椭圆各类题型分类汇总

椭圆经典例题分类汇总
1. 椭圆第一定义的应用
例 1 椭圆的一个顶点为 A?2, 0? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程.

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,求 k 的值. 例2 已知椭圆 2 k ?8 9

例3

已知方程

x2 y2 ? ? ?1表示椭圆,求 k 的取值范围. k ?5 3? k

例4

2 已知 x s i n 求 ? 的取值范围. ? ? y2 c o ? s ? 1 (0 ? ? ? ? ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,

例 5 已知动圆 P 过定点 A?? 3, 0? ,且在定圆 B: ?x ? 3? ? y 2 ? 64的内部与其相内切,求动
2

圆圆心 P 的轨迹方程.

1

2.焦半径及焦三角的应用
x2 y 例 1 已知椭圆 ? ? 1 , F1 、 F2 为两焦点,问能否在椭圆上找一点 M ,使 M 到左准 4 3
线 l 的距离 MN 是 MF1 与 MF2 的等比中项?若存在,则求出点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由.
2

例 2 已知椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? ,长轴端点为 A1 , A2 ,焦点为 F1 , F2 , P 是椭 a 2 b2

圆上一点, ?A1PA2 ? ? , ?F1PF2 ? ? .求: ?F1PF2 的面积(用 a 、 b 、 ? 表示) .

3.第二定义应用
x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 A 1 例 1 椭圆 ,3 ,点 M 在椭圆上,当 AM ? 2 MF 为 16 12
最小值时,求点 M 的坐标.

? ?

2

例 2 已知椭圆 离.

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 b (b ? 1) ,求 P 到左准线的距 4b 2 b 2

例 3 已知椭圆 椭圆上一点.

x2 y2 ? ? 1 内有一点 A(1 , 1) , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点,点 P 是 9 5

P 坐标; (1) 求 PA ? PF 1 的最大值、最小值及对应的点
(2) 求 PA ?

3 PF2 的最小值及对应的点 P 的坐标. 2

4.参数方程应用
例 1 求椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的点到直线 x ? y ? 6 ? 0 的距离的最小值. 3

3

例2

(1)写出椭圆

x2 y2 ? ? 1 的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积. 9 4

例 3

椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与 x 轴正向交于点 A ,若这个椭圆上总存在点 P ,使 a 2 b2

OP ? AP ( O 为坐标原点),求其离心率 e 的取值范围.

5.相交情况下--弦长公式的应用
2 2 例 1 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y ? x ? m .

(1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

4

例 2 已知长轴为 12,短轴长为 6,焦点在 x 轴上的椭圆,过它对的左焦点 F1 作倾斜解为 的直线交椭圆于 A , B 两点,求弦 AB 的长.

? 3

6.相交情况下—点差法的应用
例 1 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点, M 为

AB 中点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.

例 2 已知椭圆

x2 ?1 1? ? y 2 ? 1 ,求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程. 2 ? 2 2?

5

例 3 已知椭圆

x2 ?1 1? (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; ? y2 ? 1 , 2 ? 2 2?

(2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 kOP ? kOQ ? ? 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.

1 , 2

例 4 已知椭圆 C: ?

x2 4

y2 ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y ? 4 x ? m ,椭圆 3

C 上有不同的两点关于该直线对称.

例 5 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆

x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点,求直线 l 的方程. 36 9

6

椭圆经典例题分类汇总
1.椭圆第一定义的应用
例 1 椭圆的一个顶点为 A?2, 0? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解: (1)当 A?2, 0? 为长轴端点时, a ? 2 , b ? 1 ,

椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1; 4 1

(2)当 A?2, 0? 为短轴端点时, b ? 2 , a ? 4 ,

椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1; 4 16

说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆 的横竖的,因而要考虑两种情况. 例 2 已知椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,求 k 的值. 2 k ?8 9

分析:分两种情况进行讨论. 解: 当椭圆的焦点在 x 轴上时,a ? k ? 8 ,b ? 9 , 得 c ? k ? 1. 由e ?
2 2 2

1 , 得k ? 4. 2

当椭圆的焦点在 y 轴上时, a ? 9 , b ? k ? 8 ,得 c ? 1 ? k .
2 2 2

1 1? k 1 5 ? ,即 k ? ? . ,得 2 9 4 4 5 ∴满足条件的 k ? 4 或 k ? ? . 4
由e ? 说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为 k ? 8 与 9 的大小关系不定,所以椭 圆的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上.故必须进行讨论. 例5 已知方程

x2 y2 ? ? ?1表示椭圆,求 k 的取值范围. k ?5 3? k

?k ? 5 ? 0, ? 解:由 ?3 ? k ? 0, 得 3 ? k ? 5 ,且 k ? 4 . ?k ? 5 ? 3 ? k , ?
∴满足条件的 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 ,且 k ? 4 .
7

说明:本题易出现如下错解:由 ?

