高中数学必修1-5知识点归纳及公式大全

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高一数学常用公式及结论

必修 1:

一、集合 1、含义与表示:(1)集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性

(2)集合的分类;有限集,无限集 (3)集合的表示法:列举法,描述法,图示法

2、集合间的关系:子集:对任意 x ? A,都有 x ? B ,则称 A 是 B 的子集。记作 A ? B

真子集:若 A 是 B 的子集,且在 B 中至少存在一个元素不属于 A,则 A 是 B 的真子集,

记作 A ? B

集合相等:若: A ? B, B ? A ,则 A ? B

?

3. 元素与集合的关系:属于? 不属于:?

空集: ?

4、集合的运算:并集:由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集,记为 A B 交集:由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集,记为 A B
补集:在全集 U 中,由所有不属于集合 A 的元素组成的集合叫补集,

记为 CU A 5.集合{a1, a2 , , an} 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1 个; 6.常用数集:自然数集:N 正整数集: N * 整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R
二、函数的奇偶性

1、定义: 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ,偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )(注意定义域)

2、性质:(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形; (2)偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形; (3)如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数; (4)如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数.

二、函数的单调性

1、定义:对于定义域为 D 的函数 f ( x ),若任意的 x1, x2∈D,且 x1 < x2 ① f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数
2、复合函数的单调性: 同增异减
三、二次函数 y = ax2 +bx + c( a ? 0 )的性质

1、顶点坐标公式: ???? ?

b , 4ac ? b2 2a 4a

???? ,

对称轴: x

?

? b ,最大(小)值: 4ac ? b2

2a

4a

2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f (x) ? a(x ? h)2 ? k(a ? 0) ;

(3)两根式 f (x) ? a(x ? x1)(x ? x2 )(a ? 0) .
四、指数与指数函数

1、幂的运算法则:

(1)a m ? a n = a m + n ,(2) a m ? a n ? a m?n ,(3)( a m ) n = a m n (4)( ab ) n = a n ? b n

(5)

? a ?n ?? ?b?

? an bn

(6)a 0 = 1 ( a≠0)(7) a ?n

?1 an

n
(8) a m

?

m an

?n
(9) a m

?

1

m an

2、根式的性质

(1) ( n a )n ? a .

(2)当 n 为奇数时, n an ? a ;

当 n 为偶数时,

n

an

?|

a

|?

?a, a ???a,

?0 a?

0

.

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4、指数函数 y = a x (a > 0 且 a≠1)的性质: (1)定义域:R ; 值域:( 0 , +∞)

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(2)图象过定点(0,1)

Y a>1

Y 0<a<1

1
X 0

1

0

X

5.指数式与对数式的互化: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
五、对数与对数函数

1 对数的运算法则:

(1)a b = N <=> b = log a N(2)log a 1 = 0(3)log a a = 1(4)log a a b = b(5)a log a N = N

(6)log a (MN) = log a M + log a N

(7)log

a

(

M N

) = log a M -- log a N

(8)log a N b = b log a N

(9)换底公式:log a N =

log b N log b a

(10)推论

logam

bn

?

n m

loga

b

(a

?

0 ,且 a

?1, m, n

?

0

,且 m

? 1, n

?1,

N ? 0).

(11)log a N =

1 log N a

(12)常用对数:lg N = log 10 N (13)自然对数:ln A = log e A (其中 e = 2.71828…)

2、对数函数 y = log a x (a > 0 且 a≠1)的性质: (1)定义域:( 0 , +∞) ; 值域:R

(2)图象过定点(1,0)

Y

a >1

Y 0<a<1

X 01

1

X

0

六、幂函数 y = x a 的图象:(1) 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .

a>1

0<a<1

a<0

例如: y = x 2

1
y ? x ? x2

y ? 1 ? x?1 x

七.图象平移:若将函数 y ? f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位, 得到函数 y ? f (x ? a) ? b 的图象; 规律:左加右减,上加下减
八. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 y ? N (1? p)x . 九、函数的零点:1.定义:对于 y ? f (x) ,把使 f (x) ? 0 的 X 叫 y ? f (x) 的零点。即

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y ? f (x) 的图象与 X 轴相交时交点的横坐标。

2.函数零点存在性定理:如果函数 y ? f (x) 在区间?a,b? 上的图象是连续不断的一条

曲线,并有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么 y ? f (x) 在区间 ?a,b? 内有零点,即存在 c ??a,b? ,

使得 f (c) ? 0 ,这个 C 就是零点。

3.二分法求函数零点的步骤:(给定精确度 ? )

(1)确定区间?a,b? ,验证

f

(a) ?

f

(b)

?

