上海延安中学2010学年高三第一学期期终数学试卷(理)[1]

上海市延安中学 2010 年度第一学期期终考试高三年级数学试卷(理科)
一、 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1.若点 A ( x , y ) 是 2 4 0 ? 角终边上异于原点的一点, 则
y

12.某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一个智能门,首次到达此门,系统会随机(即 等可能)为你打开一个通道.若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、3 号通道, 则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过 ...

的值为

. .

的通道, 直至走出迷宫为止. ? 表示走出迷宫所需的时间. 令 那么 ? 的数学期望为_____小时. 13. 如图, 半径为 R 的球 O 的直径 A B 垂直于平面 ? , 垂足为 B , B C D 是平面 ? 内边长为 R 的正三角 ? 形,线段 A C 、 A D 分别与球面交于点 M、N,那 么 M、N 两点间的球面距离是 (用 R 表示)
?
B
C

x ? ? 2.已知向量 a ? ? 2 , ? 1 ?, b ? ? ? 1, m ?, c ? ? ? 1, 2 ? ,若 a ? b ∥ c ,则 m ? _________

?

?

A

3.计算: lim

C n ? 2C n
2

n?2

n? ?

( n ? 1)
6

2

=





O N

1 ? ? 3 4. ? 2 x ? ? 的展开式中, x 的系数等于____________. x ? ?

M

D

5.已知等比数列 ? a n ? 各项均为正数, a 1 a 2 a 3 ? 5 , a 7 a 8 a 9 ? 1 5 ,则 a 4 a 5 a 6 ? 6.已知集合 A ? ? x || x |? 3? , B ? ? x |
? ? ? ? 1 ? ,则 A ? B ? x?2 ? 6



14.已知 f ? x ? 是定义在实数集 R 上的不恒为零的函数,且对于任意 a , b ? R ,满足 f ? 2 ? ? 2 ,
f


f

? ab ? ? ?0? ?

af ?b ? ? bf f ?1 ? ; f ②

? a ? ,记 a n

?

?2 ?
n

2n

, bn ?

f

?2 ?
n

2

n

,其中 n ? N .考察下列结论:①
*

7.函数 f ( x ) ? lg s in ? x ?
?

?

? ?

? 的单调递增区间是 3 ?



f

③数列 ? a n ? 为等比数列; ④数列 ? b n ? 为等差数列. ? x ? 是 R 上的偶函数; .

8.已知函数 y ? g ( x ) 的图像与函数 y ?
g ( x ) 的解析式为 g ( x ) ?

1 ? ln ( x ? 1) 2

其中正确结论的序号有
( x ? 2 ) 的图像关于直线 y ? x 对称,则函数

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论, 其中有且只有一个结论是正确的, 必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内, 选对得 5 分, 不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15.已知函数 y ? 2 sin x 的定义域为 ? a , b ? ,值域为 ? ? 2 ,1 ? ,则 b ? a 的值不可能是 ( (A)
5? 6



9. 已知圆 C 过点 ? 1, 0 ? , 且圆心在 x 轴的正半轴上, 直线 l :y ? x ? 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2 , 则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 .



2 3 4 5 6 10.将标号为 1 、 、 、 、 、 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张,其中标号

(B) ?

(C)

7? 6

(D) 2 ?

2 为 1 、 的卡片放入同一信封,则不同的放法共有

种.
? ? ?? ? ? ??

2 16. 曲线 y ? a x 与直线 y ? kx ? b 相交于两点,它们的横坐标为 x1 、x 2 ,而 x 3 是直线与 x 轴交

11 . 已 知 空 间 中 两 点 A ? 1, 2 , 3 ? , B ? ? 2 , 2 , 6 ? , 若 存 在 点 P 满 足 A B ? 3 P B , 则 点 P 的 坐 标 为 . 高三 数学 第 1 页(共 8 页)

点的横坐标,那么( (A) x 3 ? x1 ? x 2 (B) x 3 ?


1 x1 ? 1 x2

(C) x1 x 3 ? x 2 x 3 ? x1 x 2 (D) x1 x 2 ? x 2 x 3 ? x 3 x1 数学 第 2 页(共 8 页)

高三

17. 记实数 x1 , x 2 ,?, x n 中的最大数为 m ax ? x1 , x 2 , … , x n ? ,最小数为 m in ? x1 , x 2 , … , x n ? 已知 V A B C 的三边长为 a , b , c ( a ? b ? c ) ,定义它的倾斜度为
?a b c? ?a b c? l ? m a x ? , , ? gm in ? , , ? 则“ l ? 1 ”是“ V A B C 为等边三角形”的( ?b c a? ?b c a?

