分数指数幂运算_图文

分数指数幂

探究点一 分数指数幂 问题 1 整数指数幂的运算性质有哪些?
答 (1)a · a =a
m n m

m

n

m+n



(2)(a ) =a ; a m-n (3) n =a (m>n,a≠0); a (4)(a· b)m=am· bm.

m· n

问题 2 零和负整数指数幂是如何规定的? 1 -n 0 0 答 规定:a =1(a≠0);0 无意义,a = n(a≠0). a

问题 3
5
10

根据 n 次方根的定义和数的运算,
5
2 5 2
10 5

得出以下式子,你能从中总结出怎样的规律? ① a = ?a ? =a = a (a>0); ② a8= ?a4?2=a4= a (a>0); ③ a = ? a ? =a = a
5
10
8 2

4

12

4 5

3 4 2 5

3 2

12 4 10 5

(a>0);
1 2

④ a = ?a ? =a = a (a>0).

1 ⑤ (a ) ? a, 则m ? ,? a ? a 2
m 2

问题 4 当根式的被开方数不能被根指数整除时, 根式是否也可以写成分数指数幂的形式?

3
2

能.例如
2 3 1 2

a = a (a>0); b= b (b>0); c = c (c>0).

4

5

5 4

即 a =a

n

m

m n

(a>0,m,n∈N ).

*

小结 我们规定正数的正分数指数幂的意义为
a = a (a>0,m,n∈N ).
m n

n

m

*

正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
? m n

即a =

1 a
m n

(a>0,m,n∈N ).

*

规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. 规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的, 分数指数幂只是根式的一种新的写法.

a = a (a>0,m,n∈N ) 1.正数的正分数指数幂的意义为: _________________________.
2.正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即
* = ( a >0 , m , n ∈ N ) m a __________________________ . an
r s a 3.a a =________(a>0,r,s∈Q).
? m n

m n

n

m

*

1

r s



rs a 4.(a ) =________(a>0,r,s∈Q). atbt 5.(ab)t=________( a>0,b>0,t∈Q).

r s

例 1 求下列各式的值:
?1? (1)100 ;(2)8 ;(3)9 ;(4) ? ? . ? 81?
? 1 2 2 3 3 2
? 3 4

解 (1)100 = ?10
2 3
2 3 3

1 2

1 2 2

? =10
3? 2 3

2?

1 2

=10.

(2)8 = ?2 ? = 2 =2 =4.
2

(3)9 = ?3
? 3 4

3 ? 2

3 ? 2 2

?

=3

3? 2?? ? ? ? ? 2?

1 =3 =27.
?3

3 ? 1 ? ? 3 ?4 4 (4)? ? = ?3 ? =3 =27. ? 81?

跟踪训练 1 求值: 1 -5 ? 16 ? (1) 25 ;(2)( ) ;(3)? ? . 2 ? 81?
? 1 2
? 3 4

解 (1) 25 = ?5

1 ? 2

1 ? 2 2

?

=5

1? ? 2?? ? ? ? 2?

1 =5 =5;
-1

1 -5 -1 -5 (-1)×(-5) (2)(2) =(2 ) =2 =32;
? 16 ? (3)? ? = ? ? ? 3? ? 81?
? 3 4

? 3? 4?? ? ? ? 2? ? 4?

? 2 ? 27 =? ? = . 8 ?3?

?3

例2

用分数指数幂的形式表示下列
2
1 2

各式(a>0): (1)a a;(2) a a.
解 (1)a a=a a = a = a .
2 2
2? 1 2 5 2

? ? ? ? (2) a a= ?a a ? = ? aa ? =? a ? = a . ? ? ? ?
1 2

1 2

1 2

3 2

1 2

3 4

跟踪训练 2 用分数指数幂的形式表示下列各式(x>0,y>0): (1) 2 2;(2) xy · ? xy? .
解 (1) 2 2= ?23
3
3
1 1 1 1 1 4 4 2 1 ? 1? ? 2 ? ?2 2 2 3 ] =? 2 3 ? =? 2 3 ? = 2 6 = 2 3 . 2 2 =[2·

3

3

2

3

?

? ?

? ?

? ?

? ?

(2) xy2· ? xy?3 =[xy2( xy) ] =(
5 7 1 x2 y2 ) 3

1 3 3

1 3 3 =(xy2x 2 y 2) 3=

x

1?

3 3 2? 2y 2



5 7 x6 y6

.

例3

计算下列各式 (式中字母都是正数 ).
1 1 ?? ? ? ?6a 2 b 3 ?? ?? 1 5 ? ? ?÷ ? ?3a 6 b 6 ? ? ? ?

? 2 1 (1) ? 2a 3 b 2 ? ?

? ?; ? ?

8 3 1 ? ? ? (2) ? m 4 n 8 ? .

? ?

? ?

解 (1)原式=4a;

m (2)原式= n3 .

2

例 4 化简下列各式:
7 3 (1) a 2
4 3

a ÷
1 3

?3

3

a

-8

3

3 -3 -1 a ÷ a a ;
15

? 3 ? 2 ÷ (2) 23 3 ?1-2 3 4b ? 2 ab ? a ?
a ? 8a b

? b ?× 3 ? a?

a.



1 (1)原式= a 6 ;

(2)原式=a.

1 例5.已知 t ? ,先化简再求值 8 1

t ?1
1 3

?

t ?1
1 3

t ?1 t ? t ? 1 t ?1
的值.

2 3

?
9 14

t ?t
1 3

3

例6.已知 x ? 2 ? 1 ,求

( x ? x ? 1)( x ? x ? 1)( x ? x ? 1)
的值.

1 2

1 4

1 2

1 4

1 2

x ? x ?1
2

例7.化简:
(1 ? 2
? 1 32

)(1 ? 2

?

1 16

)(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )

?

1 8

?

1 4

?

1 2

1 2 1? 2

1 ? 32


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