26.1.2反比例函数的图象和性质第一课时_图文

26.1.2反比例函数的图象与性质

已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是

猜想

反比例函数

k y ? (k≠0)的图象是什么呢? x

让我们一起画个反比例函数的图象看看,好吗?

回顾与思考2

“预见性”,猜一猜

?给反比例函数“照相”
一般地, 如果两个变量x , y之间的关系可以表示成 k y ? ?k为常数, k ? 0?的形式那么称y是x的反比例函数. x
? ?

反比例函数的图象又会是什么样子呢? 你还记得作函数图象的一般步骤吗?
?

用图象法表示函数关系时,首先在自变量的 取值范围内取一些值,列表,描点,连线(按自 变量从小到大的顺序,用一条平滑的曲线连 接起来).

操作一:

画出反比例函数
的函数图象。

6 和 y= x
描 点

y=
连 线

6 x

函数图象画法

描点法

列 表

x y= 6 x

x 6 y=

注意:①列表时自变量 取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。

y= 6 … x … y= 6 x
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0

x

… -6 1

-5 -4
1.2 1.5

-3 -2 2 3

-1 -6 6

1 6

2 3

3 2

4

5

6 1

… … …

-1 -1.2 -1.5 -2 -3

1.5 1.2

-6 -3

-2 -1.5 -1.2 -1
y
6 5 4 3 2 1

1

2

3

4

5

6

x

-6 -5

-4

-3

-2

-1 -1 -2 -3

0

1

2

3

4

5

6x

-4
-5 -6

y
6 5

6 y =- x

4 3 2 1

y= 6 x

请大家仔细观察反比例函数

6 6 y? 和 y ? ? 的函数 x x
图象,找找看,他们有什么共同
5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6

0

1

2

3

4

x

的特征? 再让我们仔细看看,这两个 函数图象在位置上有什么关系?

操作二:

8 8 同桌两人分别画出函数 y ? , y ? ? 或 x x
的图象,看谁画得又快又好.

比一比:

3 3 y? ,y?? x x

找一找: 根据大家所画出的函数图象,从以下几个方面出发,你 能发现反比例函数 y ?
k (k ? 0) 的图象及性质有哪些? x

1、这几个函数图象有什么共同点? 2、函数图象分别位于哪几个象限? 3、y随x的变化有怎样的变化?

8 y?? x

y?

8 x

3 y?? x

y?

3 x

y
6 5 4

y =- x
-5 -4 -3 -2 -1

6

3

y= 6 x

2
1 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6

提示: 1、这几个函数图象有什么共 同点?
X

2、函数图象分别位于哪几个 象限? 3、y随的x变化有怎样的变化?

反比例函数的图象和性质
形状 由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线; 位置 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.

增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 图象的发展趋势

反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远不能到达x,y轴

对称性 ⑴反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和y=-x
都是它的对称轴; k k ⑵反比例函数 y ? 与 y ? ? 的图象关于x轴对称,也关 x x 于y轴对称。

1、反比例函数y= - 5 的图象大致是( x y y
A:
o x

D )
x

B:

o

y y

C:

x o

D:

o x

练一练

1
20 y? x

?函数

一、三 象限, 的图象在第________

减小 在每一象限内,y 随x 的增大而_________. ? 函数 二、四 象限, 30 的图象在第________ y?? x
y?

增大 在每一象限内,y 随x 的增大而_________. ?函数
?
x

,当x>0时,图象在第____ 一 象限,

减小 y随x 的增大而_________.

k+1 2.若关于x,y的函数 y ? 图象位于第一、三象限, x

k>-1 则k的取值范围是_______________
3.甲乙两地相距100km,一辆汽车从甲地开往乙地, 把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均 速度x(km/h)的函数,则这个函数的图象大致是( C )

y

反比例函数的性质

1.当k>0时,图象的两个分 支分别在第一、三象限内, 在每一个象限内,y随x的 增大而减小; 2.当k<0时,图象的两个分 支分别在第二、四象限内, 在每一个象限内,y随x的 增大而增大。

x 0

y

0

x

思前想后
2﹑已知 k<0, 则函数 y1=kx,y2= 同一坐标系中的图象大致是 ( D )
y y

k
x



(A)

(B)
x

0

x

y

y

(C)

0

x

(D)

0

x

比较正比例函数和反比例函数的区别 函数 解析式
图象形状

正比例函数
y=kx ( k≠0 的常数)

反比例函数
k y = x ( k≠0的常数 )

直线
位 一三 置 象限

双曲线

一三 象限
在每个象限内,y随x的增 大而减小

K>0

增 减 y随x的增大而增大 性 位 置

二四 象限

二四 象限
在每个象限内, y随x的 增大而增大

K<0

增 减 y随x的增大而减小 性

1.反比例函数的图像是双曲线;
2.图像性质见下表: y=
图 象
当k>0时,函数图像 的两个分支分别在第 一、三像限,在每个 像限内,y随x的增大 而减小. 当k<0时,函数图像 的两个分支分别在第 二、四像限,在每个 像限内,y随x的增大 而增大.
k x

K>0

K<0

性 质

当堂训练
4 一、三 象限, 1.函数y= x 的图象在第________

减小 在每一象限内,Y 随x 的增大而_________.
-4 2. 函数y= x

二、四 象限, 的图象在第________

增大 在每一象限内,Y 随x 的增大而_________.
5 一 3. 函数y=—— , 当 x>0 时 , 图象在第 ____ 象限, x

减小 Y 随x 的增大而_________.

