17年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式课件新人教A版选修4_5_图文

第三讲


柯西不等式与排序不等式
二维形式的柯西不等式

【自主预习】
二维形式的柯西不等式
(ac+bd)2

| α || β |

(x1 ? x 2 )2 ? (y1 ? y2 )2

【即时小测】 1.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为 ( )

A. 2

B.2

C. 3

D.3

【解析】选C.3=(2x2+y2)(2+1)≥(2x+y)2, 所以- 3 ≤2x+y≤ 3 . 即2x+y的最大值为 3 .

2.已知

a 1? b ? b 1? a A.a2+b2>1 B.a2+b2=1
2 2

=1,则以下成立的是(

)

C.a2+b2<1

D.a2b2=1

【解析】选B.由柯西不等式,得 a 1 ? b 2 ? b 1 ? a 2 ≤[a2+(1-a2)][(1-b2)+b2]=1,

?

?

2

1 ? b 时,上式取等号, ? a 1? a2 所以ab= 化为a2b2=(1-a2)(1-b2), 2 2 1? a 1? b ,
当且仅当

b

2

于是a2+b2=1.

3.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 最小值为_________.

m ?n
2

2



【解析】由柯西不等式知(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,
又a2+b2=5,ma+nb=5, 所以m2+n2≥5,所以 m2 ? n 2 ? 5. 答案: 5

【知识探究】 探究点 二维形式的的柯西不等式

1.在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的
条件可以写成 a ? c 吗? b d 提示:不可以.当b=d=0时,等号成立,但 a ? c 不成立. b d

2.用柯西不等式求最值时的关键是什么? 提示:利用柯西不等式求最值问题,通常设法在不等式

一边得到一个常数,并寻求不等式等号成立的条件.

【归纳总结】 1.柯西不等式三种形式的关系

根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯
西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不 等式的向量形式的坐标表示.

2.理解并记忆三种形式取“=”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad=bc时取等号.

(2)向量形式中当 α =k β 或 β =0时取等号.
(3)三角形式中当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线 且P1,P2在原点O两旁时取等号.

3.“二维”的含义 “二维”是对向量的个数来说的,在平面上一个向量有

两个量:横坐标与纵坐标,因此“二维”就要有四个量,
还可以认为是四个数组合成的一种不等关系.

4.二维形式的柯西不等式的变式 (1) a 2 ? b2
c2 ? d2 ≥|ac+bd|.
c ?d
2 2

(2)
(3)

a ?b
2

2

≥|ac|+|bd|.
≥ac+bd.

a 2 ? b2

c ?d
2

2

类型一

利用柯西不等式证明不等式

【典例】求证:

x ? x 2 ? y ? y2 ?
2 1 2 2 1 2

? x1 ? y1 ? ? ? x 2 ? y2 ? .
2 2

【解题探究】本例证明的关键是什么? 提示:关键是根据不等式的结构特征,改变一下多项式

的形态结构,达到利用柯西不等式解题的目的.

【证明】因为 ( x12 ? x 22 ? y12 ? y22 )2

=(x12+x22)+(y12+y22)+ 2 (x12 ? x 2 2 )(y12 ? y2 2 ),
由柯西不等式,得(x12+x22)( y12+y22)≥(x1y1+x2y2)2,

其中当且仅当x1y2=x2y1时,等号成立.

所以 (x12 ? x 22 )(y12 ? y22 ) ≥x1y1+x2y2, 所以 ( x 2 ? x 2 ? y 2 ? y 2 )2 ≥(x12+x22)+(y12+y22) 1 2 1 2

+2(x1y1+x2y2)=(x1+y1)2+(x2+y2)2.
所以 x 2 ? x 2 ? y 2 ? y 2 ? 1 2 1 2

? x1 ? y1 ? ? ? x 2 ? y2 ? .
2 2

其中等号当且仅当x1y2=x2y1时成立.

【方法技巧】利用柯西不等式的代数形式证明不等式 的方法 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时,有时需 要将待证不等式进行变形,以具备柯西不等式的运用条 件,这种变形往往要认真分析题目的特征,根据题设条 件,利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等 方法,才能找到突破口.

