函

32

4

数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象.其中正确命题的序号是____________.(把正确命题的序号都填上) 4

2.函数 y ? tan x ? 1 的最小正周期是___________________。 2 sin x

3.已知 sin? ? cos ? ? 1 , sin ? ? cos? ? 1 ,则 sin(? ? ? ) =__________。

3

2

4.函数 y ? sin x ?

3

cos

x

在区间

???0,

? 2

? ??

上的最小值为



5.函数 y ? (a cos x ? bsin x)cos x 有最大值 2 ,最小值 ?1,则实数 a ? ____, b ? ___。

三、解答题

1.已知函数 f (x) ? sin(x ?? ) ? cos(x ?? ) 的定义域为 R ,(1)当? ? 0时,求 f (x)

的单调区间;(2)若? ?(0,? ) ,且 sin x ? 0 ,当? 为何值时, f (x) 为偶函数.

2.已知△ABC 的内角 B 满足 2cos 2B ? 8cos B ? 5 ? 0,,若 BC ? a , CA ? b 且 a, b 满足: a b ? ?9 ,

a ? 3, b ? 5 ,? 为 a, b 的夹角.求 sin(B ?? ) 。

3.已知 0

?

x

?

? 4

, sin(? 4

?

x)

?

5, 13



cos2x cos(? ? x)

的值。

4

4.已知函数 f (x) ? a sin x ? cos x ? 3a cos2 x ? 3 a ? b (a ? 0) 2

(1)写出函数的单调递减区间;(2)设 x ?[0,? ] , f (x) 的最小值是 ?2 ,最大值是 3 ,求实数 a, b 的值. 2

11

数学 4(必修)第一章 三角函数(上) [基础训练 A 组]

一、选择题

1.C 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), k? ? ? ? ? ? k? ? ? , (k ? Z ),

2

42

2

当 k ? 2n, (n ? Z) 时, ? 在第一象限;当 k ? 2n ?1, (n ? Z) 时, ? 在第三象限;

2

2

而 cos ? ? ? cos ? ? cos ? ? 0,? ? 在第三象限;

2

2

2

2

2.C sin(?10000 ) ? sin 800 ? 0 ; cos(?22000 ) ? cos(?400 ) ? cos 400 ? 0

tan(?10) ? tan(3?

sin 7? cos?

?10) ? 0 ;

10 tan 17?

?

?sin 7? 10
tan 17?

,sin 7? 10

? 0, tan 17? 9

?0

9

9

3.B sin2 1200 ? sin1200 ? 3 2

4.A sin? ? 4 , cos? ? ? 3 , tan? ? sin? ? ? 4

5

5

cos? 3

5.C ? ?? ? ?? ?? ,若? 是第四象限的角,则 ?? 是第一象限的角,再逆时针旋转1800

6.A ? ? 2 ? ? ,sin 2 ? 0; ? ? 3 ? ? , cos 3 ? 0;? ? 4 ? 3? , tan 4 ? 0;sin 2cos 3tan 4 ? 0

2

2

2

二、填空题

1.四、三、二 当? 是第二象限角时, sin? ? 0, cos? ? 0 ;当? 是第三象限角时, sin? ? 0, cos? ? 0 ;

当? 是第四象限角时, sin? ? 0, cos? ? 0 ;

2.② sin 17? ? MP ? 0, cos 17? ? OM ? 0

18

18

3.? ? ? ? 2k? ?? ? 与 ? ? ? 关于 x 轴对称

4. 2 S ? 1 ( 8 ? 2r )r ? 42r, ? 4r ? 4? 0r , ? l2 ,?? 4l, ? ? 2

2

r

5.1580 ?2 0 002 ? ? 2 1 06 0? 10 5 8 , (02 ?1 6 0 0 ?3 6 0 6 )

三、解答题

1. 解: tan? ? 1 ? k 2 ? 3 ? 1,?k ? ?2 ,而 3? ? ? ? 7 ? ,则 tan? ? 1 ? k ? 2,

tan ?

2

tan ?

得 tan? ?1,则 sin? ? cos? ? ? 2 ,?cos? ? sin? ? ? 2 。 2

2.解: cos x ? sin x ? 1? tan x ? 1? 2 ? ?3 cos x ? sin x 1? tan x 1? 2

3.解:原式

?

sin(1800 ? tan(? x)

x)

?

tan(900

?

1 x) tan(900

?

x)

?

cos x sin(? x)

? sin x ? tan x ? tan x(? 1 ) ? sin x

? tan x

tan x

4.解:由 sin x ? cos x ? m, 得1? 2sin x cos x ? m2, 即 sin x cos x ? m2 ?1, 2

(1) sin3 x ? cos3 x ? (sin x ? cos x)(1? sin x cos x) ? m(1? m2 ?1) ? 3m ? m3

2

2

12

(2) sin4

x

?

cos4

x

?1?

2 sin 2

x

cos2

x

?1?

m2 2(

?1)2

?

?m4

?

2m2

?1

2

2

数学 4(必修)第一章 三角函数(上) [综合训练 B 组]

一、选择题

1.B tan 6000 ? a , a ? ?4 tan 6000 ? ?4 tan 600 ? ?4 3 ?4
2.C 当 x 是第一象限角时, y ? 3 ;当 x 是第二象限角时, y ? ?1;

当 x 是第三象限角时, y ? ?1;当 x 是第四象限角时, y ? ?1

3.A 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), 4k? ? ? ? 2? ? 4k? ? 2? , (k ? Z), 2

k? ? ? ? ? ? k? ? ? , (k ? Z ), 2? 在第三、或四象限, sin 2? ? 0,

42

2

cos 2? 可正可负; ? 在第一、或三象限, cos ? 可正可负

2

2

4.B cos? ? ? 1? m2 , tan? ? sin? ? ? m

cos?

1? m2

5.D

sin? ? 1? cos2 ? ? sin? ? sin? ,

1? sin2 ?

cos?

cos? cos?

当? 是第二象限角时, sin? ? sin? ? ? tan? ? tan? ? 0 ; cos? cos?

当? 是第四象限角时, sin? ? sin? ? tan? ? tan? ? 0 cos? cos?