0

;(2)求

? a, b? 的中点

x1

?

a

?b 2

(3)计算 f (x1) ①若 f (x1) ? 0 ,则 x1 就是零点;②若 f (a) ? f (x1) ? 0 ,则零点

x0 ??a, x1 ? ③若 f (x1) ? f (b) ? 0 ,则零点 x0 ?? x1,b? ;

(4)判断是否达到精确度? ,若 a ? b ? ? ,则零点为 a 或 b 或 ?a,b? 内任一值。否

则重复(2)到(4)

必修 2:一、直线与圆

1、斜率的计算公式:k = tanα=

y2 x2

? ?

y1 x1

(α



90°,x

1≠x

2)

2、直线的方程(1)斜截式 y = k x + b,k 存在 ;(2)点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ,k 存在;

(3)两点式

y ? y1 y2 ? y1

?

x ? x1 x2 ? x1

( x1

?

x2 , y1

?

y2



;4)截距式

x ? y ? 1( a ? 0,b ? 0 ) ab

(5)一般式 Ax ? By ? c ? 0(A, B不同时为0)

3、两条直线的位置关系:
l1:y = k1 x + b1 l2:y = k 2 x + b2

重合

k1= k 2 且 b1= b2

平行 垂直

k1= k 2 且 b1≠ b2 k1 k 2 = – 1

l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 l2: A2 x + B2 y + C2 = 0
A1 ? B1 ? C1 A2 B2 C2
A1 ? B1 ? C1 A2 B2 C2
A1 A2 + B1 B2 = 0

? ? ? ? 4、两点间距离公式:设 P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 ),则 | P1 P2 | = x1 ? x2 2 ? y1 ? y2 2

5、点 P ( x 0 , y 0 )到直线 l :A x + B y + C = 0 的距离: d ? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2

7、圆的方程 标准方程

圆的方程 x 2+ y 2= r 2 (x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r 2

圆心 (0,0) (a,b)

半径 r r

一般方程

x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0

?? ? D ,? E ?? ? 2 2?

1 D2 ? E2 ? 4F 2

8.点与圆的位置关系

点 P(x0 , y0 ) 与圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系有三种若 d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在 圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.
9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d)
直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系有三种:

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d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .

10.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ; r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;
d ? r1 ? r2 ? 内切 ?1条公切线;
0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
11.圆的切线方程

(1)已知圆 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

①若已知切点 (x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

x0 x

?

y0 y

?

D(x0 ? 2

x)

?

E( y0 ? 2

y)

?

F

?

0.

当 (x0 , y0 ) 圆外时,

x0 x

?

y0

y

?

D(x0 ? 2

x)

?

E(

y0 ? 2

y)

?

F

?

0 表示过两个切点的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k(x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,注意不

要漏掉平行于 y 轴的切线.

③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线.

(2)已知圆 x2 ? y2 ? r 2 .

①过圆上的 P0 (x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ;

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1? k2

二、立体几何 (一)、线线平行判定定理:1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。 2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行。

4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (二)、线面平行判定定理

1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 2、若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。

(三)、面面平行判定定理:

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行。

(四)、线线垂直判定定理:

若一直线垂直于一平面,则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

(五)、线面垂直判定定理

1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。

2、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 (六)、面面垂直判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

(七).证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点;(2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行;(4)转化为线面垂直;(5)转化为面面平行.
(八).证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行.
(九).证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行;(3)转化为线面垂直.
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(十).证明直线与直线的垂直的思考途径

(1)转化为相交垂直;(2)转化为线面垂直;(3)利用三垂线定理或逆定理;

(十一).证明直线与平面垂直的思考途径

(1)转化为该直线与面内任一直线垂直;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;

(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;

(十二).证明平面与平面的垂直的思考途径

(1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直.

