浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:空间几何体

浙江大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:空间几何体 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.ABCD 是正方形,PA⊥平面 AC,且 PA=AB,则二面角 A-PD-B 的度数为 A. 60 【答案】C 2.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )
0

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

(

)
0

B. 90

0

C. 120

0

D. 135

A.4 【答案】A

B.8

C.16

D.20

3.已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任一点 O ,OM 值为( A. ) B.

1 1 ? xOA ? OB ? OC 2 3

则x的

1 2

1 3

C.

1 6

D. 0

【答案】C 4.m 和 n 是分别在两个互相垂直的面α 、β 内的两条直线,α 与β 交于 l,m 和 n 与 l 既不垂直, 也不平行,那么 m 和 n 的位置关系是 A.可能垂直,但不可能平行 C.可能垂直,也可能平行 【答案】D ( ) B.可能平行,但不可能垂直 D.既不可能垂直,也不可能平行

5.已知三棱锥 S ? ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC ,

SA =3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为(
3 A. 4
【答案】D

)

5 B. 4

7 C. 4

3 D. 4

6.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题:

①若 m? ? , n // ? ,则 m ? n ③若 m // ? , n ? ? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是( A.①和② 【答案】A ) B.②和③

②若 ? / / ? , ? / /? , m? ? ,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

C.③和④

D.①和④

7.对于四面体 ABCD ,给出下列命题: ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是 ?BAD 的三条高线的交点; ③若分别作 ?ABC 和 ?ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所在直线异面; ④分别作出三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点; ⑤最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱. 其中正确命题的个数为( A.1 【答案】C 8.点 P(1,4,-3)与点 Q(3,-2,5)的中点坐标是( A.(4,2,2,) B.(2,1,1,) ) D.(4,-1,2,) C.(2,-1,2,) ) B.2 C.3 D.4

【答案】B 9.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( ) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 10.在棱柱中满足( ) B. 所有面都平行 D. 两对面平行,且各侧棱也相互平行 A. 只有两个面平行 C. 所有面都是平行四边形 【答案】D 11.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 E、F 分别为棱 DD1、BB1 上的动点,且 BF=D1E,设 EF 与 AB 所成角为 ? ,EF 与 BC 所成的角为 ? ,则 ? ? ? 的最小值为( )

A. 45 ? 【答案】C

B. 60 ?

C. 90 ?

D.无法确定 )


12.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm,则球的表面积是( A.8 ? cm 【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)


B.12 ? cm



C.16 ? cm



D.20 ? cm

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.如图,在空间四边形 OABC 中,已知 E 是线段 BC 的中点, G 是 AE 的中点,若

???? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? OA, OB, OC 分别记为 a, b, c ,则用 a, b, c 表示 OG 的结果为 OG ?
C

.

E G O A

B

【答案】

1? 1? 1? a? b? c 2 4 4
。 3 5 5

14.已知=(1?t,1?t,t),=(2,t,t) ,则|-|的最小值为 【答案】

15.棱长为 1 的正方体 【答案】1

ABCD? A1 B1C1 D1 中 A1C1 到面 ABCD 的距离为

.

16.已知 A(?1, 0) , B(2, 1) , C(1,

? 1) . 若将坐标平面沿 x 轴折成直二面角, 则折后

?BAC 的余弦值为 3 2, 【答案】 5
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BB1=BC,AC1⊥平面 A1BD,D 为 AC 的中点.

(1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)求证:B1C1⊥平面 ABB1A1; (3)在 CC1 上是否存在一点 E,使得∠BA1E=45°,若存在,试确定 E 的位置,并判断平面 A1BD 与 平面 BDE 是否垂直?若不存在,请说明理由. 【答案】(1)连结 AB1 与 A1B 相交于 M,则 M 为 A1B 的中点.连结 MD,又 D 为 AC 的中点, ∴B1C∥MD,

又 B1C?平面 A1BD,MD? 平面 A1BD,∴B1C∥平面 A1BD. (2)∵AB=B1B,∴平行四边形 ABB1A1 为正方形, ∴A1B⊥AB1.又∵AC1⊥平面 A1BD, ∴AC1⊥A1B,∴A1B⊥平面 AB1C1,∴A1B⊥B1C1. 又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥B1C1,