?k ? 5 ? 0, 得 3 ? k ? 5 ,故 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 . ?3 ? k ? 0,

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a ? b ? 0 这个条件, 当 a ? b 时, 并不表示 椭圆. 例6 已知 x 2 s i n 求 ? 的取值范围. ? ? y2 c o ? s ? 1 (0 ? ? ? ? ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,

分析:依据已知条件确定 ? 的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出 ? 的 取值范围.

x2 y2 1 1 ? ? 0. ? ? 1 .因为焦点在 y 轴上,所以 ? 解:方程可化为 1 1 cos ? sin ? sin ? cos?
因此 sin ? ? 0 且 tan ? ? ?1 从而 ? ? (

? 3

, ?). 2 4

1 1 ? 0,? ? 0 ,这是容易忽视的地方. sin ? cos ? 1 1 2 2 (2)由焦点在 y 轴上,知 a ? ? ,b ? . (3)求 ? 的取值范围时,应注意题目 cos ? sin ? 中的条件 0 ? ? ? ?
说明:(1)由椭圆的标准方程知 例 5 已知动圆 P 过定点 A?? 3, 0? ,且在定圆 B: ?x ? 3? ? y 2 ? 64的内部与其相内切,求动
2

圆圆心 P 的轨迹方程. 分析:关键是根据题意,列出点 P 满足的关系式. 解:如图所示,设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M .动点 P 到两定点, 即定点 A?? 3, 0? 和定圆圆心 B?3, 0? 距离之和恰好等于定圆半径, 即 PA ? PB ? PM ? PB ? BM ? 8 .∴点 P 的轨迹是以 A , B 为两焦点, 半长轴为 4,半短轴长为 b ? 42 ? 32 ? 7 的椭圆的方程:

x2 y2 ? ?1. 16 7

说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方 程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.

2.焦半径及焦三角的应用
x2 y ? ? 1 , F1 、 F2 为两焦点,问能否在椭圆上找一点 M ,使 M 到左准 例 1 已知椭圆 4 3
线 l 的距离 MN 是 MF1 与 MF2 的等比中项?若存在,则求出点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由.
2

8

解:假设 M 存在,设 M ?x1,y1 ? ,由已知条件得

a ? 2 , b ? 3 ,∴ c ? 1 , e ?
∵左准线 l 的方程是 x ? ?4 , ∴ MN ? 4 ? x1 . 又由焦半径公式知:

1 . 2

MF1 ? a ? ex1 ? 2 ?
∵ MN
2

1 1 x1 , MF2 ? a ? ex1 ? 2 ? x1 . 2 2

1 ?? 1 ? ? ? MF1 ? MF2 ,∴ ?x1 ? 4?2 ? ? 2 ? x1 ?? 2 ? x1 ? . 2 ?? 2 ? ?

2 整理得 5x1 ? 32x1 ? 48 ? 0 .

解之得 x1 ? ?4 或 x1 ? ? 另一方面 ? 2 ? x1 ? 2 .

12 . 5

① ②

则①与②矛盾,所以满足条件的点 M 不存在. 例 2 已知椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? ,长轴端点为 A1 , A2 ,焦点为 F1 , F2 , P 是椭 a 2 b2

圆上一点, ?A1PA2 ? ? , ?F1PF2 ? ? .求: ?F1PF2 的面积(用 a 、 b 、 ? 表示) . 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角 ? 的两邻边,从而利用 S ? ?

