人教A版高中数学必修四基础练习2.2.3向量数乘运算及其几何意义

课时提升作业(十八) 向量数乘运算及其几何意义 (15 分钟 一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1.若| A.2 B.-2 C.2 或-2 确定 【解析】选 C.当点 C 在线段 AB 上时,如图, D. 无 法 |=2| |且 =λ ,则λ =( ) 30 分) 则 =2 ,即λ =2.当点 C 在线段 AB 的延长线上时, =a+2b, =-4a-b, 与 的方向相反,故λ =-2. 2.四边形 ABCD 中, 形 ABCD 为( A.梯形 四边形 C.菱形 【解析】选 A.因为 = ) =-5a-3b,其中向量 a,b 不共线,则四边 B. 平 行 D.矩形 + + =a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b =2 ,故 AD∥BC 且|AD|=2|BC|, 故四边形 ABCD 为梯形. 3.(2015·全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点, A. =+ B. C. = + = =3 ,则( ) D. 【解析】选 A.由题知 = + = = + = + ( )== + . =( ) 【补偿训练】 已知 O, A, B 是平面上不共线的三点, 若点 C 满足 A. B. C. ( ) D. ( + ) + , 则向量 【解题指南】由于 O,A,B 是平面上不共线的三点,若点 C 满足 的中点. 【解析】选 D.由已知 又 所以 故2 = = = , + + = , + = , . = + , = ,可得 C 是 AB 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 4.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 =______(填正确的序号). ①③ + - ;②;④ = + . = ; 【解析】 答案:① - . 5.(2015·烟台高一检测)在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 =2 , = + λ ,则λ 的值为________. =2 + 得 =2( ), 【解析】由 即 = ,所以λ = . 答案: 【一题多解】本题还可以采用以下方法 因为 = = + ( + = + ) ,所以λ = . = + 答案: 【补偿训练】在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是边 CD 和 BC 的中点,且 ,其中λ ,μ ∈R,则λ +μ =________. 【解析】 故 故 == + = + = + , , = + AF, = + , , =λ +μ 故λ +μ = . 答案: 三、解答题 6.(10 分)(2015·萍乡高一检测)如图,平行四边形 ABCD 中, 点 N 在 BD 上,且 = ,求证:M,N,C 三点共线. =b, =a, M 为 AB 中点, 【证明】在△ABD 中, = - ,因为 =a, =b,所以 =b-a. 因为 N 点是 BD 的三等分点, 所以 因为 = = (b-a). = = (b-a)-b =b,所以 ① =- a- b. 因为 M 为 AB 中点,所以 所以 ==-( + ) = a, =- a-b. 由①②可得: = . ∥ ② 由共线向量定理知: 又因为 与 , 有公共点 C, 所以 C,M,N 三点共线. (15 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.已知向量 a,b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果 c∥d,那么( A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 【解析】选 D,因为 c∥d,所以存在实数λ ,使 c=λ d,所以 ka+b=λ (a-b), 所以 所以 k=λ =-1, ) 30 分) 所以 k=λ =-1 且 c 与 d 反向. 2.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O.E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交 于点 F,若 A. a+ b B. a+ b =a, =b,则 =( ) C. a+ b D. a+ b 【解题指南】根据两个三角形相似对应边成比例,得到 DF 与 FC 之比,作 FG 平行 BD 交 AC 于点 G,使用已知向量表示出要求的向量,得到结果. 【解析】选 D.由题意可得△DEF 与△BEA 相似,所以 所以 所以 所以 = = = .作 FG 平行 BD 交 AC 于点 G. = = + = , = = + = = b,因为 = + + = a+ b . = = ,再由 AB=CD 可得 = , = a,所以 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3. 若 y=________. 【解析】由 2y- a- c- b+ y+b=0,即 y- a- c+ b=0, 所以 y= 答案: a- b+ c. a- b + c + + =0, 若存在实数 m 使得 + =m 成立, 得 其中 a , c , b 为已知量,则未知量 4.已知在△ABC 中, 点 M 满足 则 m=________. 【解析】由点 M 满足 点.则 答案:3 三、解答题 = + + + =0,知点 M 为△ABC 的重心,设点 D 为底边 BC 的中 )= ( + ),所以 m=3. = × ×( 5.(10 分)(2015·宿州高一检测)已知非零向量 e1,e2 不共线, (1)如果 =e1+e2, =2e1+8e2, =3(e1-e2), 求证:A,B,D 三点共线. (2)欲使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线,试确定实数 k 的值. 【解题指南】对于(1),欲证 A,B,D 共线,只需证存在实数λ ,使 (2),若 ke1+e2 与 e1+ke2 共线,则一定存在λ ,使 ke1+e2=λ (e1+ke2). 【解析】(1)因为 所以 与 =e1+e2, = + =2e1+8e2+3e1-3

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