22. (本题满分 16 分. 其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 7 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且对任意正整数 n ,满足 a n ? S n ? 2 . (1)求数列 { a n } 的通项公式;

) (2)用反证法证明:数列 { a n } 中不存在任意 三项按原来顺序成等差数列; (3) 若从数列 { a n } 中依次抽取一个无限多项的等比数列, 使它的所有项的和 S 满足 这样的等比数列有多少个?
4 61 ? S ? 1 13

(A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 18. 过正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 的顶点 A 作直线 l ,使直线 l 与 A B 、A D 、A A1 所成的角都相 等,这样的直线 l 可以作( (A)1 条 三、解答题(共 74 分) 19. (本题满分 12 分其中第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分) 如图,面 A B C D ? 面 P A D ,△ A P D 是等腰直角三角形 ,
? APD ? 90?



) (C)3 条 (D)4 条

(B)2 条

23. (本题满分 18 分,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a ?
4 x (a ? R ) .

B

C

(1)若 a ? 0 ,求不等式 f ( x ) ? 0 的解集; (2)当方程 f ( x ) ? 2 恰有两个实数根时,求 a 的值;

, 四 边 形 ABCD 是 直 角 梯 形 , 其 中 , ? BAD ? 90? ,
AD ? 2BC ? 2 AB

B C // A D

,

A P

O

D

(3)若对于一切 x ? (0, ? ? ) ,不等式 f ( x ) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.

O 是 AD 的中点

(1)求证: C D // 平 面 P B O ; (2)求直线 P B 与直线 C D 所成角的大小.

C 20.(本题满分 14 分,其中第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分)设 ? A B C 的三个内角 A 、B 、 所对的 b c 边分别为 a 、 、 ,且满足 ? 2 a ? c ? ? B C ? B A ? ? c ? C A ? C B ? ? 0 .
???? ??? ? ??? ??? ? ?

(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 2 3 ,试求 A B ? C B 的最小值. 21. (本题满分 14 分,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知圆 M ( M 为圆心)的方程为 x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l 上, 过 P 点作圆 M 的切线 P A 、P B ,切点为 A 、B . (1)若 ? A P B ? 6 0 ? ,试求点 P 的坐标;
M (2)求证:经过 A 、P 、 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.

??? ??? ? ?

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上海市延安中学 2010 年度第一学期期终考试参考答案高三年级数学试卷(理科)
一、填空题: (每题 4 分,共 56 分) 1. 4.
3
240

注: a rc ta n 3.
5 3
3 2

2 2

? a rc s in

3 3

? a rc c o s

6 3

以上答案均可.

2. ? 1 5.
?
3

20. (本题满分 14 分其中第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分) (1)因为 ( 2 a ? c ) ? B C ? B A ? ? c ? C A ? C B ? ? 0 ,所以 ( 2 a ? c ) a c co s B ? ca b co s C ? 0 , 即 ( 2 a ? c ) co s B ? b co s C ? 0 ,则 ( 2 sin A ? sin C ) co s B ? sin B co s C ? 0 ????4 分 所以 2 sin A co s B ? sin ( C ? B ) ? 0 ,即 c o s B ? ? (2)因为 b ? a ? c ? 2 a c c o s
2 2 2

6. ? ? 2, 3 ? 9. x ? y ? 3 ? 0

???? ??? ?

??? ??? ? ?

7. ? 2 k ? ?
?

?

, 2k? ?

5? ? 1? ? 2 x ?1 k ? Z 可全开 8. g ? x ? ? e ? 1? x ? ? ? 6 ? 2? ?

1 2

10. 18 13. R ? a rc c o s
17 25

11. ? ? 1, 2, 5 ? 14.① ③ ④

12.

7 2

,所以 B ?
2

2? 3

???????7 分

2?

,所以 1 2 ? a ? c ? a c ? 3 a c ,即 a c ? 4 ???11 分
2

二、选择题: (每题 5 分,共 20 分) 题 答 案 号 15 D 16 D 17 A 18 D

3 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2? 1 ? ? a c ? ? 2 ,即 A B ? C B 的最小值为 ? 2 所以 A B ? C B = a c c o s 3 2

???14 分

21. (本题满分 14 分,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) (1)设 P (2 m , m ) ,由题可知 M P ? 解得: m ? 0 , m ?
4 5 1 s in 3 0 ? ? 2 ,即 ( 2 m ) ? ( m ? 2 ) ? 4 ,?????3 分
2 2

三、解答题(共 78 分) 19. (本题满分 12 分其中第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分) (1)因为 A D ? 2 B C ,且 O 是 A D 中点,所以 O D ? B C ,又 A D // B C ,所以 O D // B C , 所以四边形 B C D O 为平行四边形, 所以 C D / / B O , ????????????????3 分 又 C D 不在平面 P B O 且 B O ? 平面 P B O , 故 C D // 平面 P B O , ????????????????5 分 (2)? C D / / B O ,直线 P B 与 C D 所成角即为 P B 与 B O 所成角. ????6 分 设 A D ? 2 a ,则由题意知, A B ? A O ? a ,又 A B ? A O ,故 B O ?
? ? A P D 为等腰直角三角形,且 ? A P D ? 9 0 ? , O 为 A D 中点, ? PO ? AD 且 PO ?

