高考函数题型方法总结

高考函数题型方法总结

第一部分:必考内容与要求
函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数) (1)函数
① 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数. ③ 了解简单的分段函数,并能简单应用. ④ 理解函数单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. ⑤ 会运用函数图像理解和研究函数的性质. (2)指数函数 ① 了解指数函数模型的实际背景. ② 理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. ③ 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点. ④ 知道指数函数是一类重要的函数模型. (3)对数函数 ① 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了
解对数在简化运算中的作用. ② 理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点. ③ 知道对数函数是一类重要的函数模型;

④ 了解指数函数

与对数函数

互为反函数(

).

(4)幂函数 ① 了解幂函数的概念.

② 结合函数

的图像,了解它们的变化情况.

(5)函数与方程 ① 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的 个数. ② 根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解.
(6)函数模型及其应用 ① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函 数类型增长的含义. ② 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模 型)的广泛应用.

第二部分:题型方法总结

题型一:函数求值问题

★(1)分段函数求值→“分段归类”



1.已知函数

f

(x)

?

?log3 x, x ? ??2x , x ? 0

0
,则

f

(

f

( 1 )) 9

?(

)

A.4

B. 1

C.-4

D- 1

4

4



2.若

f

(x

?

2)

?

?tan x, x ? 0 ??log2 (?x), x

?

0

,则

f

(? 4

?

2) ?

f

(?2)

?(



A. ?1

B.1

C.2

D. ?2



3.定义在

R

上的函数

f(x)满足

f(x)=

???lfo(gx2

(4 ? x), ?1) ? f

(

x

?

2),

x?0 x?0

,则

f(2009)的值为( ) A.-1

B. -2

C.1

D. 2

★(2)已知某区间上的解析式求值问题→“利用周期性、奇偶性、对称性向已知区间上进行转 化”

例 4.已知函数 f (x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f (x ? 2)? f (x)

且当 x ?[0, 2) 时, f (x) ? log2 (x ?1), f (?2008) ? f (2009) 的值为( )

A. ?2

B. ?1

C.1

D. 2

例 5.已知函数 f (x) 满足:x≥4,则 f (x) = (1 )x ;当 x<4 时 2

f (x) = f (x ?1) ,则 f (2 ? log2 3) =( )

(A) 1 24

(B) 1 12

(C) 1 (D) 3

8

8

例 6.(5)设 f (x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f (x) ? 2x ? 2x ? b

( b 为常数),则 f (?1) ? ( )

(A)-3

(B)-1

(C)1

(D)3

★(3)抽象函数求值问题→“反复赋值法”

例 7 . 已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有

xf (x ?1) ? (1? x) f (x) ,则 f ( 5 ) 的值是( ) 2

A. 0

B. 1

C. 1

2

D. 5 2

例 8.若函数 f ? x? 满足: f ?1? ? 1 , 4 f ?x? f ? y? ? f ?x ? y? ? f ?x ? y??x, y ?R?
4
则 f ?2010? =_____________.

题型二:函数定义域与解析式
(1)函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础,即处理函数问题必须树立“定义域优先” 这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.
(2)求定义域问题本质转化为结不等式,故需掌握常见不等式解法。 (3)掌握求函数解析式的三种常用方法:待定系数法、配凑法、换元法,能将一些简单实际问题中的
函数的解析式表示出来;掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用.
例 1.函数 y ? ln(x ?1) 的定义域为( ) ?x2 ? 3x ? 4

A. (?4, ?1)

B. (?4,1)

C. (?1, 1)

D. (?1,1]

例 2.函数 y ?

1

的定义域为( )

log0.5 (4x ? 3)

A.( 3 ,1) B( 3 ,∞)

4

4

C(1,+∞)

D. ( 3 ,1)∪(1,+∞) 4

x ? 2 ?1

例 3.函数 f (x) ?

