2015届高考数学一轮复习 课时跟踪检测20 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 文 湘教版

课时跟踪检测(二十) 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数 模型的简单应用
(分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页)

第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.(2014· 滨州一模)把函数 y=sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐 π 标保持不变,再把所得函数图像向左平移 个单位,得到的函数图像的解析式是( 4 A.y=cos 2x π? C.y=sin? ?2x-4? B.y=-sin 2x π? D.y=sin? ?2x+4? ) )

2.(2013· 全国大纲卷)若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图,则 ω=(

A.5 C.3

B.4 D.2

π? π 3. (2014· 威海高三期末)函数 f(x)=sin(2x+φ)? ?|φ|<2?的图像向左平移6个单位后所得函数 π? 图像的解析式是奇函数,则函数 f(x)在? ?0,2?上的最小值为( A.- 1 C. 2 3 2 1 B.- 2 D. 3 2 )

π π? 4.(2013· 福建高考)将函数 f(x)=sin (2x+θ)? ?-2<θ<2?的图像向右平移 φ(φ>0)个单位长 度后得到函数 g(x)的图像,若 f(x),g(x)的图像都经过点 P?0,

?

3? ,则 φ 的值可以是( 2?

)

5π A. 3 π C. 2

5π B. 6 π D. 6

5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分 图像如图所示,则 f(0)的值是________. 6.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三

π ? 角函数 y=a+Acos? ?6?x-6??(x=1,2,3,…,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃,12 月份的月平均气温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温值为________℃. π? 7.已知函数 f(x)= 2sin? ?2x-4?+1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相; π π? (2)画出函数 y=f(x)在? ?-2,2?上的图像.

x π? ?x π? 8.已知函数 f(x)=2 3sin? 2 ? +4?cos?2+4?-sin(x+π). (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像,求函数 g(x)在区间[0,π]上 6 的最大值和最小值.

第Ⅱ卷:提能增分卷 π π ? 1.(2014· 长春调研)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω>0,-2<φ<2,x∈R?的部分图像如 图所示.

(1)求函数 y=f(x)的解析式; π? (2)当 x∈? ?-π,-6?时,求 f(x)的取值范围.

1 2.已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期为 2,且当 x= 时,f(x)的最大值为 3 2. (1)求 f(x)的解析式. 21 23? (2)在闭区间? ? 4 , 4 ?上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在求出其对称轴.若不正在,请 说明理由.

3.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺 庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少, 浪费很严重, 为了控制经营成 本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月 份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在 2 月份最少,在 8 月份最多,相差约 400 人; ③2 月份入住客栈的游客约为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系; (2)请问哪几个月份要准备 400 份以上的食物?

答 第Ⅰ卷:夯基保分卷



1.选 A 由 y=sin x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所 π? π 得图像的解析式为 y=sin 2x,再向左平移 个单位得 y=sin 2? ?x+4?,即 y=cos 2x. 4 π T 1 2π π x + ?-x = ,解得 ω=4. 2.选 B 由函数的图像可得 = · =? 2 2 ω ? 0 4? 0 4

π? π 3.选 A 由函数 f(x)的图像向左平移 个单位得 f(x)=sin? ?2x+φ+3?的图像,因为是奇 6 π? π π π 函数,所以 φ+ =kπ,k∈Z,又因为|φ|< ,所以 φ=- ,所以 f(x)=sin? ?2x-3?. 3 2 3 π? 又 x∈? ?0,2?, π 2 π - , π?, 所以 2x- ∈? 3 ? 3 3 ? 所以当 x=0 时,f(x)取得最小值为- 3 . 2

π? π 4.选 B 因为函数 f(x)的图像过点 P,所以 θ= ,所以 f(x)=sin? ?2x+3?;又函数 f(x) 3 的图像向右平移 φ 个单位长度后, π? 得到函数 g(x)=sin? ?2?x-φ?+3?, π 3 5π ? 所以 sin? ?3-2φ?= 2 ,所以 φ 可以为 6 . T 7π π π 2π 5.解析:由图可知:A= 2, = - = ,所以 T=π,ω= =2,又函数图像经过 4 12 3 4 T π ? π? π π ? 点? ?3,0?,所以 2×3+φ=π,则 φ=3,故函数的解析式为 f(x)= 2sin?2x+3?, π 6 所以 f(0)= 2sin = . 3 2 答案: 6 2