P

三、空间几何体

(一)、正三棱锥的性质

1、底面是正三角形,若设底面正三角形的边长为 a,则有 A

C

O
D

B

图形

外接圆半径

内切圆半径

面积

正三角形

A O

OA ? 3 a 3

OD ? 3 a 6

S ? 3 a2 4

BD
2、正三棱锥的辅助线作法一般是:

作 PO⊥底面 ABC 于 O,则 O 为△ABC 的中心,PO 为棱锥的高,

取 AB 的中点 D,连结 PD、CD,则 PD 为三棱锥的斜高,CD 为△ABC 的 AB 边上的高,

且点 O 在 CD 上。∴△POD 和△POC 都是直角三角形,且∠POD =∠POC = 90°

(二)、正四棱锥的性质

1、底面是正方形,若设底面正方形的边长为 a,则有 P

图形

外接圆半径 内切圆半径 面积

正方形

O

A OB = 2 a

a
OA =

2

2

B

S=a2 D

C O

B

E

A

2、正四棱锥的辅助线作法一般是:

作 PO⊥底面 ABCD 于 O,则 O 为正方形 ABCD 的中心,PO 为棱锥的高,取 AB 的中点 E,连结 PE、OE、OA,

则 PE 为四棱锥的斜高,点 O 在 AC 上。∴△POE 和△POA 都是直角三角形,且∠POE =∠POA = 90°

(三)、长方体

长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。

特殊地,若正方体的棱长为 a ,则这个正方体的一条对角线长为 3 a 。
(四)、正方体与球

1、设正方体的棱长为 a,它的外接球半径为 R1,它的内切球半径为 R2,则 3a ? 2R1, a ? 2R2

D1

C1

O

A1

B1

(五)几何体的表面积体积计算公式
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D A

C B

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1、圆柱: 表面积:2π R2 +2πRh 体积:πR?h

2、圆锥: 表面积:πR?+πRL 体积: πR?h/3 (L 为母线长)

3、圆台:表面积: ? r2 ? ? R2 ? ? (r ? R)l

体积:V=πh(R?+Rr+r?)/3

4、球:S 球面 = 4π R2

V 球 = 4 π R3 (其中 R 为球的半径) 3

5、正方体: a-边长, S=6a?,V=a?

6、长方体 a-长 ,b-宽 ,c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc

7、棱柱:全面积=侧面积+2X 底面积 V=Sh

8、棱锥:全面积=侧面积+底面积

V=Sh/3

9、棱台:全面积=侧面积+上底面积+下底面积

V

?

1 3

(s1

?

s 1? s 2? s )2h

四、三视图 1.投影:把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。

把在一束平行光线照射下形成的投影,称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面,可以分为斜投

影和正投影两种。

2、光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的正视图(也叫主视图);光线从几何

体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的俯视图;光线从几何体的左面向右面正投影,得到投

影图,这种投影图叫做几何体的侧视图(或左视图) 3、“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据. 画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。

必修 4

一、三角函数与三角恒等变换

1、三角函数的图象与性质

函数

正弦函数

余弦函数

正切函数

图象

定义域

R

值域 周期性 奇偶性
单调性
对称轴

[-1,1]



奇函数

增区间[- ? +2kπ , ? +2kπ ]

2

2

减区间[ ? +2kπ , 3? +2kπ ]

2

2

x = ? + kπ ( k∈Z ) 2

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R
[-1,1] 2π 偶函数 增区间[-π +2kπ , 2kπ ] 减区间[2kπ ,π +2kπ ] ( k∈Z )
x = kπ ( k∈Z )

{x| x≠ ? +kπ ,k∈Z} 2

R

π

奇函数

增区间

(- ? +kπ , ? +kπ )

2

2

( k∈Z )



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对称中心

( kπ ,0 ) ( k∈Z )

2、同角三角函数公式 sin 2α + cos 2α = 1 3、二倍角的三角函数公式

?
(

+ kπ

,0 )(

k∈Z

)

