2016_2017学年高中数学第1章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系课件新人教A版必修1_图文

第一章 §1.1 集 合

1.1.2 集合间的基本关系

学习 目标

1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系,并能正确判断. 2.了解Venn图的含义,会用Venn图表示两个集合间的关系. 3.了解空集的含义及其性质.

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知识梳理

自主学习

知识点一

Venn图

(1)定义:在数学中,经常用平面上封闭曲线的 内部 代表集合,这种图 称为Venn图,这种表示集合的方法叫做图示法. (2)适用范围:元素个数较少的集合. (3)使用方法:把 元素 写在封闭曲线的内部.

答案

知识点二

子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言

集合A中 任意一个 元素都是集合B中的 元素,就说这两个集合有 包含关系 ,称 集合A是集合B的子集

A ? B(或
B?A)

思考 符号“∈”与“?”有什么区别?
答 (1)“∈”是表示元素与集合之间的关系,比如1∈N,-1?N.

(2)“?”是表示集合与集合之间的关系,比如N?R,{1,2,3}?{3,2,1}.
(3)“∈”的左边是元素,右边是集合,而“?”的两边均为集合.
答案

知识点三

集合相等

如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A的子集(B?A),此时,集 合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B. 思考 答 (1)集合{0,1}与集合{(0,1)}相等吗? 不相等.前者是数集,有两个元素:0和1;后者是点集,只有一个元

素:数对(0,1). (2)集合{x∈R|-1<x<2}与集合{y∈R|-1<y<2}相等吗? 答 相等.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均 表示大于-1且小于2的所有实数,所以这两个集合相等.
答案

知识点四

真子集的概念 定义 如果集合 A?B ,但存在元 符号表示 图形表示

真子集 素 x∈B,且x?A ,称集合 A?B(或B?A) A是集合B的真子集

答案

知识点五

空集

(1)定义:不含任何元素的集合叫做空集.
(2)用符号表示为:?.

(3)规定:空集是任何集合的子集.
思考 {0},?与{?}之间有什么区别与联系?



{0} 是含有一个元素 0 的集合, ? 是不含任何元素的集合,因此有 子集的有关性质

??{0},而{?}是含有一个元素?的集合,因此有?∈{?}.

知识点六

(1)任何一个集合是它本身的 子集 ,即 A?A .

(2)对于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么 A?C .
答案 返回

题型探究

重点突破

题型一

有限集合的子集确定问题

例1


(1)写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;
子集为:?,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}.

真子集为:?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}.
(2)已知集合A满足{a,b}?A?{a,b,c,d},求满足条件的集合A.



由题意可知,A中一定有a,b,对于c,d可能没有,也可能有1个,

故满足{a,b}?A?{a,b,c,d}的A有:

{a,b},{a,b,c},{a,b,d}.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1 解

已知集合M满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5},求集合M及其个数.

当M中含有两个元素时,M为{2,3};

当M中含有三个元素时,M为{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5}; 当M中含有四个元素时,M为{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5}; 当M中含有五个元素时,M为{2,3,1,4,5}; 所以满足条件的集合 M 为 {2,3} , {2,3,1} , {2,3,4} , {2,3,5} , {2,3,1,4} , {2,3,1,5},{2,3,4,5},{2,3,1,4,5},集合M的个数为8.

解析答案

题型二

集合间关系的判定

例2 指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; 解 集合 A的代表元素是数,集合 B 的代表元素是有序实数对,故 A 与 B 之间无包含关系. (2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; 解 等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形, 故A?B.

解析答案

(3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; 解 B. 集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A?

(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.
解 由列举法知M={1,3,5,7,?},N={3,5,7,9,?},故N?M.

解析答案

例 3

1 4 1 已知集合 A={x|x=9(2k+1),k∈Z},B={x|x=9k± , k ∈ Z } ,则 9 )

集合 A,B 之间的关系为(

A.A?B

B.B?A

C.A=B

D.A≠B

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2

集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3n+1,n∈Z},

S={z|z=6m+1,m∈Z},则M,P,S之间的关系为( C )
A.S?P?M B.S=P?M

C.S?P=M D.S?P=M
解析 对于M:x=3k-2=3(k-1)+1,k∈Z,

对于P:y=3n+1,n∈Z,
∴M=P.