28+18 6.解析:依题意知,a= =23, 2 28-18 A= =5, 2 π ? ∴y=23+5cos? ?6?x-6??, π ? 当 x=10 时,y=23+5cos? ?6×4?=20.5. 答案:20.5 π 7.解:(1)振幅为 2,最小正周期 T=π,初相为- . 4 (2)图像如图所示.

π? 1 ? 3 ? 8 . 解: (1) 因为 f(x) = 3sin ? ?x+2? + sin x = 3cos x + sin x = 2 ? 2 cos x+2sin x? = π? 2sin? ?x+3?, 所以 f(x)的最小正周期为 2π. π? π (2) ∵ 将 f(x) 的 图 像 向 右平 移 个 单 位 ,得 到 函数 g(x) 的 图 像 , ∴ g(x) = f ? ?x-6? = 6 π π π x- ?+ ?=2sin?x+ ?. 2sin?? 6 ? ? 3 ? 6?

?

?

π π 7π? , , ∵x∈[0,π],∴x+ ∈? 6 ?6 6 ? π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时, 6 2 3 π? sin? ?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. π π 7π 1 x+ ?=- ,g(x)取得最小值-1. 当 x+ = ,即 x=π 时,sin? ? 6? 6 6 2 第Ⅱ卷:提能增分卷 π ? T 2π π π 1.解:(1)由题中图像得 A=1, = - = ,所以 T=2π,则 ω=1.将点? ?6,1?代入得 4 3 6 2 π π π ? sin? ?6+φ?=1,而-2<φ<2, π? π 所以 φ= ,因此函数 f(x)=sin? ?x+3?. 3 π 2π π π (2)由于-π≤x≤- ,- ≤x+ ≤ , 6 3 3 6 π? 1 1? ? 所以-1≤sin? ?x+3?≤2,所以 f(x)的取值范围是?-1,2?. 2π 2.解:(1)由 T=2 知 =2 得 ω=π. ω 1 又因为当 x= 时 f(x)max=2,知 A=2. 3

1 π 且 π+φ=2kπ+ (k∈Z), 3 2 π 故 φ=2kπ+ (k∈Z). 6 π? ∴f(x)=2sin? ?πx+2kπ+6? π? =2sin? ?πx+6?, π? 故 f(x)=2sin? ?πx+6?. π π (2)存在.令 πx+ =kπ+ (k∈Z), 6 2 1 得 x=k+ (k∈Z). 3 由 得 21 1 23 ≤k+ ≤ . 4 3 4 59 65 ≤k≤ ,又 k∈Z,知 k=5. 12 12

21 23? 故在? ? 4 , 4 ?上存在 f(x)的对称轴, 16 其方程为 x= . 3 3.解:(1)设该函数为 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知 这个函数的周期是 12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且 f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅 为 200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且 f(2)=100,所以 f(8)=500. 2π 根据上述分析可得, =12, ω
?-A+B=100, ?A=200, ? ? π 故 ω= ,且? 解得? 6 ?A+B=500, ?B=300. ? ?

根据分析可知,当 x=2 时 f(x)最小, 当 x=8 时 f(x)最大, π 2× +φ?=-1, 故 sin? ? 6 ? π 8× +φ?=1. 且 sin? ? 6 ? 5π 又因为 0<|φ|<π,故 φ=- . 6 π 5π? 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f(x)=200sin? ?6x- 6 ?+300. π 5π? (2)由条件可知,200sin? ?6x- 6 ?+300≥400,化简,得

π 5π? 1 π π 5π 5π sin? ?6x- 6 ?≥2?2kπ+6≤6x- 6 ≤2kπ+ 6 ,k∈Z, 解得 12k+6≤x≤12k+10,k∈Z. 因为 x∈N*,且 1≤x≤12,故 x=6,7,8,9,10. 即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备 400 份以上的食物.


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