6.B ? ? 4? , cos? ? sin? ? ? 1 ? 3 ? ?1? 3

3

22

2

二、填空题

1.二, ?2 3

c o s? ? ? 3 2

? ,0 则? 是第二、或三象限角,而 Py ? 2 ? 0

得? 是第二象限角,则 sin? ? 1 , tan ? ? 2 ? ? 3 , x ? ?2 3

2

x3

2. ? ? ? ? (2k ?1)?

3.一、二
4. ?2020

0 ? 7.412 ? 2?

?? , 2

得?1 是第一象限角;

? 2

?

?9.99 ? 4?

??, 得?2

是第二象限角

?2 0 002 ? ? 5? 3 06 0? ?( 02 0 2 )

5. 0 t a n 00? 0 , c o 0s ?9 0 0 , s0i?n 1 8 0 00,?c o s 2 7 0 0 ? 0 , s i n 3 6 0 0
三、解答题

1.解: ?900 ? ?? ? 900, ?450 ? ? ? ? 450, ?900 ? ? ? 900, 2

? ? ? ? ? ? (? ? ) , ?1350 ? ? ? ? ? 1350

2

2

2

2.解: f (1) ? cos ? ? 1 , f (4) ? f (1) ?1 ? ? 1

3

32 3 3

2

13

? f (1) ? f (4) ? 0 33

3.解:(1) 2 sin2

x ? 1 cos2 x ?

2 sin2 3

x ? 1 cos2 4

x

?

2 tan2 3

x?1 4

?

7

3

4

sin2 x ? cos2 x

tan2 x ?1 12

(2)

2 sin 2

x

? sin

x cos

x

?

cos2

x

?

2 sin 2

x ? sin sin2 x

x cos x ? ? cos2 x

cos2

x

? 2 tan2 x ? tan x ?1 ? 7

tan x ?1

5

4.证明:右边 ? (1? sin ? ? cos ?) 2 ? 2 ? 2sin ? ?2cos ? ?2sin ?cos ?

? 2 ( 1? s i?n? c?o?s ?s i n ?c o s )

? 2 ( 1? s i?n ?) ( 1 ?c o s )

?2(1? sin? )(1? cos? ) ? (1? sin? ? cos? )2
数学 4(必修)第一章 三角函数(上) [提高训练 C 组]
一、选择题

1.D sin 6000 ? sin 2400 ? sin(1800 ? 600 ) ? ? sin 600 ? ? 3 2

2.A

cos x ? 0,1? ax ? 0, x ? a ? 0,

(a ? x)2 x?a

?

cos x cos x

?

1? ax ax ?1

? 1? (?1) ? (?1)

?1

3.B

log3 sin ? ? 0, 3log3 sin?

? 3?log3 sin?

? 3log3

1 sin?

?1 sin ?

4.A 作出图形得 1 ? sin 0.5, r ? 1 ,l ? ? ? r ? 1

r

sin 0.5

sin 0.5

5.D 画出单位圆中的三角函数线

6.A (cos? ? cos?1 ? )2 ? (cos? ? cos?1 ? )2 ? 4 ? 8, cos? ? cos?1 ? ? 2 2

二、填空题

1. ? 77 在角? 的终边上取点 P(?12,5), r ? 13, cos? ? ?12 , tan? ? ? 5 ,sin? ? 5

13

13

12

13

2.一、或三

2k1?

??

??

?

2k 1?

? 3? 2

,k( 1? Z

)k,

?22

?

? 2

?

? ?2

k ?22? ?

k ?,2Z(

(k1 ?

k2 )?

?? 4

?

?? 2

??

(k1?

k2?) ?

? 2

3.17.3 h ? t a n 300h ,? 1 0 3 30

4.二 tan? sin? ? sin2 ? ? 0, cos? ? 0,sin? ? 0 cos?

5.[?2, 0] [? , 2] 3

A

?

? ?

x|

?

k? ? ? ? 3

x?

?k?

?,

?k

? ?

Z?

?

. . . ? [2 ? 3

, 0 ]? [? , 3

三、解答题

1.解: P(a, ?b),sin? ? ?b , cos? ? a , tan? ? ? b

a2 ? b2

a2 ? b2

a

Q( b, a) , s?i n? a a2 ? b2

, ?c o?s b a2? b2

?, t?aan b

), ] ...

14

? sin? cos ?

? tan? tan ?

?1 cos? sin ?

?

?1

?

b2 a2

? a 2? b a2

2
?0。

2. 解:设扇形的半径为 r ,则

S ? 1 (20 ? 2r)r ? ?r2 ?10r 2

当 r ? 5 时, S 取最大值,此时 l ? 10, ? ? l ? 2 r

3.解:

1 1

? ?

sin sin

6 4

? ?

? cos6 ? ? cos4 ?

? 1? (sin2 ?

? cos2 ? )(sin4 ? ? sin2 ? cos2 ? 1? (1? 2 sin2 ? cos2 ? )

? cos4 ? )

?

1? (1? 1? (1?

3 sin 2 2 sin2

? ?

cos2 cos2

?) ?)

?

3 2

4.证明:由 sin? ? a sin?, tan? ? b tan?, 得 sin? ? a sin? , 即 a cos? ? b cos? tan? b tan?

而 a sin? ? sin? ,得 a2 ? b2 cos2 ? ? sin2 ? ,即 a2 ? b2 cos2 ? ?1? cos2 ? ,

得 cos2 ?

?

a2 b2

?1, 而? ?1

为锐角,?cos?

?

a2 ?1 b2 ?1

数学 4(必修)第一章 三角函数(下) [基础训练 A 组]

一、选择题

1.C 当? ? ? 时, y ? sin(2x ? ? ) ? cos 2x ,而 y ? cos 2x 是偶函数

2

2

2.C y ? sin(x ? ? ) ? y ? sin(1 x ? ? ) ? y ? sin[1 (x ? ? ) ? ? ] ? y ? sin(1 x ? ? )

3

23

2 33

26

3.B

?sin? ? cos? ??tan? ? 0

?

0

?

?? ?? 4

?

?

?

5? 4

? ???0

?

?

?

? 2

, 或?

??

?

5? 4

? ? ?(? 4

,? ) 2

(? , 5? ) 4

4.D tan? ?1,cos? ? sin? ?1, tan? ? sin? ? cos?

5.D

T

?

2? 2

? 5?

