2.1.2指数函数及其性质(二) 新课标高中数学人教A版必修一 教案

2.1.2 指数函数及其性质(二)
(一)教学目标 1.知识与技能: (1)理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质. (2)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.过程与方法: 展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质. 3.情感、态度与价值观 (1)让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. (2)培养学生观察问题,分析问题的能力.
(二)教学重点、难点 1.教学重点:指数函数的概念和性质及其应用. 2.教学难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用.
(三)教学方法 采用观察、分析、归纳、抽象、概括,自主探究,合作交流的教学方法,利用多媒体教
学,使学生通过观察图象,总结出指数函数的性质,调动学生参与课堂教学的主动性和积极 性.从而培养学生的观察能力,概括能力. (四)教学过程

教学

教学内容

师生互动

设计意图

环节

复习

复习指数函数的概念和图象.

1.指数函数的定义

引入 一般地,函数 y ? ax( a >0 且 a ≠1)叫做指数

函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R.
2.指数函数的图象

生:复习回顾 师:总结完善

复习 旧知,为 新课作铺 垫.

问题:根据函数的图象研究函数的定义域、

值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶

性.

形成

图象特征

师:引导学生观察指数函数的图 通 过

概念

a >1

0< a <1

向 x 轴正负方向无限延伸

图象关于原点和 y 轴不对称

函数图象都在 x 轴上方

函数图象都过定点(0,1)

自左向右,

自左向右,

图象逐渐上升

图象逐渐下降

在第一象限内的图 在第一象限内的图

象,归纳出图象的特征.

分析图

生:从渐进线、对称轴、特殊点、 象,得到

图象的升降等方面观察指数函 图 象 特

数的图象,归纳出图象的特征. 征,为进

师:帮助学生完善.

一步 得

到指数函

数的性质

作准备.

象纵坐标都大于 1 象纵坐标都小于 1

在第二象限内的图 在第二象限内的图

象纵坐标都小于 1 象纵坐标都大于 1

概念

函数性质

生:从定义域、值域、定点、单 获得指数

a >1

0< a <1

调性、范围等方面研究指数函数 函数的性

深化

函数的定义域为 R 非奇非偶函数

的性质.

质.

师:帮助学生完善.

函数的值域为 R+

a0 =1

增函数

减函数

x >0, a x >1

x >0, a x <1

x <0, a x <1

x <0, a x >1

师:画出几个提出问题.

明确底数

问题:指数函数 y ? ax ( a >0 且 a ≠1),
当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.

生:画出几个底数不同的指数函
数图象,得到指数函数 y ? ax ( a >0 且 a ≠1),当底数越大

是确定指 数函数的 要素.

时,在第一象限的函数图象越高.

(底大图高)

应用 举例

例 1 求下列函数的定义域、值域
1
(1) y ? 0.3x?1
(2) y ? 3 5x?1

课堂练习(P64 2)

例 1 分析:此题要利用指数 掌 握

函数的定义域、值域,并结合指 指数函数

数函数的图象.

的应用.

解:(1)由 x ?1 ? 0 得 x ?1

所以函数定义域为

{x | x ? 1}.
由 1 ? 0得 y ?1, x ?1
所以函数值域为

{y | y ? 0且y ? 1}.
(2)由 5x ?1? 0得 x ? 1 5
所以函数定义域为
{x | x ? 1}. 5
由 5x ?1 ? 0得 y ?1,

所以函数值域为

{y | y ? 1}.

例 2(P62 例 7)比较下列各题中的个值的大 小

例 2 解法 1:用数形结合

(1)1.72.5 与 1.73

的方法,如第(1)小题,用图

形计算器或计算机画出

( 2 ) 0.8?0.1 与 0.8?0.2
( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1

y ? 1.7x 的图象,在图象上找出
横坐标分别为 2.5, 3 的点,显然, 图象上横坐标就为 3 的点在横 坐标为 2.5 的点的上方,所以
1.72.5 ? 1.73 .
解法 2:用计算器直接计
算:1.72.5 ? 3.77

1.73 ? 4.91

所以,1.72.5 ? 1.73

解法 3:由函数的单调性 考虑

因为指数函数 y ? 1.7x 在

R 上是增函数,且 2.5<3,所以,

1.72.5 ? 1.73

课堂练习:

仿照以上方法可以解决 第(2)小题 .
注:在第(3)小题中, 可以用解法 1,解法 2 解决,但 解法 3 不适合 .
由于 1.70.3=0.93.1 不能直接 看成某个函数的两个值,因此, 在这两个数值间找到 1,把这两 数值分别与 1 比较大小,进而比 较 1.70.3 与 0.93.1 的大小 .
练习答案

1. 已 知 a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8,

1. 1.20.8 ? 0.80.7 ? 0.80.9 ;

2. 当 a ?1时,

按大小顺序排列 a, b, c ;

1

1

2. 比较 a3与a 2的大小( a >0 且 a ≠0).

11
则 a3 <a 2 .

当 0 ? a ?1时,

1

1

则a3 ? a2 .

分析:可以先考试一年一

年增长的情况,再从中发现规

律,最后解决问题:

例 3(P63 例 8)截止到 1999 年底,我们

1999 年底

人口哟 13 亿,如果今后,能将人口年平均均增 为 13 亿

人口约

长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口

经过 1 年

人口约

数最多为多少(精确到亿)?

为 13(1+1%)亿

经过 2 年

人口约

为 13 ( 1+1% )( 1+1% )

=13(1+1%)2 亿

经过 3 年

人口约



13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿

经过 x 年 为 13(1+1%) x 亿

人口约

经过 20 年

人口约

为 13(1+1%)20 亿

解:设今后人口年平均增

长率为 1%,经过 x 年后,我国 人口数为 y 亿,则

y ? 13(1?1%)x

当 x =20 时 ,

y ? 13(1?1%)20 ? 16(亿)

答:经过 20 年后,我国人

口数最多为 16 亿. 小结:类似上面此题,设
原值为 N,平均增长率为 P,则
对于经过时间 x 后总量 y ? N (1? p)x , 像y ? N (1? p)x 等形如y ? kax (K ? R ,a >0 且 a ≠1)的函数称为指
数型函数 .

归纳

本节课研究了指数函数性质及其应用,关

总结 键是要记住 a >1 或 0< a <1 时 y ? ax 的图
象,在此基础上研究其性质 . 本节课还涉及到指数型函数的应用,形如

学生先自回顾反思,教师点 评完善.

形成知 识体系.

y ? kax (a>0 且 a ≠1).

课后 作业:2.1 第五课时 习案 作业

学生独立完成

巩固新知 提升能力

备选例题

例 1 求下列函数的定义域与值域
1
(1) y ? 2 x?4 ; (2) y ? ( 2)|x| ;
3 (3) y ? 4 x ? 2 x?1 ? 1 ;

【分析】由于指数函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 的定义域是 R ,所以函数 y ? a f (x)

( a ? 0 且 a ? 1)与函数 f (x) 的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域.

【解析】(1)令 x ? 4 ? 0, 得 x ? 4

?定义域为{x | x ? R, 且 x ? 4}.

?

1

1
? 0,? 2 x?4 ? 1,

x?4

1
∴ y ? 2 x?4 的值域为{y | y ? 0, 且 y ? 1} . (2)定义域为 x ? R . ?| x | ≥0, ? y ? ( 2)|x| ? ( 3)|x| ≥ ( 3)0 ? 1
3 22 故 y ? ( 2)|x| 的值域为{y | y ≥1} .
3 (3)定义域为 x ? R .
y ? 4x ? 2x?1 ?1
? (2x )2 ? 2 ? 2x ?1 ? (2x ?1)2,
且 2x ? 0,? y ? 1.
故 y ? 4x ? 2 x?1 ? 1的值域为{y | y ? 1} .
【小结】求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的 要求,并利用好指数函数的单调性.
例 2 用函数单调性定义证明 a>1 时,y = ax 是增函数. 【解析】设 x1,x2∈R 且 x1<x2,并令 x2 = x1 + h (h>0,h∈R), 则有 a x2 ? a x1 ? a x1?h ? a x1 ? a x1 (a h ?1) ,
∵a>1,h>0,∴ a x1 ? 0, a h ? 1, ∴ a x2 ? a x1 ? 0 ,即 a x1 ? a x2 故 y = ax (a>1)为 R 上的增函数, 同理可证 0<a<1 时,y = ax 是 R 上的减函数.


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