的定义域为



log2 (x ?1)

例 4.求满足下列条件的 f (x) 的解析式:

(1)已知 f (x ? 1) ? x3 ? 1 ,求 f (x) ;

x

x3

(2)已知 f ( 2 ?1) ? lg x ,求 f (x) ; x

(3)已知 f (x) 是一次函数,且满足 3 f (x ?1) ? 2 f (x ?1) ? 2x ?17 ,求 f (x) ;

(4)已知 f (x) 满足 2 f (x) ? f (1) ? 3x ,求 f (x) . x
例 5.已知函数 f (x) 在 R 上满足 f (x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8,则曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切

线方程是( ) (()

(A) y ? 2x ?1

(B) y ? x (C) y ? 3x ? 2 (D) y ? ?2x ? 3

题型四:函数值域与最值
关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的,常用的方法有:1.利用基本函数求值域(观 察法)2.配方法;3.反函数法;4.判别式法;5.换元法;6.函数有界性(中间变量法)7.单调性法; 8.不等式法;9.数形结合法;10.导数法等。
例 1.(4)函数 y ? 16 ? 4x 的值域是( )

(A)[0, ??)

(B)[0, 4]

(C)[0, 4)

(D) (0, 4)

? ? 例 2.(3)函数 f ? x? ? log2 3x ?1 的值域为( )

A. ?0, ???

B. ??0, ???

C.

?1, ???

D. ??1, ???

f (x) ? { 例 3.(10)设函数 g(x) ? x2 ? 2(x ? R) ,

g ( x )? x?4, x? g ( x),
g(x)?x,x?g(x). 则 f (x) 的值域是( )

(A)

????

9 4

,

0???

?

(1,

??)

(B)[0, ??)

(C)

[?

9 4

,

??)

(D)

????

9 4

,

0???

?

(2,

??)

例 4.(12)已知 t ? 0 ,则函数 y ? t 2 ? 4t ?1 的最小值为____________ . t

例 5.已知函数 y= 1? x ? x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m,则 m 的值为( ) M

(A) 1 4

(B) 1 2

(C) 2 2

(D) 3 2

例 6.若函数 y ? f (x) 的值域是[ 1 , 3],则函数 F (x) ? f (x) ? 1 的值域是( )

2

f (x)

A.[ 1 , 3] 2

B.[2,10] C.[ 5 , 10] D.[3,10]

3

23

3

题型五:函数单调性

(一)考纲对照

理科大纲版

理科课标版

内容

函数的单调性、奇偶性

函数的单调性、最值、奇偶性

要求

了的函法解概数.函念的数,单掌的调握单性判调、断奇性一偶、些性奇简的偶单方性理解会何偶质函运性.意数用的义的函含;单数义结调图.合性像具、理体最解函大和数(研,小究了)函解值数函及的其数几性奇

(二)归纳总结

1、函数单调性的定义

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:
如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2
都有 f(x1)<f(x2).那么就说 f(x)在 这个区间上是增函数。 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时都有 f(x1)>
f(x2).那么就是 f(x)在这个区间上是减函数。 2、定义的等价命题:

设 x1, x2 ? ?a,b?

? ? (1)◆如果

f (x1) ? f (x2 ) x1 ? x2

? 0 ( x1

?

x2 ),则函数在

a, b

是增函数

◆ ? x1 ? x2 ? ?? f ? x1 ? ? f ? x2 ??? ? 0 则函数在?a,b? 是增函数 ◆对于任意的 m,都有 f (m ?1) ? f (m) ,则函数在?a,b? 为增函数。

? ? (2)◆如果

f (x1) ? f (x2 ) x1 ? x2

? 0 ( x1

?

x2 ),则函数在

a, b

是减函数

◆ ? x1 ? x2 ? ?? f ? x1 ? ? f ? x2 ??? ? 0 ? f (x) 在?a,b? 是减函数。
◆对于任意的 m,都有 f (m ?1) ? f (m) ,则函数在?a,b? 减函数。
3、定义引申的三种题型:

?x1, x2 ? D
(1)判断函数的单调性

x1 ? x2 且 f (x1) ? f (x2 ) ,则 f (x) 是增函数
(2)比较自变量的大小

f (x) 是增函数且 f (x1) ? f (x2 ), 则 x1 ? x2
(3)比较函数值的大小

f (x) 是增函数且 x1 ? x2 ,则 f (x1) ? f (x2 )

4、有关单调性的几个结论:
(1)y=f(x)与 y=kf(x) 当 k>0 时,单调性相同;当 k<0 时,单调性相反
(2)如果函数 f(x)为增函数 g(x)也为增函数,则有:

f(x)+ g(x)也为增函数,-g(x)为减函数, 1 为减函数。 f (x)

