课堂新坐标高考数学理二轮复习专题课件2.2三角恒等变换与解三角形_图文

第二讲 三角恒等变换与解三角形 2 1.(倍角公式)(2013· 课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α= 3 ,则 cos 2 ? π? ?α+ ?=( 4? ? ) 1 B.3 2 D.3 1 A.6 1 C.2 【解析】 ? π? 2 2 ∵sin 2α=3,∴cos ?α+4?= ? ? ? π ? 1+cos?2α+ 2 ? ? ? 2 2 1-sin 2α 1-3 1 = = = . 2 2 6 【答案】 A 2.(正弦定理与和角公式)(2013· 陕西高考)设△ABC的内 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos asin A,则△ABC的形状为( A.直角三角形 C.钝角三角形 ) B.锐角三角形 D.不确定 C+ccos B= 【解析】 由正弦定理,及bcos C+ccos B=asin A,得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin2A, π ∴sin A=1,得A=2(由于0<A<π), 故△ABC是直角三角形. 【答案】 A 3.(正弦定理)在△ABC中,若∠A=60° ,∠B=45° , BC=3 2,则AC=________. AC BC 【解析】 在△ABC中,sin B=sin A, BC· sin B ∴AC= sin A =2 3. 【答案】 2 3 4.(余弦定理的应用)(2013· 福建高考)如图 2-2-1,在 2 2 △ABC 中, 已知点 D 在 BC 边上, AD⊥AC, sin∠BAC= , 3 AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 【解析】 ∵sin∠BAC=sin(90° +∠BAD)=cos∠BAD= 2 2 , 3 ∴在△ABD 中,有 BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD, 2 2 ∴BD =18+9-2×3 2×3× 3 =3, 2 ∴BD= 3. 【答案】 3 5. (三角恒等变换)(2013· 重庆高考改编)4cos 50° -tan 40° =________. sin 40° 【解析】 4cos 50° -tan 40° =4sin 40° -cos 40° 4sin 40° cos 40° -sin 40° 2sin 80° -sin 40° = = cos 40° cos 40° sin 80° +sin?60° +20° ?-sin?60° -20° ? = cos 40° sin 80° +2cos 60° sin 20° sin 80° +sin 20° = = cos 40° cos 40° sin?50° +30° ?+sin?50° -30° ? = cos 40° 2sin 50° cos 30° cos 40° = = 3. cos 40° = 3· cos 40° 【答案】 3 (2013· 湖南高考)已知函数 ? π? 2x ? ? cos x-3 ,g(x)=2sin . 2 ? ? ? π? f(x) = sin ?x-6? + ? ? 3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α)= 5 , 求 g(α)的值; (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 【思路点拨】 (1)利用和(差)角、倍角公式将 f(x)、g(x) 化简,沟通二者联系;(2)由 f(x)≥g(x),化为“一角一名称” 的三角不等式,借助三角函数的图象、性质求解. 【自主解答】 ? ? π? π? f(x)=sin?x-6?+cos?x-3? ? ? ? ? 3 1 1 3 = 2 sin x-2cos x+2cos x+ 2 sin x = 3sin x, g(x)=2sin 2=1-cos x. 3 3 3 (1)由 f(α)= 得 sin α= . 5 5 又 α 是第一象限角,所以 cos α>0. 4 1 从而 g(α)=1-cos α=1- 1-sin α=1- = . 5 5 2 2x (2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1-cos x, 即 3sin x+cos ? π? 1 x≥1,于是sin?x+6?≥ , ? ? 2 π π 5π 从而2kπ+6≤x+6≤2kπ+ 6 ,k∈Z, 2π 即2kπ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z. 故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ+ 2π 3 ,k∈Z}. 1.(1)注意角之间的关系,灵活运用和(差)、倍角公式 化为“同角x”的三角函数,这是解题的关键;(2)重视三角 函数图象,性质在求角的范围中的应用,由图象的直观性、 借助周期性,整体代换可有效避免错误. 2.进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变 结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用. 变式训练1 ? π? 1 已知sin α= +cos α,且α∈?0,2?. 2 ? ? cos 2α 求 π 的值. sin?α- ? 4 1 【解】 依题意得sin α-cos α= , 2 1 3 所以1-2sin αcos α= ,2sin αcos α= . 4 4 7 则(sin α+cos α) =1+2sin αcos α=4. 2 π 7 由0<α< ,知sin α+cos α= >0. 2 2 cos2α-sin2α cos 2α 所以 π= 2 sin?α- ? ?sin α-cos α? 4 2 14 =- 2(sin α+cos α)=- 2 . (2013· 山东高考)设△ABC的内角A,B,C所对的 7 边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=9. (1)求a,c的值; (2)求sin(A-B)的值. 【思路点拨】 (1)由余弦定理,得关于a,c的方程,与 a+c=6联立求解;(2)依据正弦定理求sin A,进而求cos A, si

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