2

?
(k

,0 )

(

k∈Z

)

2

tan? ? sin? cos?

tanα cotα =1

sin2α = 2sinα cosα cos2α =2cos2α -1 = 1-2 sin2α = cos2α - sin2α

4、降幂公式 cos2 ? ? 1 ? cos2? 2
5、升幂公式 1±sin2α = (sinα ±cosα ) 2

sin 2 ? ? 1? cos2? 2
1 + cos2α =2 cos2α

tan 2? ? 2 tan? 1 ? tan2 ?
1- cos2α = 2 sin2α

6、两角和差的三角函数公式

sin (α ±β ) = sinα cosβ 土 cosα sinβ

cos (α ±β ) = cosα cosβ 干 sinα sinβ

tan??

?

?

?

?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

7、两角和差正切公式的变形:

tanα ±tanβ = tan (α ±β ) (1 干 tanα tanβ )

1 ? tan?
=

tan 45? ? tan?

?
= tan (



)

1 ? tan? 1? tan 45? tan?

4

8、两角和差正弦公式的变形(合一变形)

asin? ? bcos? ? a2 ? b2 sin?? ? ??

1 ? tan?
=

tan 45? ? tan?

=

tan

?
(



)

1 ? tan? 1? tan 45? tan?

4

(其中 tan? ? b ) a

9、半角公式: sin ? ? ? 1 ? cos?

2

2

c o s? ? ? 1 ? c o s?

2

2

tan ? ? ? 1 ? cos? ? sin? ? 1 ? cos? 2 1 ? cos? 1 ? cos? sin?

10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变,符号看象限。”

sin (π -α ) = sinα , cos (π -α ) = -cosα , tan (π -α ) = -tanα ;

sin (π +α ) = -sinα

cos (π +α ) = -cosα

tan (π +α ) = tanα

sin (2π -α ) = -sinα cos (2π -α ) = cosα

tan (2π -α ) = -tanα

sin (-α ) = -sinα

cos (-α ) = cosα

tan (-α ) = -tanα

sin

?
(

-α

)

=

cosα

2

cos

?
(

-α

)=

sinα

2

tan

?
(

-α

)

=

cotα

2

?
sin ( +α ) = cosα
2

?
cos (



)=

-sinα

2

?
tan (



)=

-cotα

2

11.三角函数的周期公式

函数 y ? sin(? x ??) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ??) ,x∈R(A,ω ,? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期T ? 2? ; ?

函数 y ? tan(? x ??) , x ? k? ? ? , k ? Z (A,ω ,? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期T ? ? .

2

?

二、平面向量

(一)、向量的有关概念

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2
1、向量的模计算公式:(1)向量法:| a | = a ? a ? a ;

(2)坐标法:设 a =(x,y),则| a | = x2 ? y2

2、单位向量的计算公式:

(1)与向量

a

=(x,y)同向的单位向量是

?? ?

?

x, x2 ? y2

y ?? ;

x2

?

y2

? ?

(2)与向量

a

=(x,y)反向的单位向量是

?? ?

?

?

3、平行向量

x, x2 ? y2

?

y ?? ;

x2

?

y2

? ?

规定:零向量与任一向量平行。设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),λ 为实数

向量法: a ∥ b ( b ≠ 0 )<=> a =λ b

坐标法: a ∥ b ( b ≠ 0 )<=> x1 y2 – x2 y1 = 0

<=>

x1 y1

?

x2 y2

(y1

≠0

,y 2

≠0)

4、垂直向量

规定:零向量与任一向量垂直。设 a =(x1,y1), b =(x2,y2)

向量法: a ⊥ b <=> a · b = 0

坐标法: a ⊥ b <=> x1 x 2 + y1 y 2 = 0

5.平面两点间的距离公式

d A,B = | AB |? AB ? AB ? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 (A (x1, y1) ,B (x2 , y2 ) ).
(二)、向量的加法 (1)向量法:三角形法则(首尾相接首尾连),平行四边形法则(起点相同连对角)

(2)坐标法:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a + b =(x1+ x2 ,y1+ y2)
(三)、向量的减法 (1)向量法:三角形法则(首首相接尾尾连,差向量的方向指向被减向量)

(2)坐标法:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a - b =(x1 - x2 ,y1- y2)

(3)、重要结论:| | a | - | b | | ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b |

(四)、两个向量的夹角计算公式:(1)向量法:cos? = a ? b | a || b |

(2)坐标法:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 cos? =

x1 x2 ? y1 y2

x12 ? y12

x

2 2

?

y

2 2

(五)、平面向量的数量积计算公式:(1)向量法: a · b = | a | | b | cos ?