(3)如果函数 f(x)为增函数 g(x)为减函数,则有:f(x) -g(x)也为增函数

(4)若 f(x)(其中 f(x)>0)在某个区间上为增函数,则 n f (x)与f n(x)
(5)复合函数 f[g(x)]的单调性由 f(x)和 g(x)的单调性共同决定.(同则增异则减)
▲【典型例题】

例 1. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f (x) 满 足 : 对 任 意 的 x1, x2 ? (??, 0](x1 ? x2 ) , 有

(x2 ? x1) ( f (x2 ? ) f 1(x?.)则)当 n0? N * 时,有

(A) f (?n) ? f (n ?1) ? f (n ?1)

(B) f (n ?1) ? f (?n) ? f (n ?1)

(C) f (n ?1) ? f (?n) ? f (n ?1)

(D) f (n ?1) ? f (n ?1) ? f (?n)

例 2.下列函数 f (x) 中,满足“对任意 x1 , x2 ? (0, ?? ),当 x1 < x2 时,都有 f (x1) > f (x2 ) 的是

A. f (x) = 1 x

B. f (x) = (x ?1)2

C . f (x) = ex

D. f (x) ? ln(x ?1)

1
例 3.给定函数① y ? x2 ,② y ? log 1( x ?1) ,③ y ?| x ?1| ,④ y ? 2x?1 ,其中在区间(0,1)上单调
2

递减的函数序号是 (A)①② (B)②③

(C)③④

(D)①④

例 4.定义在 R 上的偶函数 f ? x? 的部分图像如右图所示,则在 ??2,0? 上,下列函数中与 f ? x? 的单调性

不同的是

A. y ? x2 ?1 B. y ?| x | ?1

?2x ?1, x ? 0

C.

y

?

? ?

x3

?1,

x

?

0

D.

y

?

??ex ???e?

,
x

x?o ,x?0

例 5. 已 知 偶 函 数 f (x) 在 区 间 ?0, ??) 单 调 增 加 , 则 满 足

f (2x ?1) < f (1) 的 x 取值范围是 3

(A)( 1 , 2 ) 33

(B) [ 1 , 2 ) 33

(C)( 1 , 2 ) 23

(D) [ 1 , 2 )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23

例 6.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值设

f(x)=min{ x 2 , x+2,10-x} (x ? 0),则 f(x)的最大值为

A.4

B.5 C.6

D.7

例 7.设函数

f (x) ?

?x2 ?

? 4x ? 6, x ? 0 则不等式

f (x)

?

f (1) 的解集是(



?x ? 6, x ? 0

A. (?3,1) ? (3,??)

B. (?3,1) ? (2,??)

C. (?1,1) ? (3,??)

D. (??,?3) ? (1,3)

例 8.设奇函数 f (x) 在 (0,? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 f (x) ? f (?x) ? 0 的解集为( ) x
A. (?1,0) (1,? ?) B. (??,?1) (0,1) C. (??,?1) (1,? ?) D. (?1,0) (0,1)

例 9.定义域为 R 的函数 f (x) 满足条件:①[ f (x1 ) ? f (x2 )](x1 ? x2 ) ? 0, (x1, x2 ? R? , x1 ? x2 ) ; ② f (x) ? f (?x) ? 0 (x ? R) ; ③ f (?3) ? 0 .则不等式 x ? f (x) ? 0 的解集是( )

A.?x | ?3 ? x ? 0或x ? 3?

B.?x | x ? ?3或0 ? x ? 3?

C.?x | x ? ?3或x ? 3?

D.?x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3?

例 10.已知函数

f (x) ?

?a x ? ?(a

, ?

3)

x

?

4a,

( (

x x

? ?

0) 0)

.满足对任意的

x1

?

x2 都有

f ( x1 ) ? x1 ?

f (x2 ) x2

?

