2017年全国高中数学联合竞赛加试(B卷)

2017 年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷) 参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次,不得增加其他中间档次. 一、 (本题满分 40 分) 设实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 . 令 d ? max{| a |, | b |, | c |} . 证明: (1 ? a )(1 ? b)(1 ? c) ? 1 ? d 2 . 证明:当 d ? 1 时,不等式显然成立. …………………10 分 以下设 0 ? d ? 1 .不妨设 a, b 不异号,即 ab ? 0 ,那么有 (1 ? a )(1 ? b) ? 1 ? a ? b ? ab ? 1 ? a ? b ? 1? c ? 1? d ? 0 . …………………20 分 因此 2 (1 ? a )(1 ? b)(1 ? c) ? (1? c)(1 ? c) ? 1? c 2 ? 1? c ? 1? d 2 . …………………40 分 二、 (本题满分 40 分)给定正整数 m ,证明:存在正整数 k ,使得可将正整 数集 N + 分拆为 k 个互不相交的子集 A1 , A2 ,?, Ak ,每个子集 Ai 中均不存在 4 个数 ,满足 ab ? cd = a, b, c, d (可以相同) m. 证明:取 k N + } , i 1, 2,?, m + 1 . = m + 1 ,令 Ai = {x x ≡ i (mod m + 1), x ∈ = …………………20 分 设 a, b, c, d ∈ Ai ,则 ab ? cd ≡ i ?= i ? i ? i 0(mod m + 1) , 故 m + 1 ab ? cd ,而 m + 1 ? m ,所以在 Ai 中不存在 4 个数 a, b, c, d ,满足 …………………40 分 ab ? cd = m. 三、 (本题满分 50 分)如图,点 D 是锐角△ ABC 的外接圆 ω 上弧 BC 的中 点, 直线 DA 与圆 ω 过点 B, C 的切线分别相交于点 P, Q , BQ 与 AC 的交点为 X , CP 与 AB 的交点为 Y , BQ 与 CP 的交点为 T .求证: AT 平分线段 XY . (答题时请将图画在答卷纸上) P D A Y T B M C X Q 1 证明:首先证明 YX ∥ BC ,即证 连接 BD, CD .因为 AX AY . = XC YB S?ACQ S?ABC S?ACQ ? =, S?ABC S?ABP S?ABP 1 1 1 AC ? CQ sin ∠ACQ AC ? BC sin ∠ACB AC ? AQ sin ∠CAQ 2 ?2 = 所以 2 , ① 1 1 1 AB ? BC sin ∠ABC AB ? BP sin ∠ABP AB ? AP sin ∠BAP 2 2 2 由题设, BP, CQ 是圆 ω 的切线,所以 ∠ACQ = ∠ABC , ∠ACB = ∠ABP , 又 ,于是由①知 ∠CAQ = ∠DBC = ∠DCB = ∠BAP (注意 D 是弧 BC 的中点) AB ? AQ CQ = . ② AC ? AP BP …………………20 分 因为 ∠CAQ = ∠CAP ,于是 ∠BAP ,所以 ∠BAQ = 1 S?ABQ 2 AB ? AQ sin ∠BAQ AB ? AQ , ③ = = S?ACP 1 AC ? AP sin ∠CAP AC ? AP 2 1 S?BCQ 2 BC ? CQ sin ∠BCQ CQ 而 , ④ = = 1 S?BCP BC ? BP sin ∠CBP BP 2 S?ABQ S?CBQ 由②,③,④得 , = S?ACP S?BCP S?ABQ S?ACP 即 , = S?CBQ S?BCP S?ABQ AX S AY 又 , ?ACP = , = S?BCP YB S?CBQ XC 故 AX AY = . XC YB 设边 BC 的中点为 M ,因为 AX CM BY ? ? = 1, XC MB YA …………………40 分 所以由塞瓦定理知, AM , BX , CY 三线共点,交点即为 T ,故由 YX ∥ BC 可得, AT 平分线段 XY . …………………50 分 四、 (本题满分 50 分)设 a1 , a2 , ?, a20 ? {1, 2, ?, 5}, b1 , b2 , ?, b20 ? {1, 2, ?, 10} , 集合 X ? ?(i, j ) 1 ? i ? j ? 20, (ai ? a j )(bi ? b j ) ? 0? ,求 X 的元素个数的最大值. 解:考虑一组满足条件的正整数 (a1 , a2 ,?, a20 , b1 , b2 ,?, b20 ) . 对 k ? 1, 2, ?, 5 , 设 a1 , ?, a20 中取值为 k 的数有 tk 个. 根据 X 的定义, 当 ai ? a j 2 时, (i, j ) ? X ,因此至少有 ? Ct2 个 (i, j ) 不在 X 中.注意到 ? tk ? 20 ,由柯西不 k ?1 k 5 5 k ?1 等式,我们有 2 ? 5 5 5 ? 1 ? ? 5 ? ? ? 20 ? ? ? 1 ? 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C t t t t ? ? ? ? 20 ? ? ?1? ? 30 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? k k k k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5 ? 2 ? ? k ?1 ? 2 ? ? 2 ? k ?1 k ?1 k ?1 ? 5 ? k ?1 ? ? 5 2 tk 从而 X 的元素个数不超过 C2

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