1 ab sin C 求面积. 2

解:如图,设 P?x,y ? ,由椭圆的对称性,不妨设 P?x,y ? ,由椭圆的对称性,不妨设 P 在第一象限.由余弦定理知: 由椭圆定义知: PF 1 ? PF 2 ? 2a
2 F1 F2 ? PF1 ? PF2 ? 2 PF 1 ·PF 2 cos? ? 4c .①
2 2 2

②,则 ② -① 得

2

PF1 ? PF2 ?

2b 2 . 1 ? cos?

故 S ?F1PF2 ?

1 ? 1 2b 2 PF1 ? PF2 sin ? ? sin ? ? b 2 tan . 2 2 2 1 ? cos?

3.第二定义应用
x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 A 1 例 1 椭圆 ,3 ,点 M 在椭圆上,当 AM ? 2 MF 为 16 12
最小值时,求点 M 的坐标. 分析:本题的关键是求出离心率 e ?

? ?

1 ,把 2 MF 转化 2
9

为 M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求 AM ? 解:由已知: a ? 4 , c ? 2 .所以 e ?

1 MF 均可用此法. e

1 ,右准线 l:x ? 8 . 2

过 A 作 AQ ? l ,垂足为 Q ,交椭圆于 M ,故 MQ ? 2 MF .显然 AM ? 2 MF 的 最小值为 AQ ,即 M 为所求点,因此 yM ? 3 ,且 M 在椭圆上.故 xM ? 2 3 .所以

M 2 3,3 .
说明:本题关键在于未知式 AM ? 2 MF 中的“2”的处理.事实上,如图, e ?

?

?

1 , 2

即 MF 是 M 到右准线的距离的一半, 即图中的 MQ , 问题转化为求椭圆上一点 M , 使M 到 A 的距离与到右准线距离之和取最小值. 例 2 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 b (b ? 1) ,求 P 到左准线的距 4b 2 b 2

离. 分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.

x2 y2 3 解法一:由 2 ? 2 ? 1 ,得 a ? 2b , c ? 3b , e ? . 2 4b b
由椭圆定义, PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 4b ,得

PF 1 ? 4b ? PF 2 ? 4b ? b ? 3b .
由椭圆第二定义,

PF1 d1

? e , d1 为 P 到左准线的距离,

∴ d1 ?

PF1 e

? 2 3b ,

即 P 到左准线的距离为 2 3b . 解法二:∵

PF2 d2
PF2 e

? e , d 2 为 P 到右准线的距离, e ?

c 3 , ? a 2

∴ d2 ?

?

2 3 a2 8 3 b .又椭圆两准线的距离为 2 ? ? b. 3 c 3 8 3 2 3 b? b ? 2 3b . 3 3

∴ P 到左准线的距离为

10

说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解. 椭圆有两个定义, 是从不同的角度反映椭圆的特征, 解题时要灵活选择, 运用自如. 一般地, 如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用 椭圆的第二定义. 例 3 已知椭圆 椭圆上一点.

x2 y2 ? ? 1 内有一点 A(1 , 1) , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点,点 P 是 9 5

P 坐标; (1) 求 PA ? PF 1 的最大值、最小值及对应的点
(2) 求 PA ?

3 PF2 的最小值及对应的点 P 的坐标. 2

分析: 本题考查椭圆中的最值问题, 通常探求变量的最值有两种方法: 一是目标函数当, 即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解 决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.

解: (1) 如 上 图 , 2a ? 6 , F2 (2 , 0) , AF2 ?

2 ,设 P 是椭圆上任一点,由
, ∴

PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 6



PA ? PF2 ? AF2

PA ? PF1 ? PF1 ? PF2 ? AF2 ? 2a ? AF2 ? 6 ? 2 , 等号仅当 PA ? PF 2 ? AF 2 时成
立,此时 P 、 A 、 F2 共线.

PA ? PF1 ? PF1 ? PF2 ? AF2 ? 2a ? AF2 ? 6 ? 2 ,等 由 PA ? PF 2 ? AF 2 ,∴
P 、 A 、 F2 共线. 号仅当 PA ? PF 2 ? AF 2 时成立,此时
建立 A 、 F2 的直线方程 x ? y ? 2 ? 0 ,解方程组 ?