0

成立,则 a 的取值范围是( )

A. (0, 1 ] 4

B. (0,1)

C. [1 ,1) 4

D. (0,3)

题型六:函数奇偶性与周期性
【考点解读】
一、函数奇偶性的定义 (1)定义的解读与理解

【注】:(1)定义域关于原点对称;
(2)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:
f (x) ? f (?x) ? 0 , f (x) ? ?1 f (?x)
(3)判断函数奇偶性的方法:一求二看三化简四比较五得结论 (建议学生画出判断函数奇偶性的算法框图) (2)、定义的引申:函数的对称性
◆偶函数关于 y(即 x=0)轴对称,偶函数有关系式 f (?x) ? f (x) ◆奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式 f (x) ? f (?x) ? 0
引申 1:函数的线对称
◆函数 y ? f (x) 关于 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) f (a ? x) ? f (a ? x) 也可以写成 f (x) ? f (2a ? x) 或 f (?x) ? f (2a ? x)
引申 2:函数的点对称
◆函数 y ? f (x) 关于点 (a,b) 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 上述关系也可以写成 f (2a ? x) ? f (?x) ? 2b 或 f (2a ? x) ? f (x) ? 2b
2、奇偶函数的性质:
(1)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称;
(2)奇函数在对称区间上单调性相同,偶函数在对称区间上单调性相反;
(3) f (x) 为偶函数 ? f (x) ? f (| x |) ;
(4)若奇函数 f (x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 。
3、函数奇偶性的有关结论:
(1)设 f (x) , g(x) 的定义域分别是 D1, D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇? 奇=偶,偶+偶=偶,偶? 偶=偶,奇? 偶=奇 (2)定义域关于原点对称的任意一个函数 f (x) 都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和. 即 f (x) = 1 [F(x)+G(x)] 其中 F(x) = f (x) + f (?x) , G(x) = f (x) - f (?x)
2
二、函数的周期性
1、定义:对于函数 y ? f (x) ,如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f (x ? T ) ? f (x) 成立,那么就把函数 y ? f (x) 叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做这个函数的
周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、定义的变形和引申

(1)函数 y ? f (x) 满足如下关系式,则 f (x)的周期为2T

A、 f (x ? T ) ? ? f (x) B、 f (x ? T ) ? k 或f (x ? T ) ? ? k

f (x)

f (x)

C、 f (x ? T ) ? 1 ? f (x) 或 f (x ? T ) ? 1 ? f (x) (等式右边加负号亦成立)

2 1? f (x)

2 1? f (x)

D、其他情形
(2)函数 y ? f (x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) 且 f (b ? x) ? f (b ? x) ,则可推出

f (x) ? f (2a ? x) ? f [b ? (2a ? x ? b)] ? f [b ? (2a ? x ? b)] ? f [x ? 2(b ? a)]即可以得到

y ? f (x) 的周期为 2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于 x 轴两条直线对称,则

函数一定是周期函数”
( 3 ) ◆ 如 果 奇 函 数 满 足 f (x ? T ) ? ? f (x) 则 可 以 推 出 其 周 期 是 2T , 且 可 以 推 出 对 称 轴 为

x ? T ? 2kT (k ? z) ,根据 f (x) ? f (x ? 2T ) 可以找出其对称中心为 (kT,0) (k ? z)(以上T ? 0 ) 2
◆ 如 果 偶 函 数 满 足 f (x ? T ) ? ? f (x) 则 亦 可 以 推 出 周 期 是 2T , 且 可 以 推 出 对 称 中 心 为

(T ? 2kT,0) (k ? z) ,根据 f (x) ? f (x ? 2T ) 可以推出对称轴为 x ? T ? 2kT (k ? z) 2 (以上T ? 0 )
(4) ◆如果奇函数 y ? f (x) 满足 f (T ? x) ? f (T ? x) (T ? 0 ),则函数 y ? f (x) 是以 4T 为周期的
周期性函数。

◆如果偶函数 y ? f (x) 满足 f (T ? x) ? f (T ? x)(T ? 0 ),则函数 y ? f (x) 是以 2T 为周期的周期性
函数。 ☆两个函数的图象对称性

y ? f (x) 与 y ? ? f (x) 关于 x 轴对称。 换种说法: y ? f (x) 与 y ? g(x) 若满足 f (x) ? ?g(x) ,即它们关于 y ? 0 对称。

y ? f (x) 与 y ? f (?x) 关于 y 轴对称。 换种说法: y ? f (x) 与 y ? g(x) 若满足 f (x) ? g(?x) ,即它们关于 x ? 0对称。

y ? f (x) 与 y ? f (2a ? x) 关于直线 x ? a 对称。

换种说法: y ? f (x) 与 y ? g(x) 若满足 f (x) ? g(2a ? x) ,即它们关于 x ? a 对称。

y ? f (x) 与 y ? 2a ? f (x) 关于直线 y ? a 对称。

换种说法: y ? f (x) 与 y ? g(x) 若满足 f (x) ? g(x) ? 2a ,即它们关于 y ? a 对称。

y ? f (x)与y ? 2b ? f (2a ? x) 关于点(a,b)对称。

【换种说法】 y ? f (x) 与 y ? g(x) 若满足 f (x) ? g(2a ? x) ? 2b ,即它们关于点(a,b)
对称。
y ? f (a ? x) 与 y ? f (x ? b) 关于直线 x ? a ? b 对称。 2