4.下列函数中,图象位于第二、四象限 的有(3)、(4) ;在图象所在象限内,y的 值随x的增大而增大的有 (2)、(3)、(5) .
2 2x (1)y ? (2)y ? 3x 3 (5)y ? 2x ? 3 2 (3)y ? ? 3x 2x (4)y ? ? 3

2、如图,这是下列四个函数中哪一个函数的图象 (A)y=5x

(B)y=2x+3

4 (C) y ? x
3 (D) y ? ? x

练一练

2

4?k 已知反比例函数 y ? x
(1)若函数的图象位于第一三象限,

则k_____________; <4
(2)若在每一象限内,y随x增大而增大, >4 则k_____________.

如图,函数y=k/x和y=-kx+1(k≠0)在同 一坐标系内的图象大致是 ( D )
6

y

6

y

4

4

2

2

-5

O
-2

5

x

-5

O
-2

5

x

A

-4

B
y
6

-4

先假设某个函数 图象已经画好, 再确定另外的是否 符合条件.

6

y

4

4

2

2

-5

O
-2

5

x

-5

O
-2

5

x

-4

C

D

-4

练一练

3
x

函数y=kx-k 与 y ? k ? k ? 0 ? 在同一条直角坐标系中的 图象可能是
y
o x

D :
y
o x

y
o x

y
o x

(A)

(B)

(C)

(D)

已知反比例函数的图象经过点A(2,6).

(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的 增大如何变化?
(2)点B(3,4) 、C(-2.5,-4.8)和D(2,5)是否在这个 函数的图象上?

当堂训练1
k 1.反比例函数 y= 的图象过点(-4,-2), x 8 y= x 当x=1时, 那么它的解析式为________. y=____. 8

2.已知点A(-3,a),B(-2,b), 2 在双曲线 y=- 上,则 a___b(填>、 x < =或<)。

例4:图是反比例函数y= m-5 的图象的一支.根据 x 图象回答下列问题: (1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范 围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和 点B(a’,b’).如果a﹥a’,那么b和b’有怎么的大小 y 关系?
b’
b B A a’ a

0

x

1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)

都在反比例函数

y1> y2

4 y? x

的图象上,

则y1与y2的大小关系(从大到小) .
2.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)

k 都在反比例函数 y ? (k<0) 的图象上,则y1与 x
y2的大小关系(从大到小)为 y2> y1 .

3.已知点 A(x ,y ),B(x ,y )且x <0<x 1 1 2 2 1 2 都在反比例函数 y ? k (k<0) 的图象上,

则y1与y2的大小关系(从大到小)

y1 >0>y2

x

.
A

y
y1

o

x2
x
B

x1

y2

练一练

4
2 x

考察函数 y ? 的图象,当x=-2时,y=

___ -1

,当x<-2

时,y的取值范围是 -1<y<0 _____ ;当y﹥-1时,x的取值范围 是 _________ X<-2或x>0 .

练一练

5

若点(-2,y1)、(-1,y2)、(2,y3)在

100 反比例函数 y ? ? 的图象上,则( B ) x
A、y1>y2>y3 B、y2>y1>y3

C、y3>y1>y2

D、y3>y2>y1

4.已知点 A(-2,y ),B(-1,y ),C(4,y ) 1 2 3 4 y? 都在反比例函数 的图象上 , x 则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 >y1>y2 .
-2

y
-1 y3

A

B

o y1 y2

C 4

x

2.如图,点P是反比例函数图象上的一
点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴 影部分面积为3,则这个反比例函数的
3 y?? 关系式是 x .
p
y

N
o x

M

练习3

1. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2= k x 在同 一坐标系中的图象 大致是 ( D )

y

y

(A)

0

x (B)

0

x

y

y x (D) y
0

2. 已知k>0,则函数 y1=kx+k k 与y2= x 在同一坐标系中 (A) 的图象大致是 ( C )

(C)
y
0

0

x

x

(B)

0

x

y y 3.设x为一切实数,在下列 函数中,当x减小时,y的 (C) 0 0 x (D) x 值总是增大的函数是( C ) (A) y = -5x -1 ( B)y= x 2 (C)y= -2x+2; (D)y=4x.


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