? x ? y ? 2 ? 0,
2 2 ?5 x ? 9 y ? 45

得两交点

9 15 5 15 9 15 5 15 P 2, ? 2 ) 、 P2 ( ? 2, ? 2) . 1( ? 7 14 7 14 7 14 7 14
P 点与 P2 重合时, 综上所述, P 点与 P1 重合时, PA ? PF 1 取最小值 6 ? 2 ,

11

PA ? PF2 取最大值 6 ? 2 .
(2)如下图, 设 P 是椭圆上任一点, 作 PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足, 由 a ? 3 ,c ? 2 , ∴ e?

PF2 2 3 2 . 由 椭 圆 第 二 定 义 知 , ∴ PQ ? PF2 ?e? 3 2 PQ 3

, ∴

3 PF2 ? PA ? PQ ,要使其和最小需有 A 、P 、Q 共线,即求 A 到右准线距离.右 2 9 准线方程为 x ? . 2 PA ?

∴ A 到右准线距离为

7 .此时 P 点纵坐标与 A 点纵坐标相同为 1,代入椭圆得满足条 2

件的点 P 坐标 (

6 5 , 1) . 5
1 PF2 的最小值, 就是用第二定义转化后, 过 A 向相应准线作垂线段. 巧 e

说明: 求 PA ?

用焦点半径 PF2 与点准距 PQ 互化是解决有关问题的重要手段.

4.参数方程应用
例 1 求椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的点到直线 x ? y ? 6 ? 0 的距离的最小值. 3

分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最 小值. 解:椭圆的参数方程为 ? 直线的距离为

? x ? 3 cos?, ? y ? sin ? .

设椭圆上的点的坐标为

? 3 cos?, sin? ?,则点到

d?

?? ? 2 sin ? ? ? ??6 3 cos? ? sin ? ? 6 ?3 ? . ? 2 2

12

当 sin ?

?? ? ? ? ? ? ?1 时, d最小值 ? 2 2 . ?3 ?

说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程. 例2 (1)写出椭圆

x2 y2 ? ? 1 的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积. 9 4

分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆 的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题. 解:(1) ?

? x ? 3 cos? (? ? R) . ? y ? 2 sin ?

(2) 设椭圆内接矩形面积为 S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于 x 轴和 y 轴,设

? (3 cos? , 2 sin? ) 为矩形在第一象限的顶点, (0 ? ? ? ) , 2 则 S ? 4 ? 3 cos ? ? 2 sin ? ? 12 sin 2? ? 12
故椭圆内接矩形的最大面积为 12. 说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最 值问题,用参数方程形式较简便. 例 3 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与 x 轴正向交于点 A ,若这个椭圆上总存在点 P ,使 a 2 b2

OP ? AP ( O 为坐标原点),求其离心率 e 的取值范围. 分析:∵ O 、 A 为定点, P 为动点,可以 P 点坐标作为参数,把 OP ? AP ,转化为 P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于 a 、 b 、 c 的一个不等式,转化为关于

e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.
解:设椭圆的参数方程是 ?

? x ? a cos? (a ? b ? 0) , y ? b sin ? ?

则椭圆上的点 P(a cos? , b sin ? ) , A(a , 0) , ∵ OP ? AP ,∴

b sin ? b sin ? ? ? ?1 , a cos? a cos? ? a
b2 , a 2 ? b2

即 (a ? b ) cos
2 2

2

? ? a 2 cos? ? b2 ? 0 ,解得 cos ? ? 1 或 cos? ?

b2 ? 1 ,又 b 2 ? a 2 ? c 2 ∵ ?1 ? cos ? ? 1 ∴ cos ? ? 1 (舍去) , ?1 ? 2 2 a ?b
∴0 ?

a2 2 2 ? 2 ,∴ e ? ? e ? 1. ,又 0 ? e ? 1 ,∴ 2 c 2 2

13

说明:若已知椭圆离心率范围 ( 证明?

2 , 1) ,求证在椭圆上总存在点 P 使 OP ? AP .如何 2

5.相交情况下--弦长公式的应用
例 1 已知椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m . (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

解: (1)把直线方程 y ? x ? m 代入椭圆方程 4 x 2 ? y 2 ? 1 得
2 2

4x2 ? ?x ? m? ? 1 ,
2

即 5x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 . ? ? ?2m? ? 4 ? 5 ? m2 ?1 ? ?16m2 ? 20 ? 0 , 解 得
2

?

?

?