【典型例题】

例 1.若 f (x) ? 1 ? a 是奇函数,则 a ? ____________. 2x ?1
例 2.函数 f (x) ? x3 ? sin x ?1(x ? R) ,若 f (?a) ? 2 ,则 f (a) 的值为

A.3

B.0

C.-1

D.-2

例 3.设函数 f(x)=x(ex+ ae-x)(x? R)是偶函数,则实数 a=__________

例 4.已知函数 f (x) 是 (??,??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f (x ? 2) ? f (x),且当 x ?[0,2) 时,

f (x) ? log 2 (x ? 1) ,则 f (?2008) ? f (2009) 值为( )

A. ? 2

B. ?1

C.1

D.2

例 5.设定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) ? f (x ? 2) ? 13 ,若 f (1) ? 2 ,则 f (99) ? ( )

A.13

B.2

C. 13

2

例 6.3.若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定义域均为 R,则(

D. 2 w.k.s.5.u.c.o.m 13


A.f(x)与 g(x)均为偶函数

B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数

C.f(x)与 g(x)均为奇函数

D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

例 7.已知函数 y ? f (x) 的图象与函数 g(x) ? log2 (x2 ? x ? 2) 的图象关于直线 x ? 2 对称,则

f (3) ? __________.

例 8.已知定义在 R 上的函数 y ? f ? x? 满足 f ?2 ? x? ? f ?2 ? x?. ,若方程 f ?x? ? 0 有且仅有三个根,且

x ? 0 为其一个根,则其它两根为___________。 例 9.对于定义在 R 上的函数 f (x) ,有下述四个命题:

①若 f (x) 是奇函数,则 f (x ?1) 的图象关于点 A(1,0)对称;

②若对 x? R,有 f (x ?1) ? f (x ?1) ,则 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? 1对称;

③若函数 f (x ?1) 的图象关于直线 x ? 1对称,则 f (x) 为偶函数;

④函数 y ? f (1? x) 与函数 y ? f (1? x) 的图象关于直线 x ? 1对称。

其中正确命题的序号为__________(把你认为正确命题的序号都填上)



10.函数

y=

y

?

log 2

2 2

? ?

x x

的图像(

)

(A) 关于原点对称

(B)关于主线 y ? ?x 对称

(C) 关于 y 轴对称

(D)关于直线 y ? x 对称

例 11.定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x ?1) ? ? f (x),且f (x)在?-1,0? 上是增函数,下列五个关

于 f (x) 的命题中

① f (x) 是周期函数;

② f (x) 的图象关于 x ?1 对称;

③ f (x) 在[0,1]上是增函数 ④ f (x) 在[1,2]上是减函数;

⑤ f (2) ? f (0)

正确命题的个数是( A.1 个

) B.2 个

C.3 个

D.4 个

例 12.⑷若 a,b 是非零向量,且 a ? b , a ? b ,则函数 f (x) ? (xa ? b) ? (xb ? a) 是( )

(A)一次函数且是奇函数 (C)二次函数且是偶函数

(B)一次函数但不是奇函数 (D)二次函数但不是偶函数

例 13.函数 f (x) 的定义域为 R,若 f (x ?1) 与 f (x ?1) 都是奇函数,则( )

(A) f (x) 是偶函数

(B) f (x) 是奇函数

(C) f (x) ? f (x ? 2)

(D) f (x ? 3) 是奇函数

例 14.若函数 f (x), g(x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f (x) ? g(x) ? ex ,

则有( )

A. f (2) ? f (3) ? g(0)

B. g(0) ? f (3) ? f (2)

C. f (2) ? g(0) ? f (3)

D. g(0) ? f (2) ? f (3)

题型七:函数图像 ☆具体要求:
1.掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法. 2.会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中的问题. 3.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题. 4.掌握知识之间的联系,进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力.