∴B1C1⊥平面 ABB1A1. (3)设 AB=a,CE=x,∵B1C1⊥A1B1,在 Rt△A1B1C1 中有 A1C1= 2a,同理 A1B1= 2a, ∴C1E=a-x, ∴A1E= 2a +(a-x) = x +3a -2ax,BE= a +x , ∴在△A1BE 中,由余弦定理得 2 2 2 BE =A1B +A1E -2A1B·A1E·cos45°,即 a +x =2a +x +3a -2ax-2 2a 3a +x -2ax·
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 , 2

∴ 3a +x -2ax=2a-x, 1 ∴x= a,即 E 是 C1C 的中点, 2 ∵D、E 分别为 AC、C1C 的中点,∴DE⊥AC1. ∵AC1⊥平面 A1BD,∴DE⊥平面 A1BD. 又 DE? 平面 BDE,∴平面 A1BD⊥平面 BDE. 0 18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90 . M 为 AB 的中点

(1)求证:BC//平面 PMD (2)求证:PC⊥BC; (3)求点 A 到平面 PBC 的距离. 【答案】 (1)因为 PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥BC. 0 由∠BCD=90 ,得 BC⊥DC.又 PD ? DC ? D , PD ? 平面 PCD, DC ? 平面 PCD,所以 BC⊥平面 PCD. 因为 PC ? 平面 PCD,所以 PC⊥BC. (2)如图,连结 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离 h. 0 0 因为 AB∥DC,∠BCD=90 ,所以∠ABC=90 .

1 ?1? 2 ? 1 . 2 1 1 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P ? ABC 的体积 V ? S ?ABC ?PD ? . 3 3 因为 PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC. 又 PD=DC=1,所以 PC ? 2 . 1 1 2 1 2 由 PC⊥BC, BC=1, ?PBC 的面积 S ?PBC ? 得 .由 V ? S?PBC h ? ? ? ? , h ? 2 . 得 h 3 3 2 3 2 因此点 A 到平面 PBC 的距离为 2 . 19.如图,在四面体 ABCD 中, CB ? CD , AD ? BD ,点 E , F 分别是 AB , BD 的中
从而由 AB=2,BC=1,得 ?ABC 的面积 S ?ABC ? 点.

(1)求证:平面 EFC ⊥平面 BCD ; (2)若平面 ABD ⊥平面 BCD ,且 AD ? BD ? BC ? 1 , 求三棱锥 B ? ADC 的体积. 【答案】 (1)∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点, ∴ EF ∥ AD . 又 AD ? BD ,∴

EF ? BD .

∵ CB ? CD ,∴ CF ? BD . ∵ CF ? EF ? F ,∴ BD ? 面 EFC . ∵ BD ? 面 BDC ,∴平面 EFC ? 平面 BCD . (2) ∵ 面 ABD ? 面 BCD ,且 AD ? BD , ∴ AD ? 面 BCD . 由 BD ? BC ? 1 和 CB ? CD ,得 ?BCD 是正三角形. 所以 S ?BCD ?

1 3 3 . ? 1? ? 2 2 4 1 3 3 ? ?1 ? 3 4 12
.

所以 VB ? ACD ?

20.如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,PD=DC=4,AD=2,E 为 PC 的 中点. (I)求证:AD⊥PC; (II)求三棱锥 P-ADE 的体积; (III)在线段 AC 上是否存在一点 M,使得 PA//平面 EDM,若存在,求出 AM 的长;若不存在,请 说明理由.

【答案】 (I)因为 PD⊥平面 ABCD. 所以 PD⊥AD.

又因为 ABCD 是矩形, 所以 AD⊥CD. 因为 PD ? CD ? D, 所以 AD⊥平面 PCD. 又因为 PC ? 平面 PCD, 所以 AD⊥PC. (II)因为 AD⊥平面 PCD,VP-ADE=VA-PDE, 所以 AD 是三棱锥 A—PDE 的高. 因为 E 为 PC 的中点,且 PD=DC=4, 所以 S ?PDE ? 又 AD=2, 所以 V A? PDE ?

1 1 ?1 ? S ?PDC ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? 4. 2 2 ?2 ?
1 1 8 AD ? S ?PDE ? ? 2 ? 4 ? . 3 3 3

(III)取 AC 中点 M,连结 EM、DM,

因为 E 为 PC 的中点,M 是 AC 的中点, 所以 EM//PA, 又因为 EM ? 平面 EDM,PA ? 平面 EDM, 所以 PA//平面 EDM. 所以 AM ?

1 AC ? 5. 2

即在 AC 边上存在一点 M,使得 PA//平面 EDM,AM 的长为 5 .

