2018版高中数学第一章三角函数1.2.1第1课时任意角的三角函数学案苏教版必修4

第 1 课时 任意角的三角函数 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义, 了解三角函数是以实数为 自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、 余弦、 正切函数值在各象限内 的符号. 知识点一 任意角的三角函数 使锐角 α 的顶点与原点 O 重合, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 在终边上任取一点 P, 作 PM⊥x 轴于 M,设 P(x,y),|OP|=r. 思考 1 角 α 的正弦、余弦、正切分别等于什么? 思考 2 对确定的锐角 α ,sin α ,cos α ,tan α 的值是否随 P 点在终边上的位置的改变 而改变? 思考 3 在思考 1 中,当取|OP|=1 时,sin α ,cos α ,tan α 的值怎样表示? 梳理 任意角的三角函数的定义 前提 如图,设 α 是一个任意角,P(x,y)是它的终边上任意一点 正弦 比值________叫做 α 的正弦,记作 sin α ,即 sin α =________ 比值________叫做 α 的余弦,记作 cos α ,即 cos α =________ 比值________(x≠0)叫做 α 的正切,记作 tan α ,即 tan α =________ 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以角的终边上点的坐标的比值为 定义 余弦 正切 三角 1 函数 函数值的函数,将它们统称为三角函数 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考 根据三角函数的定义,你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗? 梳理 三角函数值的符号,如图所示. 口诀:“一______,二________,三________,四______”. 类型一 三角函数定义的应用 命题角度1 已知角α 终边上一点坐标求三角函数值 例 1 已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0),且 cos θ = 10 x,求 sin θ ,tan θ . 10 反思与感悟 (1)已知角 α 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三 角函数值. ②在 α 的终边上任选一点 P(x,y),设 P 到原点的距离为 r(r>0),则 sin α = ,cos α = y r x .当已知 α 的终边上一点求 α 的三角函数值时,用该方法更方便. r (2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨 论. 跟踪训练 1 已知角 α 的终边过点 P(-3a,4a)(a≠0),求 2sin α +cos α 的值. 2 命题角度2 已知角α 终边所在直线求三角函数值 3 例 2 已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sin α + 的值. cos α 反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分 两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a,b),则对应角的三角函数值分别 为 sin α = b a +b 2 2 ,cos α = a a +b 2 2 ,tan α = . b a 跟踪训练 2 已知角 α 的终边在直线 y= 3x 上,求 sin α ,cos α ,tan α 的值. 类型二 三角函数值符号的判断 例 3 (1)若 α 是第二象限角,则点 P(sin α ,cos α )在第________象限. (2)确定下列各三角函数值的符号. 7π ①sin 182°;②cos(-43°);③tan . 4 反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定,解题的关键是准确确定角的 终边所在的象限,同时牢记各三角函数值在各象限的符号,记忆口诀:一全正,二正弦,三 正切,四余弦. 跟踪训练 3 (1)已知点 P(tan α ,cos α )在第三象限,则 α 是第________象限角. 3 (2)判断下列各式的符号. ①sin 145°cos(-210°);②sin 3·cos 4·tan 5. 1.已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α =________. 2.已知角 α 的终边上有一点 P( 5 2 5 ,- ),则 sin α +cos α =________. 5 5 3 3.若点 P(3,y)是角 α 终边上的一点,且满足 y<0,cos α = ,则 tan α =________. 5 4.当 α 为第二象限角时, |sin α | cos α - 的值是________. sin α |cos α | 5.已知角 α 的终边经过点 P(x,-2)(x≠0),且 cos α = ,求 sin α 和 tan α . 3 x 1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数. 2.角 α 的三角函数值的符号只与角 α 所在象限有关,角 α 所在象限确定,则三角函数值 的符号一定确定,规律是“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 3. 终边相同的三角函数值一定相等, 但两个角的某一个函数值相等, 不一定有角的终边相同, 更不一定有两角相等. 4 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 sin α = ,cos α = ,tan α = . 思考 2 不会.因为三角函数值是比值,其大小与点 P(x,y)在终边上的位置无关,只与角 α 的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关. 思考 3 梳理 sin α =y,cos α =x,tan α = . y r x r y x y x y y x x y y r r r r x x 知识点二 思考 由三角函数定义,可以判断三角函数值的符号. 梳理 全正 正弦 正切 余弦 题型探究 例 1 解 由题意知 r=|OP|= x +9, 由三角函数定义得 cos θ = = 2 x

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