5 6.C 由 y ? sin x 的图象知,它是非周期函数

二、填空题

1.① 0 此时 f (x) ? cos x 为偶函数

2. 3 y( 2? c oxs ?) ? 2 xc o s x, ?c o2 ys ? 2? ? ? 2y ?1 2? ?1 y ?1 ,

3

y ?1

y?1 3

3. 2,或3 T ? ? , 1? ? ? 2?, ? k? ? 而, k? N? ?k 或2 , 3 kk 2

4.

? ?

x

?

|

x

?

2k?

?

? 3

,或2k?

?

? 3

,

k

?

Z

? ? ?

3
5.

x ?[ 0 ?, ] , ?0 x ?? , ??0 x ?? ? ?? ,

4

3

3

33

f (x)max

? 2sin ?? 3

?

2,sin ?? ? 2 , ?? ? ? ,? ? 3 3 23 4 4

15

三、解答题
1.解:将函数 y ? sin x, x ??0, 2? ?的图象关于 x 轴对称,得函数 y ? ?sin x, x ??0, 2? ?

的图象,再将函数 y ? ?sin x, x ??0, 2? ?的图象向上平移一个单位即可。

2.解:(1) sin1100 ? sin 700,sin1500 ? sin 300,而sin 700 ? sin 300,?sin1100 ? sin1500

(2) tan 2200 ? tan 400, tan 2000 ? tan 200, 而tan 400 ? tan 200,?tan 2200 ? tan 2000

3.解:(1) log2

1 sin

x

?1 ?

0, log2

1 sin

x

? 1,

1 sin

x

?

2, 0

?

sin

x

?

1 2

2k? ? x ? 2k? ? ? , 或 2k? ? 5? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z

6

6

(2k? , 2k? ? ? ] [2k? ? 5? , 2k? ), (k ? Z) 为所求。

6

6

(2)当0 ? x ? ?时, ?1 ? cos x ? 1 ,而[?1,1] 是 f (t) ? sin t 的递增区间

当 cos x ? ?1时, f (x)min ? sin(?1) ? ? sin1; 当 cos x ?1时, f (x)max ? sin1 。 4.解:令 sin x ? t,t ?[?1,1] , y ? 1? sin2 x ? 2 p sin x ? q

y ? ?(sin x ? p)2 ? p2 ? q ?1 ? ?(t ? p)2 ? p2 ? q ?1

y ? ?(t ? p)2 ? p2 ? q ?1对称轴为 t ? p

当 p ? ?1时,[?1,1]是函数 y 的递减区间, ymax ? y |t??1? ?2 p ? q ? 9

ymin

?

y

|t?1 ?

2p

?

q

?

6

,得

p

?

?

3 4

,q

?

15 2

,与

p

?

?1 矛盾;

当 p ? 1时,[?1,1]是函数 y 的递增区间, ymax ? y |t?1? 2 p ? q ? 9

ymin

?

y

|t??1 ?

?2 p

?

q

?

6

,得

p

?

3 4

,q

?

15 2

,与

p

? 1矛盾;

当 ?1 ? p ? 1时, ymax ? y |t?p ? p2 ? q ?1 ? 9 ,再当 p ? 0 ,

ymin ? y |t??1? ?2 p ? q ? 6 ,得 p ? 3 ?1, q ? 4 ? 2 3 ;

当 p ? 0 , ymin ? y |t?1? 2 p ? q ? 6 ,得 p ? ? 3 ?1, q ? 4 ? 2 3

? p ? ?( 3? 1 )q,? ?4 2 3

数学 4(必修)第一章 三角函数(下) [综合训练 B 组]

一、选择题

1.C

在同一坐标系中分别作出函数

y1

?

sin ?

x,

y2

?

1 4

x 的图象,左边三个交点,

右边三个交点,再加上原点,共计 7 个

2.C 在同一坐标系中分别作出函数 y1 ? sin x, y2 ? cos x, x ? (0, 2? ) 的图象,观察:

刚刚开始即 x ? (0, ? ) 时, cos x ? sin x ; 4

到了中间即 x ? (? , 5? ) 时, sin x ? cosx ; 44

最后阶段即 x ? (5? , 2? ) 时, cos x ? sin x 4

3.C 对称轴经过最高点或最低点,

f (? ) ? ?1,sin(2? ? ??) ? ?1? 2? ? ? ? ? k? ? ?

8

8

8

2

16

? ? k? ? ? , k ? Z 4

4.B A ? B ? ? , A ? ? ? B ? sin A ? cos B; B ? ? ? A ? sin B ? cos A

22

2

?sin A ? sin B ? cos A ? cos B, P ? Q

5.A T ? 2? ? 2, f (2) ? sin(2? ?? ) ? 1,? 可以等于 ?

?

2

?0,sin x ? 0

6.D

y

?

sin

x?

sin

x

?

??2sin x,sin

x

? ?0

?2

?

y

?

0

二、填空题

1. (?1, 3) 2

?1 ?

cos

x

?

0, ?1 ?

2a ? 3 4?a

?

?2a ? 3

0,

?? ? ?

4?a 2a ? 3

?? 4 ? a

? ?

0 , ?1 ?
?1

a

?

3 2

2.[? 1 ,1] 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2? , ? 1 ? cos x ? 1

2

6

32

3.[4k? ? 2? , 4k? ? 8? ], k ? Z 函数 y ? cos( x ? ? ) 递减时, 2k? ? x ? ? ? 2k? ? ?

3

3

23

23

4.[ 3 , 2] 令 ? ? ? ?x ? ? , ? ? ? x ? ? , 则[? ? , ? ] 是函数的关于

2

2

2 2?

2?

2? 2?

原点对称的递增区间中范围最大的,即[? ? , ? ] ? [? ? , ? ] ,

34

2? 2?



?? ?? 4

?

? ??

?

? 2?
??

?

? 3 ???2 2

?? 3 2?

5. (2k? ? ? , 2k? ? ? ), (k ? Z ) s i n ( c xo s? ) 而0?, ? 1 x c?o s ? 1?, x0 ?c o s 1 ,

2

2

2k? ? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z

2

2

三、解答题

1.解:(1)

??2 ? ? ??tan

log1 x
2
x?0

?

0

?

??0 ? ???k?

x ?

? x

4 ?

k?

?

? 2

得 0 ? x ? ? ,或? ? x ? 4 2

? x ?(0, ? ) [? , 4] 2

(2)当0 ? x ? ?时, 0 ? sin x ? 1,而[0,1] 是 f (t) ? cost 的递减区间

当 sin x ?1时, f (x)min ? cos1 ;

当 sin x ? 0 时, f (x)max ? cos 0 ? 1 。

2.解:(1)

tan ?