5 5 . ?m? 2 2

2m m2 ? 1 (2) 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x1 , 由 (1) 得 x1 ? x2 ? ? ,x1 x2 ? . x2 , 5 5
根据弦长公式得 : 1?1 ? ? ?
2

m 2 ? 1 2 10 ? 2m ? ? 4 ? ? .解得 m ? 0 .方程为 ? 5 5 ? 5 ?

2

y ? x.
说明: 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题, 采用的方法与处理直线和圆的 有所区别. 这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式 ? ;解决弦长问题,一般应用弦长 公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系) ,可大大简化运算过程. 例 2 已知长轴为 12,短轴长为 6,焦点在 x 轴上的椭圆,过它对的左焦点 F1 作倾斜解为 的直线交椭圆于 A , B 两点,求弦 AB 的长. 分析:可以利用弦长公式 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

? 3

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 求得,

也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求. 解:(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.

b ? 3, AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] . 因为 a ? 6 , 所以 c ? 3 3 . 因
14

为焦点在 x 轴上, 所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,左焦点 F (?3 3 , 0) ,从而直线方程为 y ? 3x ? 9 . 36 9
2

由直线方程与椭圆方程联立得: 13x ? 72 3x ? 36? 8 ? 0 .设 x1 , x2 为方程两根,所以

x1 ? x2 ? ?

72 3 13



x1 x2 ?

36 ? 8 13



k? 3







AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?
(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解. 由题意可知椭圆方程为

48 . 13

x2 y2 ? ? 1 , 设 AF 1 ? m , BF 1 ? n , 则 AF 2 ? 12 ? m , 36 9

BF2 ? 12 ? n .


?AF 1F2





AF2 ? AF1 ? F1 F2 ? 2 AF1 F1 F2 c

2

2

2

?

o 3

s ,



1 (12 ? m) 2 ? m 2 ? 36 ? 3 ? 2 ? m ? 6 3 ? ; 2
所以 m ?

48 6 6 .同理在 ?BF ,所以 AB ? m ? n ? . 1F2 中,用余弦定理得 n ? 13 4? 3 4? 3

(法 3)利用焦半径求解. 先根据直线与椭圆联立的方程 13x ? 72 3x ? 36? 8 ? 0 求出方程的两根 x1 , x2 ,它们分
2

别是 A , B 的横坐标. 再根据焦半径 AF 1 ? a ? ex 1 , BF 1 ? a ? ex2 ,从而求出 AB ? AF 1 ? BF 1

6.相交情况下—点差法的应用
例 1 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点, M 为

AB 中点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.
解:由题意,设椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 , a2

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 由 ? x2 ,得 ?1 ? a? x2 ? 2a 2 x ? 0 , 2 ? 2 ? y ?1 ?a

15

∴ xM ?

1 x1 ? x2 1 ? a 2 ? 2 , y M ? 1 ? xM ? , 1? a2 2 a

? k OM ?

yM 1 1 ? 2 ? ,∴ a 2 ? 4 , xM a 4



x2 ? y 2 ? 1 为所求. 4

说明: (1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法; (2)直线与曲线的综合问题,经常要 借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. 例 2 已知椭圆

x2 ?1 1? ? y 2 ? 1 ,求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程. 2 ? 2 2?

分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为 k ,利用条件求 k . 解法一:设所求直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ? 整理得

1 1? ? ? k ? x ? ? .代入椭圆方程,并 2 2? ?

?1 ? 2k ?x ? ?2k
2 2

2

1 3 ? 2k x ? k 2 ? k ? ? 0 . 2 2

?

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

2k 2 ? 2k . 1 ? 2k 2
1 . 2

∵ P 是弦中点,∴ x1 ? x2 ? 1.故得 k ? ? 所以所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 .

分析二:设弦两端坐标为 ?x1,y1 ? 、 ?x2,y2 ? ,列关于 x1 、 x2 、 y1 、 y2 的方程组,从 而求斜率:

y1 ? y2 . x1 ? x2 ?1 1? ? 2 2?

解法二:设过 P? , ? 的直线与椭圆交于 A?x1,y1 ? 、 B?x2,y2 ? ,则由题意得

? x12 2 ? ? y1 ? 1, ? 22 ? x2 2 ? ? y2 ? 1, 2 ? ? x1 ? x2 ? 1, ? ? y1 ? y2 ? 1.

