2018版高中数学第一章统计1.2.2分层抽样与系统抽样学业分层测评

1.2.2 分层抽样与系统抽样
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.某牛奶生产线上每隔 30 分钟抽取一袋进行检验,该抽样方法记为①;从某中学的 30 名数学爱好者中抽取 3 人了解学业负担情况,该抽样方法记为②.那么( A.①是系统抽样,②是简单随机抽样 B.①是简单随机抽样,②是简单随机抽样 C.①是简单随机抽样,②是系统抽样 D.①是系统抽样,②是系统抽样 【解析】 对于①,因为每隔 30 分钟抽取一袋,是等间距抽样,故①为系统抽样;对 于②,总体数量少,样本容量也小,故②为简单随机抽样,故选 A. 【答案】 A 2.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著 差异, 拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查, 则最合理的抽样方法是( A.抽签法 C.分层抽样法 B.系统抽样法 D.随机数法 ) )

【解析】 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法. 【答案】 C 3. 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查, 为此将他们随机编号 1,2, ?, 960,则抽到的 32 人中,编号落入区间[1,480]的人数为( A.10 B.14 C.15 D.16 )

960 【解析】 由系统抽样的定义, 960 人中抽取 32 人, 共需均分成 32 组, 每组 =30(人), 32 480 区间[1,480]恰好含 =16(组), 故抽到的 32 人中, 编号落入区间[1,480]的人数为 16 人. 30 【答案】 D 4.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生 3 500 人,其中高三学生数是高一学生 1 数的两倍,高二学生数比高一学生数多 300 人,现在按 的抽样比用分层抽样的方法抽取 100 样本,则应抽取高一学生数为( A.8 B.11 ) C.16 D.10

【解析】 若设高三学生数为 x,则高一学生数为 ,高二学生数为 +300,所以有 x 2 2

x

x

1

x x 800 + + +300=3 500.解得 x=1 600,故高一学生数为 800.因此应抽取高一学生数为 = 2 2 100
8. 【答案】 A 5.为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取,必须要求 ( A.每层不等可能抽样 B.每层抽取的个体数相等 C. 每层抽取的个体可以不一样多, 但必须满足抽取 ni=n (i=1,2, ?, k)个个体. (其 中 i 是层数,n 是抽取的样本容量,Ni 是第 i 层中个体的个数,N 是总体的容量) D.只要抽取的样本容量一定,每层抽取的个体数没有限制 【解析】 A 不正确.B 中由于每层的容量不一定相等,每层抽同样多的个体数,显然 从整个总体来看,各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了,因此 B 也不正确.C 中对于 第 i 层的每个个体,它被抽到的可能性与层数无关,即对于每个个体来说,被抽取的可能性 是相同的,故 C 正确.D 不正确. 【答案】 C 二、填空题 6.某校高一年级有 900 名学生,其中女生 400 名,按男女比例用分层抽样的方法,从 该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为________. 45 x 【解析】 设男生抽取 x 人,则有 = ,解得 x=25. 900 900-400 【答案】 25 7.已知某商场新进 3 000 袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否达标,现采用系统抽样的方 法从中抽取 150 袋检查,若第一组抽出的号码是 11,则第六十一组抽出的号码为________. 3 000 【解析】 分段间隔为 =20,故抽到的号码为(k-1)×20+11.则第 61 组抽出号 150 码为 11+(61-1)×20=1 211. 【答案】 1 211 8.甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件,采用分层抽样的方法从中抽取一个 容量为 80 的样本进行质量检测. 若样本中有 50 件产品由甲设备生产, 则乙设备生产的产品 总数为________件. 【解析】 分层抽样中各层的抽样比相同.样本中甲设备生产的有 50 件,则乙设备生 产的有 30 件. 在 4 800 件产品中,甲、乙设备生产的产品总数比为 5∶3,所以乙设备生产的产品总 数为 1 800 件. )

