浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:不等式

浙江大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:不等式 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.给出如下四个命题: ① x ? y ? z ?| xy |?| yz | ; ②a
2

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

x ? a2 y ? x ? y ;
a b ? c d;

a ? b, c ? d , abcd ? 0 ?


1 1 ? ? 0 ? ab ? b 2 ④a b .其中正确命题的个数是(
A.1 【答案】B B.2 C.3

) D.4

?x ? y ? 1 ? 2.设 x , y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 3x ? y 的最大值为( ? y ? ?2 ?
A. 5 【答案】C 3.下列命题中正确的是( A. y ? x ? ) B. 3 C. 7 D. -8

)

1 的最小值是 2 x
的最小值是 2

B.

y?

x2 ? 3 x2 ? 2

4 ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 x 4 D. y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 x
C. y ? 2 ? 3 x ? 【答案】C 4.若 log2x+log2y=3,则 2x+y 的最小值是( A. 4 2 【答案】B B.8 ) C.10 D.12

5.已知 a 、 b 、 c 、 d 都是正数, S ? ( A. 【答案】B 6.下列各式中,最小值等于 2 的是( ) 0< S <1 B.

a b c d ? ? ? ,则有 a?b?c a?b?d c?d ?a c?d ?b
C. ) 2< S < 3 D. 3< S <4

1< S <2

A.

x y ? y x

B.

x2 ? 5 x ?4
2

C. tan ? ?

1 tan ?

D. 2 ? 2
x

?x

【答案】D 7.已知 a= 0.3,b=20.3,c=0.30.2,则 a,b,c 三者的大小关系是( A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c 【答案】A 8.当 a<0 时,不等式 42x +ax-a <0 的解集为(
2 2

)

D.c>b>a )

a a a a A.{x| <x<- } B.{x|- <x< } 7 6 6 7 a 2a C.{x| <x<} D.空集 7 7
【答案】A 9.设 a, b, c, x, y, z 是正数,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 10 , x2 ? y 2 ? z 2 ? 40 , ax ? by ? cz ? 20 ,则

a?b?c ? ( x? y?z 1 A. 4

) B.

1 3

C.

1 2

D.

3 4
)
b

【答案】C 10.已知 a, b ? R ,下列四个条件中,使 a ? b 成立的必要而不充分的条件是( A. a ? b ? 1 【答案】A B. a ? b ? 1 C. | a | ? | b | D. 2 ? 2
a

11.今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量。当甲、乙两人为一方,丙、丁两 人为另一方时,双方势均力敌;当甲与丙对调以后,甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一 方;而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合。那么,甲、乙、丙、丁四人的“体力” 由强到弱的顺序是( A.丁、乙、甲、丙 C.丁、乙、丙、甲 【答案】A 12.已知 a,b∈R,下列不等式不成立的是( . A.a+b≥2 ab a+b 2 C.ab≤( ) 2 【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.给出下列命题:①a>b 与 b<a 是同向不等式;②a>b 且 b>c 等价于 a>c;③a>b>0,d>c>0, a b a b 2 2 则 > ;④a>b? ac >bc ;⑤ 2> 2? a>b.其中真命题的序号是 . c d c c 【答案】③⑤ 14.设 a, b ? R, a 【答案】1
2

) B.乙、丁、甲、丙 D.乙、丁、丙、甲 )

B.a +b ≥2ab D.|a|+|b|≥2 |ab|

2

2

? 2b 2 ? 6 ,则

b 的最大值是 a?3



15.若 | x ? a | ? 【答案】a≤2

1 1 ≥ 对一切 x>0 恒成立,则 a 的取值范围是 x 2



16.政府收购某种产品的原价格是 100 元/担,其中征税标准为每 100 元征 10 元(叫税率为 10 个百分点,即 10%) ,计划收购 a 万担,为了减轻农民负担,现决定将税率降低 x 个百分点, 预计收购量可增加 2 x 个百分点.要使此项税收在税率调节后不低于原计划的 83.2%,则 x 的 范围是 【答案】 0 ? x ? 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速 度 v (单位: 千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米) 的函数, 当桥上的的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v .

? x ? 的表达式;

(Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/每小时)

f ?x ? ? x ? v?x ? 可以达到最大,并求最大值(精确到 1 辆/小时).
【答案】(1)由题意,当 0 ? x ? 20 时, v

?x? ? 60 ;当 20 ? x ? 200 时,设 v?x? ? ax ? b

1 ? ?a ? ? 3 ? ?200a ? b ? 0 ? 由已知 ? ,解得 ? 200 . b? ?20a ? b ? 60 ? 3 ?

0 ? x ? 20 ?60 , ? 故函数 v?x ? 的表达式为 v?x ? ? ? 1 . ?200 ? x ? , 20 ? x ? 200 ?3 ? 0 ? x ? 20 ?60x , ? (2)由题意并由(1)可得 f ? x ? ? ? 1 ? 3 x?200 ? x ?, 20 ? x ? 200 ?
当 0 ? x ? 20 时,

f ?x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;
2

1 1 ? x ? ?200? x ?? 10000 当 20 ? x ? 200 时, f ?x ? ? x?200 ? x ? ? ? ? ? 3 , 3 3? 2 ?
当且仅当 x ? 200 ? x 即 x ? 100 时等号成立.