① ② ③ ④

16

①-②得

2 x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 ? 0. 2



将③、④代入⑤得

1 y1 ? y2 1 ? ? ,即直线的斜率为 ? . 2 x1 ? x2 2

所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . 说明: (1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点 轨迹;过定点的弦中点轨迹. (2)解法二是“点差法” ,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率. (3)有关弦及弦中点问题常用的方法是: “韦达定理应用”及“点差法” .有关二次曲 线问题也适用. 例 3 已知椭圆

x2 ?1 1? ? y2 ? 1 , (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; 2 ? 2 2?

(2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 kOP ? kOQ ? ? 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程. 分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为 M ?x1,y1 ? , N ?x2,y2 ? ,线段 MN 的中点 R?x,y ? ,则

1 , 2

? x12 ? 2 y12 ? 2, ? 2 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 2, ? ? x1 ? x2 ? 2 x, ? y ? y ? 2 y, ? 1 2

① ② ③ ④

①-②得 ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 2? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 . 由 题 意 知 x1 ? x2 , 则 上 式 两 端 同 除 以 x1 ? x2 , 有

?x1 ? x2 ?2? y1 ? y2 ? y1 ? y2
x1 ? x2
将③④代入得 x ? 2 y

? 0,

y1 ? y2 ? 0 .⑤ x1 ? x2

(1) 将x?

1 1 y ? y2 1 ?? , ,y ? 代入⑤, 得 1 故所求直线方程为: 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . ⑥ 2 2 x1 ? x2 2
2

2 2 将⑥代入椭圆方程 x ? 2 y ? 2 得 6 y ? 6 y ?

1 1 ? 0 , ? ? 36 ? 4 ? 6 ? ? 0 符合题意, 4 4

2 x ? 4 y ? 3 ? 0 为所求.
17

(2)将

y1 ? y2 ? 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x1 ? x2 y1 ? y2 y ? 1 代入⑤得所求轨迹方程为: ? x1 ? x2 x ? 2

(椭圆内部分) x ? 4y ? 0 .

(3)将 部分)

(椭圆内 x2 ? 2 y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 .

(4)由①+②得 :

2 x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 ? 2 , ⑦, 2

?

?

将③④平方并整理得

2 x12 ? x2 ? 4 x 2 ? 2x1 x2 ,

⑧,

2 y12 ? y2 ? 4 y 2 ? 2 y1 y2 ,



将⑧⑨代入⑦得:

4 x 2 ? 2 x1 x2 ? 4 y 2 ? 2 y1 y2 ? 2 , 4

?

?



再将 y1 y2 ? ?

1 x1 x2 代入⑩式得: 2

? 1 ? 2 x 2 ? x1 x2 ? 4 y 2 ? 2? ? x1 x2 ? ? 2 , ? 2 ?



x2 ?

y2 ?1. 1 2

此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决. 例 4 已知椭圆 C: ?

x2 4

y2 ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y ? 4 x ? m ,椭圆 3

C 上有不同的两点关于该直线对称. 分析:若设椭圆上 A , B 两点关于直线 l 对称,则已知条件等价于: (1)直线 AB ? l ;(2) 弦 AB 的中点 M 在 l 上.
利用上述条件建立 m 的不等式即可求得 m 的取值范围. 解: (法 1)设椭圆上 A( x1 , y1 ) , 直线 AB 与 l 交于 M ( x0 , y0 ) B( x2 , y2 ) 两点关于直线 l 对称, 点. ∵ l 的斜率 kl ? 4 , ∴设直线 AB 的方程为 y ? ?
y ? ? x ? n, 1 ? 4 x ? n. 由方程组 ? 消去 y 得 ? 2 2 4 x y ? ? ? 1, ?4 3 ? ? 1

13x 2 ? 8nx ? 16n2 ? 48 ? 0

① 。 ∴ x1 ? x2 ?

8n x ? x2 4 n ? . 于 是 x0 ? 1 , 13 2 13

1 12 n y0 ? ? x0 ? n ? , 4 13 4n 12 n 4n , ) .∵点 M 在直线 y ? 4 x ? m 上,∴ n ? 4 ? ? m .解得 即点 M 的坐标为 ( 13 13 13

18

n??