而z=6m+1=3· (2m)+1,m∈Z,
∴S?P=M,故选C.
解析答案

题型三

集合相等

例4 已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},若M=N,求a与b的值.

2 ? ? a = 2 a , a = b , ? ? 由题意得? 或? 2 ? ? ?b=b ?b=2a,

? ?a=1, ? ? ? 4 ?a=0, ?a=0, 解得? 或? 或? 1 ? ? ? ?b=0 ?b=1 b=2. ? ?

又a=0,b=0时,M={2,0,0}与集合的互异性矛盾,故舍去.
1 1 ∴a=0,b=1 或 a=4,b=2.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练 3

b 设 a, b∈R, 集合{1, a+b, a}={0, , b } , 则 b - a 等于 ( ) C a

A.1

B.-1

C.2
解析

D.-2
b 因为 a≠0,所以 a+b=0,所以a=-1,所以 b=1,a=-1.

故b-a=2.

解析答案

题型四 例5 解

由集合间的关系求参数范围问题

已知集合A={x|-3≤x≤4} ,B={x|2m-1<x<m+1} ,且B?A, ∵B?A,

求实数m的取值范围. (1)当B=?时,m+1≤2m-1,解得m≥2.
? ?-3≤2m-1, ? (2)当 B≠?时,有?m+1≤4, ? ? ?2m-1<m+1,

解得-1≤m<2,综上得{m|m≥-1}.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练4 解

已知集合A={x|1≤x≤2},集合B={x|1≤x≤a,a≥1}.

(1)若A?B,求a的取值范围; 若A?B,由图可知a>2.

(2)若B?A,求a的取值范围. 解 若B?A,由图可知1≤a≤2.

解析答案

易错点

忽略空集的特殊性致误 设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若N?M,求所有满足

例6

条件的a的取值集合.

易错警示

解析答案

跟踪训练5

设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,

a∈R},若B?A,求实数a的取值范围.

解析答案

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当堂检测

1

2

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5

1.集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数为( B ) A.4 解析 B.7 C.8 D.16 可知A={0,1,2},其真子集为:?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},

{1,2},即共有23-1=7(个).

解析答案

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5

2.设集合M={x|x>-2},则下列选项正确的是( A ) A.{0}?M 解析 B.{0}∈M C.?∈M D.0?M 选项B、C中均是集合之间的关系,符号错误;

选项D中是元素与集合之间的关系,符号错误.

解析答案

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5

3.若集合P={x|x≤3},则( D ) A.-1?P C.?∈P 解析 B.{-1}∈P D.{-1}?P

∵P={x|x≤3},

∴-1∈P,故{-1}?P,故答案为D.

解析答案

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4.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N*},则满足 条件A?C?B的集合C的个数为( D ) A.1 解析 B.2 C.3 D.4 A = {x|x2 - 3x + 2 = 0 , x∈R} = {1,2} , B = {x|0<x<5 , x∈N*} =

{1,2,3,4}. 因为A?C?B,所以根据子集的定义,集合C必须含有元素1,2,且可能含 有元素3,4,原题即求集合{3,4}的子集个数, 所以集合C的个数为22=4.故选D.

解析答案

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1 ,y=____. 5.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则实数x=____ 0 解析 因为A=B,所以x=0或y=0. 若x=0,则x2=0,此时集合B中的元素不满足互异性,舍去; 若y=0,则x=x2,得x=0(舍去)或x=1,此时A=B={0,1}. 所以x=1,y=0.

解析答案

课堂小结 1.对子集、真子集有关概念的理解

(1) 集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,即由 x∈A ,能推出
x∈B,这是判断A?B的常用方法.

(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”,因为
若A=?时,则A中不含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素.

(3) 在真子集的定义中, A 、 B 首先要满足 A?B ,其次至少有一个 x∈B ,
但x?A.

2.集合子集的个数 求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依次写出符 合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为:含 n个元素的集合有 2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集. 3.涉及字母参数的集合关系问题,注意数形结合思想与分类讨论思想的 应用.

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