【变式训练】1.设a,b,c为正数,求证: +

a 2 ? b2 +

b 2 ? c2

c ?a
2

2



2 (a+b+c).

【解题指南】根据不等式的结构,分别使用柯西不等式.

【证明】由柯西不等式: 即 a 2 ? b2

a ?b
2

2

1 ?1
2

2

≥a+b,

2 ≥a+b. 2 ≥b+c,

同理
c2 ? a 2

b2 ? c2

2 ≥c+a.

将上面三个同向不等式相加得
2 2 + ( 2 2 + 2 2 )≥2(a+b+c), a ? b 2 b ?c c ?a

于是 a 2 ? b2 + b2 ? c2 + c2 ? a 2 ≥ 2 (a+b+c).

2.已知a1,a2,b1,b2为正实数,求证:(a1b1+a2b2)·
a1 ( + a 2 )≥(a1+a2)2. b1 b2 a1 a2 【证明】(a1b1+a2b2)( + ) b1 b2

=[( a1b1 )2+( a 2 b 2 )2][( a1 )2+( a 2 )2]
a2 a1 ≥( a1b1 · + a 2 b 2· b )2 b1 2
b1

b2

=(a1+a2)2.

类型二

利用柯西不等式求最值

【典例】已知x,y,a,b∈R+,且 a ? b =1,求x+y的最 x y 小值.

【解题探究】解答本例如何将x+y变形,向着柯西不 等式的形式转化?

提示:关键是构造两组数

a b 使得x+y= x, y; , , x y

[ x ?

? ? ? ?
2

a 2 b 2 y ] [( ) ? ( ) ]. x y
2

【解析】构造两组实数

a b 因为x,y,a,b∈R+, ? =1, x y

a b x, y; , . x y a 2 b 2 [( ) ? ( ) ] ? x y

所以x+y=[( x

)2+(

y

) 2]

?

a? b .

?

2

当且仅当

x

等号成立.

b a x a ? y ,即 ? 时, y x y b

所以(x+y)min=( a + b )2.

【延伸探究】

a b 1.若把本例中的题设条件“a,b∈R+且 ? =1” x y 4 9 改为“ ? =2”,结果如何? x y

【解析】因为 4 ? 9 =2,所以x+y= x y 2 1 25 2 2 1 4 2 9 2 4? 9 ? , [ x ? y ] [( ) ? ( ) ] ? 2 2 2 x y 当且仅当 9 4 x 2 时等号成立, x ? y ,即 ? y x y 3

? ? ? ?

?

?

所以(x+y)min= 25 .
2

2.把本例已知改为 a 2 b 2 ,试比较x2+y2与(a+b)2 ? 2 ?1 2 x y 的大小. 【解析】由已知及柯西不等式得

x2+y2=(x2+y2) ( a ? b ) 2 2

2

2

x y ≥ (x a ? y b )2 =(a+b)2. x y 即x2+y2≥(a+b)2.

【方法技巧】利用二维形式的柯西不等式求最值的技


(1)求某些解析式的最小值时,要把这个解析式看成柯

西不等式的左边构造不等式.

(2)求某个解析式的最大值时,要把这个解析式看成柯

西不等式的右边构造不等式.在构造过程中系数的选择
是关键.

【变式训练】

1 1 1.已知x,y∈R,且xy=1, (1 ? )(1 ? ) 的最小值为( x y A.4 B.2 C.1 D. 1 4 【解析】选A.
1 1 1 1 2 (1 ? )(1 ? ) ? (1?1 ? ) ? 4. x y x y 当且仅当x=y=1等号成立.

)

2.(2015·陕西高考)已知关于x的不等式|x+a|<b的

解集为{x|2<x<4}.
(1)求实数a,b的值.(2)求

at ? 12 ? bt 的最大值.

【解析】(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,

则 ??b ? a ? 2, 解得a=-3,b=1. ? ?b ? a ? 4,

? 2?

?3t ? 12 ? t ? 3 4 ? t ? t

? [ 3 ? 1 ][ 4 ? t ?
2

? ?

2

?

? ? t? ]
2 2

? 2 4 ? t ? t ? 4,

4?t t ? , 1 3 即t=1时等号成立,
当且仅当 故

?

