2.3.1-2直线与平面的所成的角_图文

复习回顾
1. 直线和平面垂直的定义 l 如果直线l与平面?内的任意一条直线都垂直 , 则直线l与平面?互相垂直, 记作l⊥?. . 平面的垂线 直线的垂面 α
P

垂足

2. 直线和平面垂直的判定方法:
(1)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则这条直线与该平面垂直.

符号语言 m? ? n?? m∩n=B l⊥m l⊥n 线线垂直

l
l⊥?. 线面垂直 B m n

?

(2)两条平行直线中一条垂直于平面,那么另 一条也垂直于这个平面. 符号语言

a∥ b
a⊥ ?

b⊥ ?.

a

b

?

n
P m

2.3.1直线与平面 所成的角

讲授新课
一条直线PA和一个平面?相交,但不和这 个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线, 斜线和平面的交点A叫做斜足.

P

平面的斜线 斜足

?

A

讲授新课
1.直线和平面所成的角
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO, 过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射 影. 平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角. P 范围:[0o,90o].

?

O

A

(1)一条直线垂直于平面,我们就说它们所成的角为900, (2)一条直线和平面平行或在平面内,我们就说他们所成 的角为00角.

例1(1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,直线AB'与 面ABCD所成的角为 45 度; (2)在正方体ABCD-AB'C'D'中,直线BD'与ABCD 所成的角的余弦是 6 .
3

D'
1

A'

C'
3

B' C
B

A

D

2

例2 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求直线A'B和平 面A'B'CD所成的角. D' C' 解:连接BC'交B'C于O, A'B'⊥平面BB‘C'C, A' B' BC' ⊥A'B' O BC' ⊥B'C BC'⊥平面A'B'CD, 连接A'O, C D 则∠BA'O为直线A'B和 B 平面A'B'CD所成的角. A 一找 BO 1 在Rt△ A‘OB中, sin ?BA ' O ? ? , A ' B 2 二证 0 则∠BA'O=30 , 即直线A‘B和平面A’B‘CD所成的角为 三求

例2 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求直线A'B和平 面A'B'CD所成的角.

D'

C'

A'

B' O D C B

A

0 直线BB’ 和平面A’B’CD所成的角是 ________. 45

例3. 已知Rt△ABC的斜边BC ?? ,A∈ ?,两直角边 AB、AC与平面?分别成300、450角.AD⊥BC于D. (1)求AD与平面?所成的角 A (2)求AB与平面ADE所成角的正弦值 2 1 2 解(1):作AE ⊥ ?于E, 2 连接BE, DE, CE, 3 E 0 0 45 30 0 则∠ABE=30 , B C 0 D 6 则∠ACE=45 , ? 则∠ADE为直线AD和平面?所成的角. 设AE =1, 则AB =2, AC= 2 , 2 在Rt△ ABC中, BC= 6 , BC· , AD=AB· AC, AD ? 3 AE 3 sin ?ADE ? ? , ∠ADE∈[00,900], 则∠ADE=600, AD 2

例3. 已知Rt△ABC的斜边BC ?? ,A∈ ?,两直角边 AB、AC与平面?分别成300、450角.AD⊥BC于D. (1)求AD与平面?所成的角 A (2)求AB与平面ADE所成角的正弦值 2 1 2 解(2): 2 BD⊥AD 3 E 0 0 45 30 BD ⊥AE B C D 6 BD⊥平面ADE, ? 则∠BAD为直线AB和平面ADE所成的角. 在Rt△ ABD中, AD 3 6 cos ?ABD ? ? sin ?ABD ? . AB 3 3

课堂小结 1.直线与平面所成角的定义; 2.直线与平面所成角的范围; 3.直线与平面所成角的解题步骤。

本节课到此结束,请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢!
1.复习本节课内容; 2. P74: 9

3.小聚焦P95 : 9

再见!


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