高中数学专题复习——概率与统计

专题复习(四)—— 概率与统计 (一)知识梳理 1.分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案,在第一类方案中有 m1 种不同的方法,在第二类方案中有 m2 种 不同的方法,……,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,则完成这件事情,共有 N=m1+m2 +…+mn 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤,完成第一步有 m1 种不同的方法,完成第二步有 m2 种 不同的方法,……,完成第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事情共有 N=m1× m2×…×mn 种不同的方法. 3.两个原理的区别 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种 数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中 的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依 存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成. 4.排列与排列数公式 (1)排列与排列数 从n个不同元 按照一定的顺序 排 所有不同 排 素中取出 ――――――――→ ―――――→ 列 列 排成一列 排列的个数 数 m(m≤n)个元素 (2)排列数公式 n! Am . n =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (n-m)! (3)排列数的性质 ①An ; ②0!=1. n=n! 5.组合与组合数公式 (1)组合与组合数 从n个不同元 组 所有不同 素中取出 ――――――→ 组合数 合 组合的个数 m(m≤n)个元素 (2)组合数公式 m m An Cn =Am m = n(n-1)(n-2)…(n-m+1) n! = . m! m!(n-m)! (3)组合数的性质 m ①C0 n=1; ②Cn =Cn n-m m 1 ; ③Cm =Cm n +Cn n+1. - 6.排列与组合问题的识别方法 识别方法 排列 若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是 排列问题,即排列问题与选取元素顺序有关 若交换某两个元素的位置对结果没有影响,则是 组合问题,即组合问题与选取元素顺序无关 组合 7.二项式定理 (1)定理: n 1 n-1 n-k k n n (a+b)n=C0 b+…+Ck b +…+Cn b (n∈N*). na +Cna na (2)通项: n k k 第 k+1 项为:Tk+1=Ck b. na - (3)二项式系数: 二项展开式中各项的二项式系数为:Ck n(k=0,1,2,…,n). 8.二项式系数的性质 9.概率与频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 nA A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= n 为事件 A 出 现的频率. (2)对于给定的随机事件 A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件 A 发生的频 率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生 的可能性大小,并把这个常数称为随机事件 A 的概率,记作 P(A). 10.事件的关系与运算 定义 包含 关系 相等 关系 并事件 (和事件) 如果事件 A 发生, 则事件 B 一定发生, 这时称 事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) 若 B? A 且 A? B,那么称事件 A 与事件 B 相 等 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事 件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事 件(或积事件) 若 A∩B 为不可能事件,则称事件 A 与事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件, A∪B 为必然事件, 那 么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A∩B=? A∩B=?; P(A∪B)=P(A)+P(B)=1 符号表示 B? A (或 A? B) A=B A∪B (或 A+B) 交事件 (积事件) 互斥 事件 对立 事件 A∩B (或 AB) 11.理解事件中常见词语的含义: (1)A,B 中至少有一个发生的事件为 A∪B; (2)A,B 都发生的事件为 AB; (3)A,B 都不发生的事件为; (4)A,B 恰有一个发生的事件为 A∪B; (5)A,B 至多一个发生的事件为 A∪B∪. 12.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率:P(E)=1. (3)不可能事件的概率:P(F)=0. (4)概率的加法公式:如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B). (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P(A)=1-P(B). 13.互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件, 而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因 此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件. 14.基本事件的特点 (1)任意两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 15.古典概型 (1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. ②每个基本事件出现的可能性相等. (2)古典概型的概率公式:P(A)= 16.几何概型 (1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比 例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. (2)几何概型的概率公式:P(A)= 17.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做条件概率, 用符号 P(B|A)来表示,其公式为 P(B|A)= (2)条件概率具有的性质: P(AB

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