2018版高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(二)课件新人教A版必修4_图文

第一章 §1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(二) 学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2. 了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角 的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 三角函数的定义域 思考 π 正切函数y=tan x为什么规定x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z? 2 π 答案 当 x=kπ+2,k∈Z 时,角 x 的终边在 y 轴上,此时任取终 yP 边上一点 P(0,yP),因为 0 无意义,因而 x 的正切值不存在.所以 π 对正切函数 y=tan x,必须要求 x∈R 且 x≠kπ+2,k∈Z. 答案 梳理 R; R ;余弦函数y=cos x的定义域是___ 正弦函数y=sin x的定义域是__ π {x|x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z} 正切函数y=tan x的定义域是 . 2 知识点二 三角函数线 思考1 在平面直角坐标系中,任意角α的终边与单 位圆交于点 P ,过点 P 作 PM⊥x 轴,过点 A(1 , 0) 作单位圆的切线,交 α 的终边或其 反向延长线于点 T ,如图所示,结合三角 函数的定义,你能得到sin α,cos α,tan α 与MP,OM,AT的关系吗? 答案 sin α=MP,cos α=OM,tan α=AT. 答案 思考2 三角函数线的方向是如何规定的? 答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值,反之,为负值. 思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么? 答案 长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的 正负. 答案 梳理 图示 正弦线 余弦线 角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM垂直于x轴,有向 线段 MP 即为正弦线 有向线段 OM 即为余弦线 过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴, 正切线 设它与α的终边或其反向延长线相交于点T,有向线段 AT 即 为正切线 题型探究 类型一 例1 三角函数线 5π 作出- 8 的正弦线、余弦线和正切线. 解 如图所示, ? 5π? ? sin?- 8 ? ?=MP, ? ? ? 5π? ? cos?- 8 ? ?=OM, ? ? ? ? 5π ? - tan? ? ?=AT. 8 ? ? 解答 反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过 此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时,应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反 向延长线于一点T,即可得到正切线AT. 1 跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α= 的角α的终边,并求角α的取值 2 集合. 解 1 1 已知角 α 的正弦值,可知 MP=2,则 P 点纵坐标为2. ? 1? ? 轴上取点?0,2? 过这点作 ?, ? ? 所以在 y x 轴的平行线, 交单位圆于 P1, P2 两点, 则OP1,OP2是角α的终边, π 因而角 α 的取值集合为{α|α=2kπ+6或 5π α=2kπ+ 6 ,k∈Z}. 解答 类型二 利用三角函数线比较大小 例2 2π 4π 2π 4π 2π 4π 利用三角函数线比较 sin 3 和 sin 5 ,cos 3 和 cos 5 ,tan 3 和 tan 5 的大小. 解 2π 2π 2π 如图, sin 3 =MP, cos 3 =OM, tan 3 =AT, 4π 4π 4π sin 5 =M′P′,cos 5 =OM′,tan 5 =AT′. 2π 4π 显然|MP|>|M′P′|,符号皆正,∴sin 3 >sin 5 ; 2π 4π |OM|<|OM′|,符号皆负,∴cos 3 >cos 5 ; 2π 4π |AT|>|AT′|,符号皆负,∴tan 3 <tan 5 . 解答 反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步: (1) 角的位置 要“对号入座”;(2)比较三角函数线的长度;(3)确定有向线段的正负. 跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(-1 654°)的大小. 解 sin 1 155°=sin(3×360°+75°)=sin 75°, sin(-1 654°)=sin(-5×360°+146°)=sin 146°. 如图,在单位圆中,分别作出sin 75° 和sin 146°的正弦线M1P1,M2P2. ∵M1P1>M2P2,且符号皆正, ∴sin 1 155°>sin(-1 654°). 解答 类型三 利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1 利用三角函数线解不等式(组) 例3 在单位圆中画出适合下列条件的角 α的终边的范围,并由此写出 角α的集合. 3 (1)sin α≥ 2 ; 解答 1 (2)cos α≤-2. 解 1 作直线 x=-2交单位圆于 C,D 两点, 连接 OC 与 OD, 则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分, 包括边界),即为角α的终边的范围. 2π 4π 故满足条件的角 α 的集合为{α|2kπ+ 3 ≤α≤2kπ+ 3 ,k∈Z}. 解答 反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式,应注意以下两点: (1)先找到“正值”区间,即0~2π内满足条件的角θ的范围,然后再 加上周期; (2)注意区间是开区间还是闭区间. 跟踪训练 3 的取值范围. 解 1 3 已知-2≤cos θ< 2 ,利用单位圆中的三角函数线,确定角 θ 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围, 2 π π 2 即{θ|2kπ-3π≤θ<2kπ-6或 2kπ+6<θ≤2kπ+3π,k∈Z}. 解答 命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 例4 求下列函数的定

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