?3t ? 12 ? t

?

max

? 4.

【补偿训练】设a,b∈R,且a2+b2=10,求3a+b的最大值

与最小值.
【解题指南】3a+b是两部分和的形式,将其看作ac+bd

的结构,利用柯西不等式求其最值.

【解析】利用柯西不等式得,

(3a+b)2=(a·3+b·1)2≤(a2+b2)(32+12)
=10×10=100,

即(3a+b)2≤100,
所以|3a+b|≤10,-10≤3a+b≤10, 当且仅当a=3b时,等号成立.

又a2+b2=10,

所以a2=9,b2=1.
所以当a=-3,b=-1时,3a+b有最小值为-10;

当a=3,b=1时,3a+b有最大值为10.

类型三

二维形式柯西不等式向量形式的应用

【典例】设a>0,b>0,且a+b=1,
求证:

1 22 2a ? 1 ? b ? ? . 3 2

【解题探究】如何构造向量,用向量形式的柯西不

等式证明?
提示:可构造如下向量形式:

1 1 α ? ( a ? , b ? ),β ? 2 3

? 2,1?.

1 1 α ? ( a ? , b ? ),β ? 2,1 2 3 则| α· β|= 2a ? 1 ? b ? 1 . 3 而| α |= a ? 1 ? b ? 1 ? 11, 2 3 6 22 β 又| β |= 3 ,所以| α || |= , 2 由| α · β |≤| α || β |,得 2a ? 1 ? b ? 1 ? 22 . 3 2
【证明】令

? ?

【延伸探究】在本例题设条件下,如何证

明:(ax+by)2≤ax2+by2(其中x>0,y>0).

【证明】设m=( a x, b y),n=( a , b ),

则|ax+by|=|m·n|≤|m||n|
=

( ax)2 ? ( by) 2

( a ) ? ( b)
2
2 2

2

=

ax ? by
2

2

a ? b ? ax ? by .

所以(ax+by)2≤ax2+by2.

【方法技巧】应用二维形式柯西不等式向量形式求最

值及证明不等式的技巧
在应用二维形式柯西不等式向量形式求式子的最值或

证明不等式时要根据式子的结构特征构造两个向量,通
常我们使构造的向量满足积为待求式子或待证不等式 一侧的形式,再利用柯西不等式的向量形式求解或证明 .

【变式训练】

1 1 k ? ? 1.已知a>b>c,若 恒成立,则k的最大 a ?b b?c a ?c
值为_________.

【解析】设a=

1 1 , b= ( a ? b,b ? c), ( , ) a ?b b?c 1 1 由|a·b|≤|a||b|得2≤ ? ? a ? b ? ? ? b ? c ?, a ?b b?c

即 1 ? 1 ? 4 ,当且仅当a-b=b-c即a+c=2b时, a ?b b?c a ?c 等号成立.故kmax=4.

答案:4

2.求函数y= 2sin x ? 3cos x ? 4 的最大值及最小值. cos x ? 2 【解析】由原函数式得2sinx+(3-y)cosx=4-2y, 设a=(2,3-y),b=(sinx,cosx),

由|a·b|≤|a||b|得|4-2y|≤ 2 ? ? 3 ? y ? , 1 2 3? y ? 解得 3 ≤y≤3,当且仅当 时,等号成立. sin x cos x 故最大值及最小值分别为3与 1 . 3
2 2

自我纠错

求函数的最值

【典例】已知实数x,y满足 1 1 =1,求x2+2y2 ? 2 2 x y 的最小值.

【失误案例】

分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.

提示:错误的根本原因是构造柯西不等式的形式错误,
以及忽视了等号成立的条件.

内部文件,请勿外传

【解析】由柯西不等式得x2+2y2=(x2+2y2)×1

=(x2+2y2)

1 1 1 12 ( 2 ? 2 ) ? (x ? 2y ) x y x y

? (1 ? 2)2 ? 3 ? 2 2, 当且仅当x2= 2 y2时等号成立, 即x2= 2 +1,y2= 2 +1时,x2+2y2有最小值为3+2 2 2

.

内部文件,请勿外传


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