? tan 2?

tan ?
,?2 3

tan 2?
?2 3



3

3

17

(2) ? ? 1 ? ? ,?sin1 ? cos1 42

3.解:当 x ? ? 时, f (? ) ? 1有意义;而当 x ? ? ? 时, f (? ? ) 无意义,

2

2

2

2

? f (x) 为非奇非偶函数。

4.解:令 cos x ? t,t ?[?1,1] ,则 y ? 2t2 ? 2at ? (2a ?1) ,对称轴 t ? a , 2



a 2

?

?1,即 a

?

?2 时,[?1,1]是函数

y

的递增区间,

ymin

?1?

1 2





a 2

? 1,即 a

?

2 时,[?1,1]是函数

y

的递减区间,

ymin

?

?4a ?1 ?

1, 2

得 a ? 1 ,与 a ? 2 矛盾; 8



?1 ?

a 2

? 1,即 ?2

?

a

?

2 时,

ymin

?

?

a2 2

? 2a

?1 ?

1 2

, a2

?

4a

?3

?

0

得 a ? ?1, 或 a ? ?3,?a ? ?1,此时 ymax ? ?4a ?1 ? 5 。

数学 4(必修)第一章 三角函数(下) [提高训练 C 组]

一、选择题

1.D sin2 x ? cos2 x ? 0, ? cos 2x ? 0, cos 2x ? 0, 2k? ? ? ? 2x ? 2k? ? 3?

2

2

2.B 对称轴 x ? ? , f (? ) ? ?2 66

3.B f (? 15? ) ? f (? 15? ? 3? ? 3) ? f (3? ) ? sin 3? ? 2

4

42

4

42

4.C sin A1 sin A2...sin An ? 1,而0 ? sin Ai ? 1 ? sin Ai ? 1, Ai ? 900

5.B 令 cos x ? t,t ?[?1,1] ,则 y ? t2 ? 3t ? 2 ,对称轴 t ? ? 3 , 2

[? 1 , 1是] 函数 y 的递增区间,当 t ? ?1时 ymin ? 0 ;

6.A 图象的上下部分的分界线为 y ? 2 ? (?1) ? 1 ,得a ? 1 ,且2A ? 3, A ? 3

22

2

2

二、填空题

1. 4?,

[? 4,4 ]

??2a ? ? ??2a ?

b b

? ?

3 1

?

??a

? ??

b

?1 ,T
?1

?

2? b

? 4? , ?4 ?

y?4

2

2. 7 , 2 8

x

?

?? ?? 6

,

7? 6

? ??

,

?

1 2

?

sin

x

? 1,

y

?

2

s

i 2n

x?

s ixn?

1,

当 sin

x

?

1 4

时,

ymin

?

7 8

;当 sin

x

? 1,或 ?

1 2

时,

ymax

?

2



3.[? ? ,0],[? ,? ] 令 u ? cos x ,必须找 u 的增区间,画出 u ? cos x 的图象即可 22

4. ?3 显然T ? ? , f (? ? 3) ? f (3) ,令 F(x) ? f (x) ?1 ? a sin 2x ? tan x 为奇函数

F(?3) ? f (?3) ?1 ? 4, F(3) ? f (3) ?1 ? ?4, f (3) ? ?3

5. y ? 1 sin(2x ? ? )

右移? 个单位
y ? 2 s i nx ? ?2 ? ? ??y

?2

s

i

? nx (

?

横)坐?标缩?小到原?来的?2倍? ? ??

2

2

2

18

三、解答题

y ? 2sin(2x ? ? ) ?总?坐? 标缩?小到?原来?的4?倍? y ? 1 sin(2x ? ? )

2

2

2

1.解: y ? 2[sin ? cos(3x ??) ? cos ? sin(3x ??)]

3

3

? 2sin(? ? ? ? 3x) ,为奇函数,则 3

? ? ? ? k? ,? ? k? ? ? , k ? Z 。

3

3

2.解: y ? ? sin2 x ? a sin x ? a2 ? 2a ? 6,令sin x ? t,t ?[?1,1]

y ? ?t2 ? at ? a2 ? 2a ? 6 ,对称轴为 t ? a , 2



a 2

?

?1,即 a

? ?2 时,[?1,1]是函数

y

的递减区间,

ymax

?

y |t??1 ?

?a2

?

a?5

?

2

得 a2 ? a ? 3 ? 0, a ? 1? 13 , 与 a ? ?2 矛盾; 2



a 2

? 1,即 a

?

2 时,[?1,1]是函数

y

的递增区间,

ymax

?

y

|t?1 ?

?a2

?

3a

?

5

?

2

得 a2 ? 3a ? 3 ? 0, a ? 3 ? 21 ,而a ? 2,即a ? 3 ? 21 ;

2

2

当 ?1 ?

a 2

? 1,即 ?2 ?

a

?

2 时,

ymax

?

y

|
t

?

a

?

2

?

3 4

a2

? 2a ? 6

?

2

得 3a2 ? 8a ?16 ? 0, a ? 4,或 ? 4 ,而-2 ? a ? 2,即a ? ? 4 ;

3

3

?a ? ? 4 ,或 3 ? 21

3

2

3.解:令 sin x ? cos x ? t,t ? 2 sin(x ? ? ), ? ? ? x ? ? ? 3? , ? 2 ? sin(x ? ? ) ? 1

44

44 2

4

得 t ?[?1,

2] , sin

x cos x

1?t2 ?



y

1?t2 ?t?

?

? 1 t2

?t

?

1

2

22

2

对称轴 t ? 1,当 t ? 1时, ymax ? 1;当 t ? ?1时, ymin ? ?1。

4.解:(1) x ?[ ? ? , 2 ? ], A ? 1, T ? 2? ? ? ,T ? 2? ,? ? 1

63

4 36

且 f (x) ? sin(x ??) 过 ( 2? , 0) ,则 2? ?? ? ? ,? ? ? , f (x) ? sin(x ? ? )

3

3

3

3

当 ?? ? x ? ? ? 时, ? ? ? ?x ? ? ? 2? , f (?x ? ? ) ? sin(?x ? ? ? ? )

6

6

33

3

33

而函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ? ? 对称,则 f (x) ? f (?x ? ? )

6

3

即 f (x) ? sin(?x ? ? ? ? ) ? ?sin x , ?? ? x ? ? ?

