《金识源》高中数学新人教A版必修5课件 1.1.2 余弦定理_图文

1.1.2 余弦定理 1.了解余弦定理的推导过程,掌握余弦定理及其推论. 2.能利用余弦定理解三角形,并判断三角形的形状. 余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 在△ABC 中, 符号语言 a2=b2+c2-2bccos A, b2=c2+a2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C 在△ABC 中, 推论 cos A= cos B= 作用 2 + 2 - 2 2 2 + 2 - 2 , , cos C= 2 2 + 2 - 2 2 解三角形、判断三角形的形状等 (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量,它们分别是三角 形的三边和一个角,知道其中的三个量,便可求得第四个量,即“ 知三求一”. (2)余弦定理适用的题型 : ①已知三边求三角,用余弦定理,有解时只有一解; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他的角,用余弦定理,必有一解. (3)余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理揭示 了任意三角形边角之间的客观规律,是解三角形的重要工具. 【做一做 1 】 在△ABC 中,a=4, b=4,C=30 ° ,则 c 等于( A.32-16 3 C.16 答案:A B.32+16 3 D.48 2 ) 【做一做 2 】 在△ABC 中,a=2, b=5,c=6,则 cos B 等于( 5 8 65 24 2 ). A. B. C. = . 5 8 19 20 D.- 7 20 解析:cos 答案:A a2+c2-b B= 2ac 1.确定三角形中三个内角的范围 剖析:由余弦定理,可得在△ABC 中,cos 2 2 2 b +c2-a2 A= . 2bc 2 2 2 2 若 A 为锐角,则 cos A>0,有 b +c -a >0,即 b +c >a ;若 A 为直角,则 cos A=0,有 b2+c2-a2=0,即 b2+c2=a2;若 A 为钝角,则 cos A<0,有 b2+c2-a2<0,即 b2+c2<a2. 因此可得 :A 为锐角?a2<b2+c2; A 为直角?a2=b2+c2; A 为钝角?a >b +c . 2 2 2 a2=b2+c2? △ABC 为直角三角形; a2>b2+c2? △ABC 为钝角三角形; a <b +c 2 2 2 △ABC 为锐角三角形. 说明 :a2<b2+c2 只能得到 cos A>0,即只能得到角 A 为锐角,但是不能保证其他 的角 B,C 也为锐角,所以不能得到 △ABC 为锐角三角形. 2.利用正弦定理、余弦定理求角的区别 剖析:如表所示 : 相同点 条 件 依 不 据 同 求 点 角 检 验 余弦定理 先求某种三角函数值再求角 已知三边 cos A= 2 + 2 - 2 2 正弦定理 已知两边一角 等 sin A= sin 等 解方程 cos A=m,A∈(0,π) y=cos x 在(0,π)上为减函数,解 方程所得的解唯一 解方程 sin A=m,A∈ (0,π) y=sin x 在(0,π)上先增后减,解方 程可能产生增根,需检验 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 已知两边及夹角解三角形 【例 1】 在△ABC 中,已知 a=2, b=2 2,C=15° ,解三角形. 分析:思路一 :可先用余弦定理求边 c,再用正弦定理求角 A. 思路二 :可先用余弦定理求边 c,再用余弦定理的推论求角 A. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解法一:cos 15° =cos(45 ° -30 ° )= sin 15° =sin(45° -30° )= 6- 2 . 4 6+ 2 , 4 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C =4+8-2 2× ( 6 + 2)=8-4 3, ∴ c= 6 ? 2. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 由正弦定理,得 sin A= sin C= a c 2 6- 2 × 6- 2 4 = . 1 2 又 0° <A<180 ° ,∴ A=30 ° 或 150 ° . 又 b>a,∴ B>A, ∴ 角 A 为锐角, ∴ A=30° .∴ B=180° -(A+C)=135° . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解法二:cos 15° =cos(45 ° -30 ° )= 6+ 2 , 4 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C =4+8-2 2× ( 6 + 2)=8-4 3,∴ c= 6 ? 2. ∴ cos b +c2-a2 A= 2bc 2 = 3 . 2 又 0° <A<180 ° ,∴ A=30 ° . ∴ B=180° -(A+C)=135° . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 已知两边及其夹角解三角形(此时有唯一解)的步骤 : 方法一 : ①利用余弦定理求出第三边; ②利用正弦定理求出另外一个角 ; ③利用三角形内角和定理求出第三个角. 方法二 : ①利用余弦定理求出第三边; ②利用余弦定理的推论求出另外一个角; ③利用三角形内角和定理求出第三个角. 此时方法一中②通常需要分类讨论,因此建议应用方法二解三角形. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型二 已知三边解三角形 【例 2】 在△ABC 中,已知 a=7, b=10,c=6,解三角形.(精确到 1° ) +2-2 A= 求解. 2bc 2 分析:已知三边求三角,用余弦定理的推论,如用 cos 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解:cos ∴ A≈44 ° . cos b +c2-a2 A= 2bc 2 = 102+62-72 =0.725, 2×10×

相关文档

【金识源】高中数学 1.1.2 余弦定理课件 新人教A版必修5
【金版学案】高中数学 1.1.2余弦定理名师课件 新人教A版必修5
最新高中数学 1.1.2余弦定理名师课件 新人教A版必修5
高中数学 1.1.2余弦定理名师课件 新人教A版必修5
高中数学 1.1.2 余弦定理名师课件 新人教A版必修5
高中数学 1.1.2余弦定理名师课件2 新人教A版必修5
高中数学 1.1.2 余弦定理名师课件2 新人教A版必修5
【金版学案】高中数学 1.1.3正、余弦定理综合名师课件 新人教A版必修5
高中数学 1.1.2余弦定理名师课件1 新人教A版必修5
高中数学 1.1.2 余弦定理名师课件1 新人教A版必修5
电脑版