? 21. 如图, 直三棱柱 ABC -A'B'C' , BAC =90? ,AB =AC =? AA' , M ,N 分别为 A'B 和 B'C' 点
的中点

(1)证明: MN //平面A'ACC' ;

(2)若二面角 A'-MN -C 为直二面角,求 ? 的值 【答案】 (1)连结 AB',AC' ,由已知 ?BAC =90?,AB=AC 三棱柱 ABC -A'B'C' 为直三棱柱, 所以 M 为 AB' 中点.又因为 N 为 B'C' 中点 所以 MN //AC' ,又 MN ? 平面 A'ACC' AC' ? 平面 A'ACC' ,因此 MN //平面A'ACC' (2)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB,AC,AA' 为 x 轴, y 轴, z 轴建立直角坐标系 O-xyz , 如图所示

设 AA'=1, 则 AB =AC =? , 于是 A

?0,0,0? ,B ??,0,0? ,C ?0,?,0? ,A' ?0,0,1? ,B' ??,0,1?,C' ?0,?,1? ,

?? ?? 1? ?? ? ? ,0, ? ,N ? , ,1? ,设 m= ? x1 ,y1 ,z1 ? 是平面 A'MN 的法向量, ? 2 2? ? 2 2 ? 1 ?? ?? ????? ?? ?m?A'M =0, ? 2 x1 - 2 z1 =0 ? ? 由 ? ?? ???? 得? ,可取 m= ?1,-1,? ? ? ?m?MN =0 ? ? y + 1 z =0 ? ?2 1 2 1 ? ? 设 n= ? x2 ,y2 ,z2 ? 是平面 MNC 的法向量,
所以 M ?

? ? ? ? ???? ? ? n?NC =0, ?- 2 x2 + 2 y2 -z2 =0 ? ? 由 ? ? ???? ,可取 n= ? -3,-1,? ? ? 得? ? n?MN =0 ? ? y + 1 z =0 ? ?2 2 2 2 ? ?? ? 2 因为 A'-MN -C 为直二面角,所以 m? =0,即-3+ ? -1? ? ? -1? +? =0 ,解得 ? = 2 n
22.在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD // EF , EF // BC ,

BC ? 2 AD ? 4 , EF ? 3 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点.

(Ⅰ) 求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ) 求证: BD ? EG ; (Ⅲ) 求二面角 C ? DF ? E 的余弦值. 【答案】(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC ,∴ AD / / BC .

又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (Ⅱ) 解法 1 证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , 又 AE ? EB, EB ? EF ? E , EB, EF ? 平面 BCFE , ∴ AE ? 平面 BCFE . 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,则 DH ? 平面 BCFE . ∵ EG ? 平面 BCFE , ∴ DH ? EG . ∵ AD / / EF , DH / / AE ,∴四边形 AEHD 平行四边形, ∴ EH ? AD ? 2 , ∴ EH ? BG ? 2 ,又 EH / / BG, EH ? BE , ∴四边形 BGHE 为正方形, ∴ BH ? EG ,

又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD , ∴ EG ⊥平面 BHD . ∵ BD ? 平面 BHD , ∴ BD ? EG . 解法 2 ∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , BE ? 平面 AEB ,∴ EF ? AE , EF ? BE , 又 AE ? EB , ∴ EB, EF , EA 两两垂直. 以点 E 为坐标原点, EB, EF , EA 分别为 x, y , z 轴建立如图的空间直角坐标系.

由已知得, A (0,0,2) B (2,0,0) , ,

C (2,4,0) F (0,3,0) D (0,2,2) , , , G (2,2,0). ??? ? ??? ? ∴ EG ? (2,2,0) , BD ? (?2,2,2) ,
∴ BD ? EG ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 , ∴ BD ? EG . (Ⅲ)由已知得 EB ? (2,0,0) 是平面 EFDA 的法向量. 设平面 DCF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,∵ FD ? (0, ?1,2), FC ? (2,1,0) ,

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? ? FD ? n ? 0 ?? y ? 2 z ? 0 ? ∴ ? ??? ? ,即 ? ,令 z ? 1 ,得 n ? (?1, 2,1) . ? ?2 x ? y ? 0 ? FC ? n ? 0 ?
设二面角 C ? DF ? E 的大小为 ? , 则 cos ? ? cos ? n, EB ??

??? ?

?2 6 , ?? 6 2 6
6 . 6

∴二面角 C ? DF ? E 的余弦值为 ?


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