33

6

19

?

f

(

x)

?

???sin(x ? ? ???? sin x,

? ), x ?[? 3 x ?[?? , ?

? 6 ? 6

, )

2? 3

]

(2)当 ? ? ? x ? 2? 时, ? ? x ? ? ? ? , f (x) ? sin(x ? ? ) ? 2

6

3

6

3

32

x ? ? ? ? ,或 3? , x ? ? ? ,或 5?

34 4

12 12

当 ?? ? x ? ? ? 时, f (x) ? ? sin x ? 2 ,sin x ? ? 2

6

2

2

x ? ? ? ,或 ? 3?

4

4

? x ? ? ? , ? 3? , ? ? ,或 5? 为所求。 4 4 12 12
数学 4(必修)第二章 平面向量

[基础训练 A 组]

一、选择题

1.D AD ? BD ? AB ? AD ? DB ? AB ? AB ? AB ? 0

2.C 因为是单位向量,| a0 |?1,| b0 |?1 3.C (1)是对的;(2)仅得 a ? b ;(3) (a ? b ) ? (a ? b ) ? a2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? 0

(4)平行时分 00 和1800 两种, a b ? a ? b cos? ? ? a ? b

4.D 若 AB ? DC ,则 A, B,C, D 四点构成平行四边形; a ? b ? a ? b

若 a // b ,则 a 在 b 上的投影为 a 或 ? a ,平行时分 00 和1800 两种

a ? b ? a b ? 0, (a b )2 ? 0 5.C 3x ?1?(?3) ? 0, x ? 1

6.D 2a ? b ? (2cos? ? 3, 2sin? ?1),| 2a ? b |? (2cos? ? 3)2 ? (2sin? ?1)2

? 8 ? 4sin? ? 4 3 cos? ? 8 ? 8sin(? ? ? ) ,最大值为 4 ,最小值为 0 3
二、填空题

1. (?3, ?2) A B? O B? O A?( ?9 , ?6 )

2. (4 , ? 3) a ? 5 , c o?s a b ,?? a b ? a1b, 方,向相同, b ? 1 a ? (4 , ? 3)

55

ab

5 55

3. 7 a ? b ? ( a ? b)2 ? 2a ?2 a b? 2 b ? 9 ?2 ?2 3?1 ? 4? ?7 2

4.圆 以共同的始点为圆心,以单位1为半径的圆

5. ? 4 a ? tb ? (a ? tb)2 ? a2 ? 2tab ? t2b 2 ? 5t2 ? 8t ? 5 ,当 t ? ? 4 时即可

5

5

三、解答题

1.解: DE ? AE ? AD ? AB ? BE ? AD ? a ? 1 b ? b ? a ? 1 b

2

2

20

BF ? AF ? AB ? AD ? DF ? AB ? b ? 1 a ? a ? b ? 1 a

2

2

G 是△ CBD 的重心, CG ? 1 CA ? ? 1 AC ? ? 1 (a ? b)

3

3

3

2.解: (a ? 2b) (a ? 3b) ? a2 ? a b ? 6b 2 ? ?72

a 2 ? a b cos 600 ? 6 b 2 ? ?72, a 2 ? 2 a ? 24 ? 0,

( a ? 4)( a ? 2) ? 0, a ? 4 3.解:设 A(x, y) , AO ? ?3 ,得 AO ? ?3OB ,即 (?x, ? y) ? ?3(2, ?1), x ? 6, y ? ?3
OB 得 A(6, ?3) , AB ? (?4, 2), AB ? 20 , b cos? ? b AB ? 5
AB 10

4.解: k a ? b ? k(1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2)
a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
(1) (k a ? b ) ? (a ? 3b) ,
得 (k a ? b ) (a ? 3b) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 (2) (k a ? b ) // (a ? 3b) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 1
3 此时 ka ? b ? (? 10 , 4) ? ? 1 (10, ?4) ,所以方向相反。
33 3
数学 4(必修) 第二章 平面向量 [综合训练 B 组]
一、选择题
1.D 起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量, OA ? OB ? BA ; AB, BA 是一对相反向量,它们的和应该为零向量, AB ? BA ? 0
2.C 设 P(x, y) ,由 AB ? 2 AP 得 AB ? 2AP ,或 AB ? ?2AP ,

AB ? (2, 2), AP ? (x ? 2, y) ,即 (2, 2) ? 2(x ? 2, y), x ? 3, y ? 1, P(3,1) ; (2, 2) ? ?2(x ? 2, y), x ?1, y ? ?1, P(1, ?1)

3.A 设 b ? ka ? (k, ?2k), k ? 0 ,而| b |? 3 5 ,则 5k2 ? 3 5, k ? ?3,b ? (?3,6)

4.D m a? b?( 2 m, 3 m)? ?( 1 , 2?) m( 2? m1 ,?3 2 )

a ? 2b ? (2,3) ? (?2, 4) ? (4, ?1) ,则 ?2m ?1 ? 12m ? 8, m ? ? 1 2

5.B

a2 ? 2a

b ? 0,b 2 ? 2a

b ? 0, a2 ? b 2, a

?

b , cos? ?

a a

b b

?

1 a2 2 a2

?1 2

6.D 3 ? 1 ? sin? cos?,sin 2? ? 1, 2? ? 900,? ? 450 23
二、填空题
1.1200 (a ? b) a? 0 ,2a ? a b? 0 , c?o s?a b ?? a2 ab ab

?1 ,?或画图来做 2

?
2. (2, ?1) 设 c ? xa ? yb ,则 (x, 2x) ? (?2y,3y) ? (x ? 2y, 2x ? 3y) ? (4,1)

21

x ? 2y ? 4, 2x ? 3y ?1, x ? 2, y ? ?1

23
3.

( 3a ? 5b )(ma ? b) ? 3ma2 ? (5m ? 3)a b ? 5b 2 ? 0

8

3m ? (5m ? 3) ? 2? cos 600 ? 5? 4 ? 0,8m ? 23

4. 2 A B? C B? C D? A ?B B?C C?D A?C C?D 2 ?A D

5. 65 a cos? ? a b ? 13

5

b 65

三、解答题
1.解:设 c ? (x, y) ,则 cos ? a, c ?? cos ? b, c ?,

? 2?