(2)坐标法:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a · b = x1 x2 + y1 y2
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(3) a·b 的几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积.
(六).1、实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a;(2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 2.向量的数量积的运算律:(1) a·b= b·a (交换律);

(2)( ? a)·b= ? (a·b)= ? a·b= a·( ? b);(3)(a+b)·c= a ·c +b·c.
3.平面向量基本定理:如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有
且只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2.不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (七).三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1,y1)、 B(x2,y2 )、 C(x3,y3 ),则△ABC 的重心的坐

标是 G( x1 ? x2 ? x3 , y1 ? y2 ? y3 )

3

3

必修 5 一、解三角形:Δ ABC 的六个元素 A, B, C, a , b, c 满足下列关系:

1、角的关系:A + B + C = π ,

特殊地,若Δ ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列,则∠B = 60?,∠A +∠C = 120?

2、诱导公式的应用:sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC ,

sin ( A ? B ) = cos C , cos ( A ? B ) = sin C

22

2

22

2

3、边的关系:a + b > c , a – b < c(两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。)

4、边角关系:(1)正弦定理: a ? b ? c ? 2R (R 为Δ ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

a : b : c = sinA : sinB : sinC 分体型 a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC ,

(2)余弦定理:a 2 = b 2 + c 2 – 2bc?cosA ,

b 2 = a 2 + c 2 – 2a c?cosB ,

c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b?cosC

cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 , cos B ? a 2 ? c 2 ? b2 , cosC ? a 2 ? b2 ? c 2

2bc

2ac

2ab

5、面积公式:S =

1
ah=

1
ab sinC =

1
bc sinA =

1
ac sinB

2

2

2

2

二、数列 (一)、等差数列{ a n }

1、通项公式:a n = a 1 + ( n – 1 ) d ,推广:a n = a m + ( n – m ) d

( m , n∈N )

2、前

n

项和公式:S

n

=

n

a

1

+

1 2

n

(

n



1

)

d

=

n(a1 ? an ) 2

3、等差数列的主要性质 ① 若 m + n = 2 p,则 a m + a n = 2 a p(等差中项)( m , n∈N ) ② 若 m + n = p + q,则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N ) ③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等差数列,公差为 n d。 (二)、等比数列{ a n }1、通项公式:a n = a 1 q n – 1 ,推广:a n = a m q n – m 2、等比数列的前 n 项和公式:

( m , n∈N )

当 q≠1 时,S n =

a1 (1 ? q n ) = a1 ? an q

1? q

1? q



当 q = 1 时,S n = n a 1

3、等比数列的主要性质





m

+

n

=

2

p,则

a

2 p

=

a

m

?

a n(等比中项)( m , n∈N )

② 若 m + n = p + q,则 a m ? a n = a p ? a q ( m , n , p , q∈N )

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③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等比数列,公比为 q n。

(三)、一般数列{ a n }的通项公式:记 S n

= a1+ a 2+



+a

n

,则恒有 an

?

? ??S n

S1 ? Sn?1

?n

?n ? 1? ? 2, n ? N ?

三.数列求和方法总结:

1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).

2.非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和,

若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和.

注意(1):若数列的通项可分成两项之和(或三项之和)则可用(分组求和法)。

(2)若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和,采用(错位相减法).

过程:乘公比再两式错位相减

(3)若数列的通项可拆成两项之差,通过正负相消后剩有限项再求和的方法为(拆项相消法).

常见的拆项公式:1. 1 ? 1 ? 1 n(n ?1) n n ?1

2. 1 ? 1 (1 ? 1 ) n(n ? k) k n n ? k

3.

