专题05 函数的周期性和对称性 备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 Word版 含解析

【高考地位】 函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中,研究一个函数,首看定义域、值域, 然后就要研究对称性(中心对称、轴对称) ,并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性,以及它们之 间的联系。因此,我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。 【方法点评】 一、函数的周期性的判定及应用 使用情景:几类特殊函数类型 解题模板:第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形; 第二步 熟记常见结论,准确求出函数的周期性; (1)若函数 f ( x) 满足 f ( x ? a) ? f ( x ? a) ,则函数 f ( x) 的周期为 2 a ; (2)若函数 f ( x) 满足 f ( x ? a) ? ? f ( x) 或 f ( x ? a) ? 1 1 或 f ( x ? a) ? ? , f ( x) f ( x) 则函数 f ( x) 的周期为 2 a ; 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例 1 函数 定义域为 ,且对任意 ,都有 ,若在区间 上 则 A. B. C. D. ( ) 【答案】C 【变式演练 1】 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? ? f ( x) , f (3 ? x) ? f ( x) , 则 f (2019) ?( A. ? 3 【答案】B B. 0 C. 1 D. 3 ) 考点:函数周期性质 【变式演练 2】定义域为 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? ? x ? 1? ? f ? x ? 1? ,且 f ? ?1? ? 1 ,则 f ? 2017? ? ( A. 2 ) B. 1 C. -1 D. -2 【答案】C 【 解 析 】 f ? ? x ? 1? ? f ? x ? 1? ? f ? x ? ? f ? 2 ? x ? ? ? f ? ?x ? ? T ? 4 , 因 此 f ? 2017? ? f ?1? ? ? f ? ?1? ? ?1 ,选 C. 考点:函数的周期性. 【变式演练 3 】定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x ),且在 x ? [? 2, 0]上为增函数, 7 3 a ? f ( ) , b ? f ( ) , c ? f (log 1 8) ,则下列不等式成立的是( 2 2 2 A. a ? b ? c 【答案】B 【解析】 B. b ? c ? a C. b ? a ? c ) D. c ? a ? b 试题分析:因为定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 在 x ? [?2, 0] 上为增函数,所以在 x ? [0, 2] 上单调递减,又 1 3 7 ?1? f ( x ? 4) ? f ( x) ,所以 b ? f ( ) ? f ? ? , c ? f (log 1 8) ? f ? ?3? ? f ?1? ,又 ? 1 ? ,所以 b ? c ? a . 2 2 2 ?2? 2 考点:1.偶函数的性质;2.函数的周期性. 二、函数的对称性问题 使用情景:几类特殊函数类型 解题模板:记住常见的几种对称结论: 第一类 函数 f ( x) 满足 f ( x ? a) ? f ( b ? x) 时,函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 称; a?b 对 2 第二类 函数 f ( x) 满足 f ( x ? a) ? f (b ? x) ? c 时,函数 y ? f ( x) 的图像关于点 ( 称; a?b c , )对 2 2 第三类 函数 y ? f ( x ? a) 的图像与函数 y ? f (b ? x) 的图像关于直线 x ? b?a 对称. 2 ) 例 2 .已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? ? f ( x) , f (3 ? x) ? f ( x) ,则 f (2019) ? ( A. ? 3 【答案】B B. 0 C. 1 D. 3 例 3 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x? 的 图 象 关 于 点 ? ? ? 3 ? , 0 ? 对 称 , 且 满 足 f ? x? ? ? f ? 4 ? ) 3? ? ? x ? ? ,又 2? ? f ? ?1? ? 1, f ? 0? ? ?2 ,则 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? ... ? f ? 2008? ? ( A. 669 【答案】D 【解析】 试题分析:由 f ? x ? ? ? f ? x ? B. 670 C. 2008 D. 1 ? ? 3? ? 得 f ? x ? ? f ? x ? 3? ,又 f ? ?1? ? 1, f ? 0? ? ?2 , 2? ? 3 ? ? f (?1) ? f (?1 ? 3) ? f (2) , f (0) ? f (3) , f ? x ? 的图象关于点 ? ? , 0 ? 对称,所以 ? 4 ? 1 1 3 f ? ?1? ? ? f (? ) ? f (? ? ) ? f (1),? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 ,由 f ? x ? ? f ? x ? 3? 可得 2 2 2 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? ... ? f ? 2008? ? 669 ? ( f ?1? ? f ? 2? ? f ?3?) ? f (1) ? f (1) ? f (?1) ? 1 ,故选 D. 考点:函数的周期性;函数的对称性. 例 4 已知 y ? f ? 2x ?1? 为奇函数, y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 图像关于 y ? x 对称,若 x1 ? x2 ? 0 ,则 ) D. -1 g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ( A. 2 B. -2 C. 1 【答

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