2



?x ? 2y ? 2x

? ?

x2

?

y2

?1

?

y

,即

?? ? ? ??

x y

? ?

2



?? ?

x

?

?

2 2

? ??

y

?

?

2 2 2

c ? ( 2 , 2 ) 或 (? 2 ,? 2 )

22

22

2.证明:记 AB ? a, AD ? b, 则 AC ? a ? b, DB ? a ? b ,

AC 2 ? DB 2 ? (a ? b )2 ? (a ? b )2 ? 2a2 ? 2b 2

? AC 2 ? DB 2 ? 2 a 2 ? 2 b 2

3.证明: a d ? a [(a c)b ? (a b )c] ? (a c)(a b ) ? (a b )c a

? (a c)(a b) ? (a c)(a b ) ? 0

?a ? d 4.(1)证明: (a ? b ) (a ? b ) ? a2 ? b 2 ? (cos2 ? ? sin2 ? ) ? (cos2 ? ? sin2 ? ) ? 0

?a ? b 与 a ? b 互相垂直

??
(2)k a? b ? (k cos? ? cos ? , k sin? ? sin ? ) ;

?

?

a? k b ? (cos? ? k cos ? ,sin? ? k sin ? )

?
k a? b ? k 2 ?1? 2k cos(? ?? )

?
a? kb ? k 2 ?1? 2k cos(? ?? )

而 k2 ?1? 2k cos(? ??) ? k2 ?1? 2k cos(? ??)

cos(? ??) ? 0 , ? ?? ? ?
2
数学 4(必修) 第二章 平面向量
一、选择题

[提高训练 C 组]

1.C AB ? (1, a ? 3), AC ? (2,b ? 3), AB // AC ? b ? 3 ? 2a ? 6, 2a ? b ? 3

2.C P1P2 ? (2 ? sin? ? cos?, 2 ? cos? ?sin?), P1P2 ? 2(2 ? cos? )2 ? 2sin2 ? ? 10 ? 8cos? ? 18 ? 3 2
22

3.C 单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当 b ? 0 时, a 与 c 可以为任意向量; | a ? b | ?| a ? b | ,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直;还要考虑夹角
4.C a ? 3b ? a2 ? 6a b ? 9b 2 ? 1? 6 cos 600 ? 9 ? 13

5.C cos? ? a b ? 2 ? 1 ,? ? ? ab 4 2 3

6.D 设 b ? ka ? (2k, k), ,而| b |? 2 5 ,则 5k2 ? 2 5, k ? ?,b ? (4, 2),或(?4, ?2)
二、填空题

?

?

1. 4 2a ? b? ( 2 c o? s? 3 , 2?s?i n a?1 ) ,b?2 ?

8?? ?8 s?i n ( ? ) 1 6 4 3

2.直角三角形 A B? ( 1 , 1 )A, C? ?( 3 , 3A)B, A C? 0A?,B A C

3. ( 2 , 2 ),或(? 2 , ? 2 )

22

22

设所求的向量为 (x, y), 2x ? 2 y ? 0, x2 ? y2 ? 1, x ? y ? ? 2 2

4. 6 由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得 a ?b 2 ? a ?b 2 ? 2 a 2 ? 2 b 2 ? a ?b 2 ? 2 a 2 ? 2 b 2 ? a ?b 2 ? 2? 2?4? 4 ? 6

5. (4 , ? 3) 设 b ? (x, y), 4x ? 3y ? 5, x2 ? y2 ? 1, x ? 4 , y ? ? 3

55

5

5

三、解答题

1.解:(1)若 a ?b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c ,这是一个假命题 因为 a ?b ? a ? c, a ? (b ? c) ? 0 ,仅得 a ? (b ? c)

(2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos? (? 是 a 与 b 的夹角),方向与 a 在 b 相同或相反的
一个向量.这是一个假命题

因为向量 a 在 b 的方向上的投影是个数量,而非向量。

2.证明:设 x ? (a,b), y ? (c, d) ,则 x y ? ac ? bd, x ? a2 ? b2 , y ? c2 ? d 2

而 x y ? x y cos?, x y ? x y cos? ? x y

即 x y ? x y ,得 ac ? bd ? a2 ? b2 c2 ? d 2

?(ac ? bd )2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 )

3.解:由 a ? ( 3, ?1), b ? (1 , 3 ) 得 a b ? 0, a ? 2, b ? 1 22

[a ? (t2 ? 3)b ] (?ka ? tb ) ? 0, ?ka2 ? ta b ? k(t 2 ? 3)a b ? t(t 2 ? 3)b 2 ? 0

?4k ? t3 ? 3t ? 0, k ? 1 (t3 ? 3t), f (t) ? 1 (t3 ? 3t)

4

4

4. 解: AB ? AC,? AB ? AC ? 0.

23

AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB,CQ ? AQ ? AC,

? BP ?CQ ? (AP ? AB) ? ( AQ ? AC)

? AP? AQ ? AP? AC ? AB? AQ ? AB? AC

? ?a2 ? AP? AC ? AB? AP

? ?a2 ? AP ? (AB ? AC)

? ?a2 ? 1 PQ? BC 2

? ?a2 ? 1 PQ? BC 2

? ?a 2 ? a 2 cos? .

故当cos? ? 1,即? ? 0(PQ与BC方向相同)时, BP? CQ最大.其最大值为0.

数学 4(必修)第三章 三角恒等变换 [基础训练 A 组]

一、选择题

1.D

x ? (? ? , 0) , cos x ? 4 ,sin x ? ? 3 , tan x ? ? 3 , tan 2x ? 2 tan x ? ? 24

2

5

5

4

1? tan2 x 7

2.D y ? 5sin(x ??) ? 5,T ? 2? ? 2? 1
3.C cos Acos B ? sin Asin B ? cos(A ? B) ? 0, ?cosC ? 0,cosC ? 0,C 为钝角

4.D a ? 2 sin 590 , b ? 2 sin 610 , c ? 2 sin 600

5.C y ? ? 2 sin 2x cos 2x ? ? 2 sin 4x ,为奇函数,T ? 2? ? ?