1

?1( 1 ? 1 )

(2n ?1)(2n ?1) 2 2n ?1 2n ?1

4.

1

? 1[ 1 ?

1

]

n(n ?1)(n ? 2) 2 n(n ?1) (n ?1)(n ? 2)

5.

1

? ( n?1? n)

n ? n?1

四.数列求通项公式方法总结:

1..找规律(观察法). 2..若为等差等比(公式法)

(四)4. 叠加法

5.叠乘法等

三、不等式

(一)、均值定理及其变式(1)a , b ∈ R ,

3.已知

Sn,用(Sn

法)即用公式

an

?

?S1 ??Sn

?

Sn?1

?n ?n

? 1? ? 2?

a2+ b2 ≥ 2ab

(2)a , b ∈ R + , a + b ≥ 2 ab

(3)a , b ∈ R + ,

ab



? a ? b ?2 ??

?2?

(4) 2 ? 1?1 ab

ab ? a ? b ? 2

a2 ? b2 2

,以上当且仅当 a = b 时取“ = ”号。

(二).一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax2 ? bx ? c 同号,则其解

集在两根之外;如果 a 与 ax2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. 设

x1 ? x2 (x ? x1)(x ? x2 ) ? 0 ? x1 ? x ? x2 ;
(三).含有绝对值的不等式:当 a> 0 时,有

(x ? x1)(x ? x2 ) ? 0 ? x ? x1,或x ? x2

x ? a ? x2 ? a 2 ? ?a ? x ? a .

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .

(四).指数不等式与对数不等式

(1)当 a ?1时, a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x) ;

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? f (x) ? 0 loga f (x) ? loga g(x) ? ??g(x) ? 0 .
?? f (x) ? g(x)
(2)当 0 ? a ?1时, a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x) ;

? f (x) ? 0

loga

f (x) ? loga

g(x) ?

? ?

g(x)

?

0

?? f (x) ? g(x)

(五). Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域: 直线定界,特殊点定域。

一.解一元二次不等式三部曲:1.化不等式为标准式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<O(a>0)。

2.计算△的值,确定方程ax2 ? bx ? c ? 0的根。

3.根据图象写出不等式的解集.

特别的:若二次项系数 a 为正且有两根时写解集用口决:(不等号)大于 0 取两边,小于 0 取中间
二.分式不等式的求解通法:

(1)标准化:①右边化零,②系数化正. (2)转 换:化为一元二次不等式(依据:两数的商与积同号)

常用的解分式不等式的同解变形法则为

(1)f (x) ? 0 ? f (x) ? g(x) ? 0 g(x)

(2) f (x) ? 0 ? f (x) ? g(x) ? 0且g(x) ? 0 g(x)

(3)f (x) ? a ? f (x) ? a ? 0,再通分

g(x)

g(x)

三.二元一次不等式 Ax+By+C>0(A、B 不同时为 0),确定其所表示的平面区域用口诀:同上异下
(注意:包含边界直线用实线,否则用虚线)
四.线性规划问题求解步骤:画(可行域)移(平行线)求(交点坐标,最优解,最值)答.

五 . 基 本 不 等 式 : a ? b ? ab(a ? 0, b ? 0) ( 当 且 仅 当 a=b 时 , 等 号 成 立 ) 2

变形(1)a ? b ? 2 ab(; 积定和最小):变形(2)ab ? ( a ? b)2(. 和定积最大) 2

利用基本不等式求最值应用条件:一正数

二定值

三相等

旧知识回顾:1. 求方程ax2 ? bx ? c ? 0的根方法:
(1)十字相乘法:左列分解二次项系数 a,右列分解常数项 c,交叉相乘再相加凑成一次项系数 b。

(2)求根公式:x1,2 ? ?b ?

b2 ? 4ac 2a

2.韦达定理:

若x 1

,

x2是方程ax2

?

bx

?

c

?

(0 a

?

0)的两根,则有x1

?

x2

?

?

b a

,

x 1

?

x2

?

c a

M

3.对数类:logaM+logaN=logaMN logaM-logaN=loga N logaMN=NlogaM(M.>0,N>0)

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