数列的通项(学生版)

数列通项的求法
一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目. 例 2.(2012 高考重庆文 16)已知 { a n } 为等差数列,且 a 1 ? a 3 ? 8 , a 2 ? a 4 ? 1 2 , (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)记 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 1 , a k , S k ? 2 成等比数列,求正整数 k 的值。

二、 S n 与 a n 的关系 若已知数列的前 n 项和 S n 与 a n 的关系,求数列 ?a n ? 的通项 a n 可用公式 a n ? ? 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若能合写时一定要合并 例 3. (2012 高考全国文 6)已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 1 ? 1 , S n ? 2 a n ? 1 ,,则 S n ? ( (A) 2 n ? 1 (B) ( )
2 3
n ?1

? S 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 ? S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2



(C) ( )
3

2

n ?1

(D)
2

1
n ?1

三、由递推式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也 用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型 1 递推公式为 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) 解法:把原递推公式转化为 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) ,利用迭加法(逐差相加法)求解。 例 4.已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ?
1 2

, a n ?1 ? a n ?

1 n
2

? n

,求 a n

类型 2 递推公式为 a n ? 1 ? f ( n ) a n 解法:把原递推公式转化为
a n ?1 an ? f ( n ) ,利用迭乘法(逐商相乘法)求解。

例 5.已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ?

2 3

, a n ?1 ?

n n ?1

a n ,求 a n 。

1

例 6.(2011 全国 I,理 15)已知数列{an},满足 a1=1, a n ? a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1 ) a n ? 1 (n≥2),则{an}的通 项 an ? ?
?1 ? ___
n ?1 n ? 2

类型 3 构造新数列 (1)递推公式为 a n ? 1 ? pa n ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1 ) ? 0 ) ) 。 解法: 用待定系数法把递推公式转化为:a n ? 1 ? t ? p ( a n ? t ) ,其中 t ? 例 7.已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ,求 a n .
q 1? p

,再用换元法转化为等比数列求解。

.
n (2)递推公式为 a n ? 1 ? pa n ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1 )( q ? 1 ) ? 0 ) ) 。
n (或 a n ? 1 ? p a n ? r q ,

其中 p,q, r 均为常数) 例 8.已知数列 ?a n ? 中, a 1 ?
5 6

, a n ?1 ?

1 3

an ? (

1 2

)

n ?1

,求 a n 。

(3) 递推公式为 a n ? 2 ? pa

n ?1

? qa n (其中 p,q 均为常数) 。 ? t ( a n ? 1 ? sa n )

解法:先把原递推公式转化为 a n ? 2 ? sa 其中 s,t 满足 ?
?s ? t ? p ? st ? ? q

n ?1

,再应用前面类型 3 的方法求解。
2 3 1 3

例 9. 已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a 2 ? 2 , a n ? 2 ?

a n ?1 ?

a n ,求 a n 。

2

(4)递推公式为: a n ? 1 ? pa n ? an ? b ( p ? 1、0 ,a

? 0)

解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 a n ? 1 ? x ( n ? 1 ) ? y ? p ( a n ? xn ? y ) ,与已知递推式比 较,解出 x , y ,从而转化为 ?a n ? xn ? y ? 是公比为 p 的等比数列。 例 10.(2006 山东文 节选)已知数列{ a n }中, a 1 ? (Ⅱ)求数列 ?a n ?的通项;
1 2 , 点 ( n , 2 a n ? 1 ? a n ) 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3….

(5)构造对数式或倒数式:有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解 决. 形如 a n ? 1 ? pa
r n

( p ? 0, a n ? 0)

这种类型一般是等式两边取对数后转化为 a n ? 1 ? pa n ? q ,再利用待定系数法求解
2 例 11. 设正项数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1 , a n ? 2 a n ? 1 (n≥2).求数列 ?a n ? 的通项公式.

例 7 形如 a n ? 1 ?

pa qa
n

n

? p

的递推式用倒数法。
an 2an ? 1

例 12.已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 2 , a n ? 1 ?

【跟踪训练】 1. (2011 四川理 8)数列 ? a n ? 的首项为 3 ,? b n ? 为等差数列且 b n ? a n ? 1 ? a n ( n ? N * ) .若则 b 3 ? ? 2 ,b1 0 ? 1 2 , 则 a8 ? ( A.0 ) B.3 C.8 D.11 )

2.(2011 江西理 5) 已知数列{ a n }的前 n 项和 S n 满足: S n ? S m ? S n ? m ,且 a 1 =1.那么 a 1 0 =(
3

A.1

B.9

C.10

D.55 )

3.(2011·四川文)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),则 a6=( A. 3 × 4 4 B. 3 × 4+1 4 C. 44 D. 44+1

4.数列{ a n }满足 a 1 =1, 3 a n ? 1 ? a n ? 7 ? 0 ,求数列{a n }的通项公式。

5.(2012 高考湖北理 18)已知等差数列 { a n } 前三项的和为 ? 3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a 3 , a 1 成等比数列,求数列 { | a n
|}

的前 n 项和.

6.(2012 高考全国文 18)已知数列 { a n } 中, a 1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a 2 , a 3 ; (Ⅱ)求 { a n } 的通项公式。

n? 2 3

an 。

n ?1 ? 1 ,n∈N ,且 a1,a2+5,a3 7..(2012 高考广东理 19 节选)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2 S n ? a n ? 1 ? 2



成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式.

2 * 8..(2012 高考广东文 19)设数列 ? a n ? 前 n 项和为 S n ,数列 ? S n ? 的前 n 项和为 T n ,满足 T n ? 2 S n ? n , n ? N .

(1)求 a 1 的值;

(2)求数列 ? a n ? 的通项公式.

4


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