2

42

6.B sin4 ? ? cos4 ? ? (sin2 ? ? cos2 ? )2 ? 2sin2 ? cos2 ? ? 1? 1 sin2 2? 2

? 1 ?1 ( 1? c o2 s? 2 ?)1 1

2

18

二、填空题

1. 3

tan 600 ? tan(200 ? 400 ) ? tan 200 ? tan 400 ? 3 1? tan 200 tan 400

3 ? 3 tan 200 tan 400 ? tan 200 ? tan 400

2. 2008

1 ? t a n ?2 ? 1 ? s i n?2? ? 1 s?i n 2

c o s ?2

c o?s 2 c?o s 2 ?c o s 2

?

(cos? ? sin? )2 cos2 ? ? sin2 ?

?

cos? cos?

? sin? ? sin?

? 1? tan? 1? tan?

? 2008

3.? f ( x)? c o s x2? 3 s i xn?2 2 cxo??s (,2 T ? 2?) ? ?

3

2

4. 1 , 7 (sin ? ? cos ? )2 ? 1? sin? ? 4 ,sin? ? 1 , cos 2? ?1? 2sin2 ? ? 7

39

22

3

3

9

5. 600, 3 c o sA ? 2 c oBs? C ? cAo?s 2A?s i n? 12 A2? s i n A 2 s i n

2

2

2

2

2

? ?2sin2 A ? 2sin A ?1 ? ?2(sin A ? 1)2 ? 3

2

2

22 2

当 sin

A 2

?

1 2

,即

A

?

600 时,得 (cos

A ? 2cos

B

? 2

C

)max

?

3 2

24

三、解答题
1.解: sin ? ? sin ? ? ?sin?,cos ? ? cos? ? ? cos?,

(sin ? ? sin ? )2 ? (cos ? ? cos? )2 ? 1,

2 ? 2cos(? ? ? ) ? 1, cos(? ? ? ) ? ? 1 。 2

2.解:令 cos? ? cos ? ? t ,则 (sin? ? sin ? )2 ? (cos? ? cos ? )2 ? t2 ? 1 , 2

2 ? 2cos(? ? ? ) ? t2 ? 1 , 2cos(? ? ? ) ? t2 ? 3

2

2

?2 ? t2 ? 3 ? 2, ? 1 ? t2 ? 7 , ? 14 ? t ? 14

2

2

22

2

3.解:原式 ?

2 cos2 100 4sin100 cos100

?

sin

100

(

cos sin

50 50

?

sin 50 cos 50

)

?

cos100 2 sin 100

? 2 cos100

?

cos100 ? 2sin 2 sin 100

200

cos100 ? 2sin(300 ?100 ) cos100 ? 2sin 300 cos100 ? 2 cos 300 sin100

?

2 sin 100

?

2 sin 100

? c o s 300? 3 2

4.解: y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ? )

2

2

23

(1)当 x ? ? ? 2k? ? ? ,即 x ? 4k? ? ? , k ? Z 时, y 取得最大值

23

2

3

?? x ?

|

x

?

4k?

?

? 3

,

k

?

Z

? ? ?

为所求

(2)

y

?

2 sin(

x

?

?

)

右移? 个单位
???3 ???

y

?

2 sin

x

?横?坐?标缩?小到?原来?的2?倍?

y

?

2 sin

x

23

2

?纵?坐? 标缩?小到?原来?的2?倍? y ? sin x

数学 4(必修)第三章 三角恒等变换 [综合训练 B 组]

一、选择题

1.C a ? sin 300 cos 6 ? cos 300 sin 6 ? sin 240, b ? sin 260, c ? sin 250,

2.B

y

?

1? 1?

tan 2 tan 2

2x 2x

? cos 4x,T

?

2? 4

?? 2

3.B sin17 (?sin 43 ) ? (?sin 73 )(?sin 47 ) ? cos17 cos 43 ? sin17 sin 43 ? cos 600

4.D sin 2x ? cos(? ? 2x) ? cos 2(? ? x) ? 1? 2sin2(? ? x) ? 7

2

4

4

25

5.A (cos? ? sin? )2 ? 1 ,sin? cos? ? ? 4,而sin? ? 0, cos? ? 0

9

9

cos? ? sin? ? ? (cos? ? sin? )2 ? 4sin ? cos? ? ? 17 3

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? (cos? ? sin? )(cos? ? sin? ) ? ? 1 ? (? 17 ) 33

25

6.B y ? (sin2 x)2 ? cos2 x ? (sin2 x)2 ? sin2 x ?1 ? (sin2 x ? 1)2 ? 3 24

? 1 cos2 2x ? 3 ? 1 (1? cos 4x) ? 3

4

48

4

二、填空题

?
1.
6 2. 2 ?

(3sin A ? 4 cos B)2 ? (4sin B ? 3cos A)2 ? 37, 25 ? 24sin( A ? B) ? 37

sin( A ? B) ? 1 ,sin C ? 1 ,事实上 A 为钝角,?C ? ?

2

2

6

s i n ( 80 ?0 01?5 ) s i0 n 1 5 0s i n 1 0 0 s i n 80 0 c o s 10 5 c o s 1 5

3

?

?

?2? 3

sin(150 ?10 0) ? cos15 0cos 80 0 sin15 c0os10 0 sin15 0

3?
3.

y ? s i n2x ? c o2sx

? co

s?

2sxi n ? s?i n

2xc

o

? s

?c o s2x

? sin

sin

2

3

36

36

36

36

? cos(2x 3

? ? ),T 6

?

2? 2

? 3?

,相邻两对称轴的距离是周期的一半

3

3
4.
4

f ( x)? ? c o2 s x ? c oxs?1 当 , cxo?1s时

2

2

3

f

m,xa x (

?) 4

5. f (x) ? 2sin(3x ? ? ) A ? 2, T ? ? ,T ? 2? ? 2? ,? ? 3,sin? ? ?1,可取? ? ? ?

2

23

3?

2

三、解答题

1.解:(1)原式

?

sin

60

cos120

cos

240

cos 480

?

sin

60

cos 60

cos120 cos cos 60

240

cos 480

1 sin120 cos120 cos 240 cos 480 1 sin 240 cos 240 cos 480

?2

cos 60

?4

cos 60

?

1 sin 480 cos 480 8
cos 60

?

1 sin 960 16
cos 60

?