13 m. ② 4
2 2

将式②代入式①得 13x ? 26mx ? 169m ? 48 ? 0



∵ A , B 是 椭 圆 上 的 两 点 , ∴ ? ? (26m)2 ? 4 ?13(169m2 ? 48) ? 0 . 解 得

?

2 13 2 13 . ?m? 13 13
13 4 13 m ,∴ x0 ? (? m) ? ?m , 4 13 4 1 13 1 13 y0 ? ? x0 ? m ? ? ? (?m) ? m ? ?3m ,即 M 点坐标为 (?m , ? 3m) . 4 4 4 4

(法 2)同解法 1 得出 n ? ?

∵ A , B 为椭圆上的两点,∴ M 点在椭圆的内部,∴

(?m) 2 (?3m) 2 ? ?1 .解得 4 3

?

2 13 2 13 . ?m? 13 13

(法 3)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是椭圆上关于 l 对称的两点,直线 AB 与 l 的交点 M 的坐标 为 ( x0 , y0 ) . ∵ A , B 在 椭 圆 上 , ∴

x1 y x y ? 1 ?1 , 2 ? 2 ?1 . 两 式 相 减 得 4 3 4 3

2

2

2

2

3( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ,
即 3 ? 2 x0 ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 y0 ( y1 ? y2 ) ? 0 .∴

3x y1 ? y2 ? ? 0 ( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 4 y0
①。

又∵直线 AB ? l ,∴ k AB ? kl ? ?1 ,∴ ? 又 M 点在直线 l 上,∴ y0 ? 4x0 ? m

3x0 ? 4 ? ?1 ,即 y0 ? 3x0 4 y0

②。由①,②得 M 点的坐标为 (?m , ? 3m) .以

下同解法 2. 说明:涉及椭圆上两点 A , B 关于直线 l 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列 参数满足的不等式: (1)利用直线 AB 与椭圆恒有两个交点, 通过直线方程与椭圆方程组成的方程组, 消元后得到 的一元二次方程的判别式 ? ? 0 ,建立参数方程. (2)利用弦 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部, 满足

x0 y ? 0 ? 1, 将 x0 ,y0 利用参数表示, a b

2

2

19

建立参数不等式. 例 5 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆

x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点,求直线 l 的方程. 36 9

分析: 本题考查直线与椭圆的位置关系问题. 通常将直线方程与椭圆方程联立消去 y (或 x ), 得到关于 x (或 y )的一元二次方程, 再由根与系数的关系, 直接求出 x1 ? x2 ,x1 x2 (或

y1 ? y2 , y1 y2 )的值代入计算即得.
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经 常采用的. 解:方法一:设所求直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 4) .代入椭圆方程,整理得

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8k (4k ? 2) x ? 4(4k ? 2)2 ? 36 ? 0



设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 、 x2 是 ① 的 两 根 , ∴

x1 ? x2 ?

8k (4k ? 2) 4k 2 ? 1

∵ P(4 , 2) 为 AB 中 点 , ∴ 4 ?

x1 ? x2 4k (4k ? 2) 1 ? , k ? ? .∴所求直线方程为 2 2 4k ? 1 2

x ? 2y ?8 ? 0.
方法二: 设直线与椭圆交点 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) . ∵ P(4 , 2) 为 AB 中点, ∴ x1 ? x2 ? 8 ,

y1 ? y2 ? 4 .
又 ∵ A , B 在 椭 圆 上 , ∴ x1 ? 4 y1 ? 36 , x2 ? 4 y2 ? 36 两 式 相 减 得
2 2 2 2

( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 ,
即 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 . ∴ 为 x ? 2y ?8 ? 0 . 方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为 A( x , y) ,另一个交点 B(8 ? x , 4 ? y) . ∵ A 、B 在椭圆上, ∴ x ? 4 y ? 36
2 2

2

2

2

2

y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) 1 ? ? ? .∴直线方程 x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 2

①。

(8 ? x)2 ? 4(4 ? y)2 ? 36



从而 A , B 在方程①-②的图形 x ? 2 y ? 8 ? 0 上,而过 A 、 B 的直线只有一条,∴直线方

20

程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题, “设而不求”的方法是处理 此类问题的有效方法. 若已知焦点是 (3 3 , 0) 、(?3 3 , 0) 的椭圆截直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 所得弦中点的横坐标是 4, 则如何求椭圆方程?

21


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