故所求点 P 的坐标为 P (0 , 0 ) 或 P ( , ) .
5 5 m 2 ? 1) ,因为 P A 是圆 M 的切线

8 4

?????6 分

(2)设 P ( 2 m , m ) , M P 的中点 Q ( m ,

所以经过 A , P , M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 M Q 为半径的圆, 故其方程为: ( x ? m ) ? ( y ?
2

m 2

? 1) ? m ? (
2 2

m 2

? 1)

2

???????????9 分

化简得: x ? y ? 2 y ? m ( x ? y ? 2 ) ? 0 ,此式是关于 m 的恒等式,
2 2

2a

2 2 ? x ? y ? 2 y ? 0, ?x ? 0 ?x ? 1 故? 解得 ? 或? 即 ? 0 , 2 ? 和 ? 1,1 ? . ?y ?1 ?y ? 2 ? x ? y ? 2 ? 0,

?????14 分

1 2

AD ? a

????????????????8 分

22. (本题满分 16 分. 其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 7 分) (1)当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 2 a 1 ? 2 ,则 a 1 ? 1 . ?????????1 分
1 2 an ,

又平面 P A D ? 平面 A B C D , ? P O ? 面 A B C D
? PO ? BO

????????????????10 分
2 2

又 a n ? S n ? 2 ,? a n ? 1 ? S n ? 1 ? 2 ,两式相减得 a n ? 1 ?
? { a n } 是首项为 1,公比为
? an ? 1 2
n ?1

在 R t ? B P O 中, ? P B O ? a rc ta n

,故 P B 与 B O 所成角为 a rc ta n

2 2

??????12 分

1 2

的等比数列, ????????????????????4 分

高三 数学

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数学

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(2)反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为 a p ? 1 , a q ? 1 , a r ? 1 ( p ? q ? r ) 则 2?
? 2 ?2
1 2
r?q
q

令 y1 ? x ? a , y 2 ? 2 ?

4 x

?

1 2
p

?

1 2
r

, ????????????????????7 分
*

由函数图像知两函数图像在 y 轴右边只有一个交点时满足题意
x?a ? 2? 4 x

????????6 分

即 x ? (a ? 2) x ? 4 ? 0
2

? 2

r? p

? 1 (*)

由 ? ? 0 得 a ? 2, ? 6
? p ? q ? r

????????????10 分

? r ? q, r ? p ? N

? (*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立 ? 假设不成立,原命题得证.

(3) x ? a ?

4 x

? 1( x ? 0 ) 4 x ? 1( x ? 0 ) , x ? 4 x ? 1 ? a ( x ? 0) , a ? 3

????????????????????9 分
1 2
m

(3)设抽取的等比数列首项为
1

,公比为

1 2
n

当 a ? 0 时, x ? a ?

,且满足 m 、 ? N , m ? 0, n ? 1 , n 当a ? 0 时
1 ? 4 61
61 4

所以 a ? 0

????????????12 分

1 1 2
n

则S ?

2 1?

m

?

4 61

? S ?

1 13

,?

2 1?
?2

m

,整理得: 2 ? 2
m

m?n

?

61 4



2

n

?n ?1
?m ? 4
?S ? 1 13

?2

m?n

? 2

m ?1

m ?1

? 2

m

?2

m?n

?

4 ? x? ?a x ? a ? ? x f (x) ? ? ?? x ? 4 ? a 0 ? x ? a ? x ?

????????????13 分

?????????????11 分
? 1 2
m

?

1 13

① 当 x ? a 时, x ?

4 x

? a ? 1 ,即 a ? x ?

4 x

? 1 ? ( x ? 0 ) ,令 g ( x ) ? x ?

4 x

?1

?m ? 4

?m ? 4

???????????????????13 分
64 3

0 ? a ? 2 时, a ? g ( 2 ) ? 3 ,所以 0 ? a ? 2

n 将 m ? 4 代入①式整理得 2 ?

?n? 4

?????15 分

a ? 2 时, a ? g ( a ) ? a ?

4 a

? 1 ,所以 a ? 4 , 2 ? a ? 4

经验 证得 n ? 1, 2 不满足题意, n ? 3, 4 满足题意. 综上可得满足题意的等比数列有两个. ??????????????16 分 23. (本题满分 18 分,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) (1)由 a ? 0 得 f ( x ) ? x ? 当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ?
4 x 4 x ? 0 恒成立;∴ x ? 0 4 x

所以 0 ? a ? 4 ②当 0 ? x ? a 时, ? x ? 所以 a ? a ?
4 a 4 x ? 1,a ? 4

????????????????????15 分
? a ? 1 ,即 a ? x ? 4 x ? 1( x ? 0 )

????????????????17 分 ??????????????18 分

综上, a 的取值范围是 ( ? ? , 4 ] ????????????2 分

当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? x ?

? 0 ,得 x ? 2 或 x ? ? 2 ,又 x ? 0 ,∴ x ? ? 2

所以不等式 f ( x ) ? 0 的解集为 ( ? ? , ? 2 ] ? (0, ? ? ) ???????????????4 分 (2)由 f ( x ) ? 2 得 x ? a ? 2 ?
4 x

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