1 cos 60 16
cos 60

?1 16

(2)原式 ? 1? cos 400 ? 1? cos1000 ? 1 (sin 700 ? sin 300 )

2

2

2

? 1? 1 (cos1000 ? cos 400 ) ? 1 sin 700 ? 1

2

2

4

? 3 ? sin 700 sin 300 ? 1 sin 700 ? 3

4

2

4

2.证明: A ? B ? ? ,?tan(A ? B) ? tan A ? tan B ? 1,

4

1? tan A tan B

得 tan A ? tan B ? 1? tan Atan B,

1? tan A? tan B ? tan Atan B ? 2 ?(1? tan A)(1? tan B) ? 2

3.解:原式

?

log2 (cos

? 9

cos

2? 9

cos

4? 9

),

而 cos ? cos 2? cos 4? 99 9

sin ? cos ? cos 2? cos 4?

?

9

99 sin ?

9

?1 8

9

26

即原式

?

log2

1 8

?

?3

4.解: f (x) ? a ?1? cos 2x ? a ? 1 sin 2x ? b ? 2a sin(2x ? ? ) ? a ? b

2

2

2

42

(1) 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k? ? 3? ? x ? k? ? ? ,

2

4

2

8

8

[k? ? 3? , k? ? ? ], k ? Z 为所求

8

8

(2) 0 ?

x?

?

? ,

? 2x ? ?

?

5?

,?

2 ? sin(2x ? ? ) ? 1,

24

44 2

4

f

( x)min

? 1? 2

2

a?b

? 3,

f

( x) max

?b

?

4,

? a ? 2 ? 2 2b, ? 4

数学 4(必修)第三章 三角恒等变换 [提高训练 C 组]

一、选择题

1.C

cos2 100 ? sin2 100 ? cos100 ? sin100 ? 2 sin 550 ? 2

cos 350 (cos100 ? sin100 )

cos 350

cos 350

2.C y ? 2cos(? ? x) ? cos(? ? x) ? cos(? ? x) ? ?1

6

6

6

3.B y ? 1 sin 2x ? 3 (1? cos 2x) ? 3 ? 1 sin 2x ? 3 cos 2x ? 3

2

2

2

2

2

? sin(2x ? ? ) ? 3 ,令2x ? ? ? k? , x ? k? ? ? ,当k ? 2, x ? 5?

32

3

26

6

4.D y ? sin2 A ? 2sin B ? sin2 A ? 2 cos A ? 1? cos2 A ? 2 cos A

? ?(cos A ?1)2 ? 2 ,而 0 ? cos A ?1,自变量取不到端点值

5.C (1? tan 210 )(1? tan 240 ) ? 2, (1? tan 220 )(1? tan 230 ) ? 2 ,更一般的结论

? ? ? ?4 50 , ( 1? t a?n )?( 1 ?t a ?n ) 2

6.A

f

(x)

?

tan

1 x ? tan2

x

?

?(tan

1 x ? 1)2

?

1

,当tan

x

?

1 时, 2

f

( x)min

?

4

24

二、填空题

1. ③ 对于①, sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ? ) ? 2 ? 3 ;

4

2

对于②,反例为? ? 300, ? ? ?3300 ,虽然? ? ? ,但是 cos? ? cos ?

对于③, y ? sin 2x ? y ? sin 2(x ? ? ) ? sin(2x ? ? )

4

2

2.? y ? 1? c o xs ? 1? ? cxo?s ?

1

s i nx s ixn

sxi n xt a n

3. ? 59 (sin? ? cos ? )2 ? (sin ? ? cos? )2 ? 13 , 2sin(? ? ? ) ? ? 59

72

36

36

4.1

y ? 2sin(x ? ? ), ? 33

?

x?? 3

?

5? 6

,

ym

i

n?

2

sin

5? 6

?1

27

5.1, ?2 2 y ? ac o 2s x? bs i nx c o x?sb 2

s i n?xa2 2

c o?xas 2 2

三、解答题

? a2 ? b2 sin(2x ? ?) ? a , a2 ? b2 ? a ? 2, ? a2 ? b2 ? a ? ?1, a ? 1, b ? ?2 2

2

22

2

2

2

1. 解:(1)当? ? 0时, f (x) ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ? ) 4

2k? ? ? ? x ? ? ? 2k? ? ? , 2k? ? 3? ? x ? 2k? ? ? , f (x) 为递增;

2

4

2

4

4

2k? ? ? ? x ? ? ? 2k? ? 3? , 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 5? , f (x) 为递减

2

4

2

4

4

? f (x) 为递增区间为[2k? ? 3? , 2k? ? ? ], k ? Z ;

4

4

f (x) 为递减区间为[2k? ? ? , 2k? ? 5? ], k ? Z 。

4

4

(2) f (x) ? 2 cos(x ? ? ?? ) 为偶函数,则? ? ? ? k?

4

4

?? ? k? ? ? , k ? Z 4

2.解: 2(2 cos2 B ?1) ? 8cos B ? 5 ? 0, 4 cos2 B ? 8cos B ? 5 ? 0

得 cos B ? 1 ,sin B ? 3 , cos? ? a ?b ? ? 3 ,sin? ? 4 ,

2

2

a?b 5

5

sin(B ?? ) ? sin B cos? ? cos B sin? ? 4 ? 3 3 10

3.解: (? ? x) ? (? ? x) ? ? ,?cos(? ? x) ? sin(? ? x) ? 5 ,

4

4

2

4

4

13

而 cos 2x ? sin(? ? 2x) ? sin 2(? ? x) ? 2sin(? ? x) cos(? ? x) ? 120

2

4

4

4

169

120

?

cos cos(?

2x ? x)

?

169 5

?

12 13



4

13

4.解: f (x) ? 1 a sin 2x ? 3a (1? cos 2x) ? 3 a ? b

2

2

2

? a sin 2x ? 3a cos 2x ? b ? a sin(2x ? ? ) ? b

2

2

3

(1) 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? 3? , k? ? 5? ? x ? k? ? 11?

2

3

2

12

12

?[k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 为所求

12

12

(2) 0 ? x ? ? , ? ? ? 2x ? ? ? 2? , ? 3 ? sin(2x ? ? ) ? 1

23

33 2

3

f (x)min ? ?

3 2

a

?b

?

?2,

f

( x)max

?

a

?b

?

3,

28

? ?? ?

3 2

a

?

b

?

?2

?

??a ?

?

2

??a ? b ? 3

??b ? ?2 ? 3

29


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