10000 . 3 10000 ? 3333 . 综上可知,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?0,200?上取得最大值. 3
所以当 x ? 100 时,

f ?x ? 在区间 ?20,200?上取得最大值

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时

a a?m < b b?m a a?m 【答案】证明:由 a,b,m 是正实数,故要证 < b b?m
18.已知 a,b,m 是正实数,且 a<b,求证: 只要证 a(b+m)<b(a+m) 只要证 am<bm, 而 m>0 只要证 ab+am<ab+bm 只要证 a<b,

由条件 a<b 成立,故原不等式成立。 19.设 a, b, c 均为正实数. (Ⅰ)若 a ? b ? c ? 1 ,求 a 2 ? b 2 ? c 2 的最小值; (Ⅱ)求证:

1 1 1 1 1 1 . ? ? ≥ ? ? 2a 2b 2c b ? c c ? a a ? b

【答案】 (Ⅰ) :因为 a, b, c 均为正实数,由柯西不等式得

?a

2

? b 2 ? c 2 (12 ? 12 ? 12 ) ? (a ? b ? c) 2 ? 1,当且仅当 a ? b ? c ?
1 3

?

1 时等号成立,∴ 3

a 2 ? b 2 ? c 2 的最小值为

(Ⅱ)∵ a, b, c 均为正实数,∴

1? 1 1 ? 1 1 ,当 a ? b 时等号成立; ? ?? ? ? 2 ? 2a 2b ? 2 ab a ? b



1? 1 1? 1 1 ,当 b ? c 时等号成立; ? ? ? ?? 2 ? 2b 2c ? 2 bc b ? c

1? 1 1 ? 1 1 ,当 c ? a 时等号成立; ? ? ? ?? 2 ? 2c 2a ? 2 ca c ? a
三个不等式相加得,

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? , 当且仅当 a ? b ? c 时等号成立。 2a 2b 2c b ? c c ? a a ? b
2

20.关于 x 的不等式 kx ? 6kx ? k ? 8 ? 0 的解集为空集,求实数 k 的取值范围. 【答案】 (1)当 k ? 0 时,原不等式化为 8<0,显然符合题意。 (2)当 k ? 0 时,要使二次不等式的解集为空集,则必须满足:

?k ? 0 ? 2 ?? ? (6k ) ? 4 ? k (8 ? k ) ? 0
综合(1)(2)得 k 的取值范围为
2

解得 0 ? k ? 1

?0,1? 。

21.已知函数 f(x)=ax +(b-8)x-a-ab,当 x∈(-3,2)时,f(x)>0,当 x∈(-∞,-3)∪ (2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; 2 (2)c 为何值时,ax +bx+c≤0 的解集为 R? 【答案】由题意知 f(x)的图像是开口向下,交 x 轴于两点 A(-3,0)和 B(2,0)的抛物线,对称轴

1 方程为 x=- (如图). 2

那么,当 x=-3 和 x=2 时, 有 y=0,代入原式得

? ?a=0, 解得? ? ?b=8,

? ?a=-3, 或? ? ?b=5.

?a=0, ? 经检验知? ? ?b=8,
2

不符合题意,舍去.

∴f(x)=-3x -3x+18. (1)由图像知,函数在[0,1]内单调递减, 所以,当 x=0 时,y=18,当 x=1 时,y=12. ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]. 2 (2)令 g(x)=-3x +5x+c, 要使 g(x)≤0 的解集为 R. 2 则需要方程-3x +5x+c=0 的判别式Δ ≤0, 25 即Δ =25+12c≤0,解得 c≤- . 12 25 2 ∴当 c≤- 时,ax +bx+c≤0 的解集为 R. 12 22.某种汽车的购车费用是 10 万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元,年维 修费用第一年是 0.2 万元,第二年是 0.4 万元,第三年是 0.6 万元,?,以后逐年递增 0.2 万 元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年 的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用 x( x ? N
?

) 年的维修费用为 g ( x) ,年平均费用为 ...

f ( x) .
(1)求出函数 g ( x) , f ( x ) 的解析式; (2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少? 【答案】 (1)由题意知使用 x 年的维修总费用为

g ( x) =

x ? 0.2 ? 0.2 x ? ? 0.1x ? 0.1x 2 万元 2 1 1 2 2 依题得 f ( x) ? [10 ? 0.9 x ? (0.1x ? 0.1x )] ? (10 ? x ? 0.1x ) x x 10 x 10 x ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 3 (2) f ( x ) ? x 10 x 10 10 x ? 当且仅当 即 x ? 10 时取等号 x 10 ? x ? 10 时 y 取得最小值 3 万元

答:这种汽车使用 10 年时,它的年平均费用最小,最小值是 3 万元.


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