Ni N

2

【答案】 1 800 三、解答题 9.某学校有 30 个班级,每班 50 名学生,上级要到学校进行体育达标验收.需要抽取 10%的学生进行体育项目的测验.请你制定一个简便易行的抽样方案.(写出实施步骤) 【解】 该校共有 1 500 名学生,需抽取容量为 1 500×10%=150 的样本.抽样的实施 步骤: 可将每个班的学生按学号分成 5 段,每段 10 名学生.用简单随机抽样的方法在 1~10 中 抽 取 一 个 起 始 号 码 l( 则 每 个 班 的 l,10 + l,20 + l,30 + l,40 + l)( 如 果 l = 6 , 即 6,16,26,36,46)号学生入样,即组成一个容量为 150 的样本. 10. 某公司共有职工 302 名, 其中老年职工 30 名, 中年职工 150 名, 青年职工 122 名. 为 了调查他们对工资改革的看法,从中抽取一个 60 人的样本.请写出抽样过程. 302 【解】 由题知,需用分层抽样法,由 得 5 余 2,故需从青年职工中随机剔除两名. 60 1 1 其中,老年职工应抽取 30× =6(名),中年职工抽取 150× =30(名),青年职工抽取 5 5 1 120× =24(名),具体方法为:(1)在老年职工 30 人中,分别编号为 01,02,?,30,(2) 5 分成 6 段,每段 5 人,即 01,02,?,05;06,07,?,10;?;26,27,?,30;(3)从第 一段中用随机法抽取一个数, 如 2, 则取出的所有数依次为 2,7,12,17,22,27.中年职工和青 年职工中抽取方法同此,即可抽出一个 60 人的样本. [能力提升] 1.某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法抽取一部分人做问卷调查,将 840 人按 1,2,?,840 随机编号,若在编号为[481,720]中抽取 8 人,则样本容量为( A.56 B.28 C.44 D.14 )

【解析】 因为在编号[481,720]中共有 720-480=240 人,又在[481,720]中抽取 8 人,所以抽样比应为 240∶8=30∶1,又因为单位职工共有 840 人,所以应抽取的样本容量 840 为 =28. 30 【答案】 B 2. 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查, 为此将他们随机编号为 1,2, ?, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入 区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽 到的人中,做问卷 B 的人数为( A.7 B.9 ) C.10 D.15

3

960 【解析】 系统抽样的分段间隔为 =30, 32 第 n 个抽到的编号为 9+(n-1)×30=30n-21, 11 7 由题意得 451≤30n-21≤750,解之得 15 ≤n≤25 , 15 10 又∵n∈Z,∴满足条件的 n 共有 10 个. 故选 C. 【答案】 C 3.一个总体中有 100 个个体,随机编号为 00,01,02,?,99,依编号顺序平均分成 10 个小组,组号分别为 1,2,3,?,10.现抽取一个容量为 10 的样本,规定如果在第 1 组中随 机抽取的号码为 m, 那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同. 若 m=6, 则在第 7 组中抽取的号码是________. 【解析】 由题意知第 7 组的数为“60~69”10 个数.由题意知 m=6,k=7.故 m+k =13,其个位数字为 3,即第 7 组中抽取的号码的个位数是 3,综上知第 7 组中抽取的数为 63. 【答案】 63 4.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加 其中的一组.在参加活动的职工中,青年人占 42.5%,中年人占 47.5%,老年人占 10%.登山 1 组的职工占参加活动总人数的 ,且该组中,青年人占 50%,中年人占 40%,老年人占 10%. 4 为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度, 现用分层抽样的方法从参加活动 的全体职工中抽取一个容量为 200 的样本. (1)在游泳组中,试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (2)在游泳组中,试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数. 【解】 (1)设登山组人数为 x,在游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别 为 a,b,c,则有

x×40%+3xb x×10%+3xc =47.5%, =10%;解得 b=50%,c=10%. 4x 4x

故 a=100%-50%-10%=40%,即在游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别 为 40%,50%,10%. 3 3 (2)在游泳组中,抽取的青年人人数为 200× ×40%=60;抽取的中年人人数为 200× 4 4 3 ×50%=75;抽取的老年人人数为 200× ×10%=15. 4

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