[配套K12]2019高考数学一轮复习 第7章 不等式及推理与证明 第4课时 基本不等式练习 理

教育配套资料 K12 第 4 课时 基本不等式 1.已知 a,b∈(0,1)且 a≠b,下列各式中最大的是( ) A.a2+b2 B.2 ab C.2ab D.a+b 答案 D 解析 只需比较 a2+b2 与 a+b.由于 a,b∈(0,1),∴a2<a,b2<b,∴a2+b2<a+b. 2.下列函数中,最小值为 4 的是( ) 4 A.y=x+x 4 B.y=sinx+sinx(0<x<π ) C.y=4ex+e-x 答案 C D.y=log3x+logx3(0<x<1) 解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a=b”,同时考虑函数的定义域,A 中 x 的定义域为{x|x∈R,且 x≠0},函数没有最小值;B 中若 sinx=si4nx取到最小值 4,则 sin2x=4,显然不成立.D 中没有最小值.故选 C. 3.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 ( ) A. a<b< ab<a+2 b B.a< ab<a+2 b<b C.a< ab<b<a+2 b D. ab<a<a+2 b<b 答案 B 解析 方法一(特值法):代入 a=1,b=2,则有 0<a=1< ab= 2<a+2 b=1.5<b=2. 方法二(直接法):我们知道算术平均数a+2 b与几何平均数 ab的大小关系,其余各式作差(作商)比较即可,答 案为 B. 4.若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( ) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 答案 D 解析 ∵2x+2y≥2 2x·2y=2 2x+y(当且仅当 2x=2y 时等号成立),∴ 2x+y≤12,∴2x+y≤14,得 x+y≤-2,故 选 D. 5.若 x,y 是正数,则(x+21y)2+(y+21x)2 的最小值是( ) A.3 B.72 C.4 D.92 教育配套资料 K12 教育配套资料 K12 答案 C 解析 原式=x2+xy+41y2+y2+yx+41x2≥4. 当且仅当 x=y= 1 时取“=”号. 2 6.已知 a>0,且 b>0,若 2a+b=4,则a1b的最小值为( ) A.14 B.4 1 C.2 D.2 答案 C 11 解析 ∵4=2a+b≥2 2ab,∴ab≤2,ab≥2,当且仅当 a=1,b=2 时取等号. 7.若 x<0,则函数 y=x2+x12-x-1x的最小值是( ) A.-94 B.0 C.2 答案 D D.4 解析 y=x2+x12-x-1x≥2 x2·x12+2 1 (-x)(-x)=4,当且仅当 x=-1 时取等号. 8.(2015·湖南,文)若实数 a,b 满足1a+2b= ab,则 ab 的最小值为( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.4 答案 C 1 2 b+2a 解析 方法一:由已知得a+b= ab = ab,且 a>0,b>0,∴ab ab=b+2a≥2 2 ab,∴ab≥2 2. 方法二:由题设易知 a>0,b>0,∴ ab=1a+2b≥2 a2b,即 ab≥2 2,当且仅当 b=2a 时取“=”号,选 C. x2+2 9.(2017·金山模拟)函数 y= x-1 (x>1)的最小值是( ) A.2 3+2 B.2 3-2 C.2 3 D.2 答案 A 解析 ∵x>1,∴x-1>0. x2+2 x2-2x+2x+2 x2-2x+1+2(x-1)+3 ∴y= x-1 = x-1 = x-1 教育配套资料 K12 教育配套资料 K12 (x-1)2+2(x-1)+3 3 = x-1 =x-1+x-1+2≥2 (x-1)(x-3 1)+2=2 3+2. 3 当且仅当 x-1=x-1,即 x=1+ 3时,取等号. 10.已知不等式(x+y)(1x+ay)≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B 解析 1a xy (x+y)(x+y)=1+a·y+x+a≥1+a+2 a=( a+1)2, 当且仅当 a·xy=yx,即 ax2=y2 时“=”成立. ∴(x+y)(1x+ay)的最小值为( a+1)2≥9. ∴a≥4. 11.设实数 x,y,m,n 满足 x2+y2=1,m2+n2=3,那么 mx+ny 的最大值是( ) A. 3 B.2 C. 5 10 D. 2 答案 A 解析 方法一:设 x=sinα ,y=cosα ,m= 3sinβ ,n= 3cosβ ,其中 α ,β ∈R. ∴mx+ny= 3sinβ sinα + 3cosβ cosα = 3cos(α -β ).故选 A. 方法二:由已知(x2+y2)·(m2+n2)=3,即 m2x2+n2y2+n2x2+m2y2=3,∴m2x2+n2y2+2(nx)·(my)≤3,即(mx +ny)2≤3,∴mx+ny≤ 3. y2 12.已知 x,y,z∈(0,+∞),且满足 x-2y+3z=0,则xz的最小值为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 答案 A 13.(2017·四川成都外国语学校)若正数 a,b 满足:1a+1b=1,则a-1 1+b-9 1的最小值为( ) A.16 B.9 C.6 D.1 答案 C 解析 方法一:因为1a+1b=1,所以 a+b=ab,即(a-1)·(b-1)=1,所以a-1 1+b-9 1≥2 a-1 1×b-9 1=2×3 =6. 教育配套资料 K12 教育配套资料 K12 方法二:因为1a+1b=1,所以 a+b=ab,a-1 1+b-9 1=bab--1+ a-9ab- +91=b+9a-10=(b+9a)(1a+1b)-10≥16- 10=6. 方法三:因为1a+1b=1,

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