1.函数

y

?

ex ex

? e?x ? e?x

的图像大致为(

).

y

1

O1

x

y
1 O1 x

y
1 O1 x

A

B

C

例 2.设 a <b,函数 y ? (x ? a)2 (x ? b) 的图像可能是( ).

y

1

O1

x

D

例 3.函数 y ? 2x ? x2 的图像大致是( ) 例 4.函数 y ? e|ln x| ? | x ? 1 | 的图象大致是( ) 例 5.如图所示,一质点 P(x, y) 在 xOy 平面上沿曲线运动,速度大小不 变,其在 x 轴上的投影点 Q(x, 0)

的运动速度V ? V (t) 的图象大致为

y

P(x, y)

V (t) V (t)

V (t)

V (t)

O Q(x, 0)

x

O

tO

tO

t

O

t

A

B

C

D

例 6.函数 y=lncosx(- π <x< ? ) 的图象是( )

2

2

题型八:函数性质的综合应用
高考对这部分内容考查的重点有:①函数的奇偶性、单调性和周期性;②函数与不等式结合;③函 数与方程的综合;④函数与数列综合;⑤函数与向量的综合;⑥函数类型的应用题等.

例 1. 一给定函数 y ? f (x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? (0,1) ,由关系式 an?1 ? f (an ) 得到的 数列{an } 满足 an?1 ? an (n ? N * ) ,则该函数的图象是

1

y

y

y

y

1

1

1

x O(A) 1

O (B)1 x

O(C)1 x

O(D) 1 x

例 2.已知 y

?

f (x) 是定义在 R 上的单调函数,实数 x1

?

x2 ,?

?

?1, a

?

x1 ? ?x2 1? ?

,

?

?

x2 ? ?x1 1? ?



若 | f (x1) ? f (x2 ) |?| f (?) ? f (? ) | ,则(
(A) ? ? 0 (B) ? ? 0


(C) 0 ? ? ? 1

(D) ? ? 1

例 3.设函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 D ,若所有点 (s, f (t))(s,t ? D) 构成一个正方形

区域,则 a 的值为( )

A. ?2

B. ?4

C. ?8

D.不能确定 21 世纪教育网



4.设函数

y

?

f

(x) 在( ?? ,+ ? )内有定义。对于给定的正数 K,定义函数

? f (x), f (x) ? fk (x) ? ??K, f (x) ? K

K

取函数 f (x) = 2 ? x ? e?1 。若对任意的 x ?(??, ??) ,恒有 fk (x) = f (x) ,则 ( )

A.K 的最大值为 2 C.K 的最大值为 1

B. K 的最小值为 2 D. K 的最小值为 1

例 5.在 y ? 2x , y ? log 2 x, y ? x2 , y ? cos 2x 这四个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,使

f ( x1 ? x2 ) ? f (x1 ) ? f (x2 ) 恒成立的函数的个数是( )

2

2

A.1

B.2

C.3

D.4

例 6.函数 f (x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ? b 对称。据此可推测,对任意的非零实数 a, 2a

b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m? f (x)?2 ? nf (x) ? p ? 0 的解集都不可能是

A. ?1, 2?

B ?1, 4?

C ?1, 2,3, 4?

D ?1,4,16,64?

二.函数与方程的思想方法
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关 系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组), 然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达 到解决问题的目的。
例 1.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f (x ? 4) ? ? f (x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程

? ? f(x)=m(m>0)在区间 ? 8,8 上有四个不同的根 x1, x2 , x3, x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________ .
例 2.已知函数 f (x) ? x2 ? 2x ? a , f (bx) ? 9x2 ? 6x ? 2 ,其中 x ? R , a, b 为常数,则方程

f (ax ? b) ? 0 的解集为

.

例 3.(4)函数 f(x)= ex ? x ? 2的零点所在的一个区间是

(A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1)

(D) (1,2)

例 4.(15)直线 y ? 1与曲线 y ? x2 ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是

.

例 5.若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax2 ? 15 x ? 9 都相切,则 a 等于 4

A.

?1或

-

25 64

B. ?1或 21 4

C.

?

7 4



-

25 64

D. ? 7 或 7 4

例 6.若 x1 满足 2x+ 2x =5, x2 满足 2x+2 log2 (x-1)=5, x1 + x2 =( )

(A) 5

(B)3

2

7

(C)

(D)4

2


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