安徽省铜陵十五中2015届高考数学模拟试卷(少年班)

安徽省铜陵十五中 2015 届高考数学模拟试卷(少年班)
一、填空题(共 9 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 1.已知实数 x,y 满足; ﹣ =3,y +y =3,则
4 2

的值为.

2.设 a=

,b 是 a 的小数部分,则(b+2) 是.

2

3

3.如图,四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形,点 C、D 在边 AB 上,且 AC=DB=1,点 P 是线段 CD 上的动点, 分别以 AP、 PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 AMNP 和正方形 BRQP, E、F 分别为 MN、QR 的中点,连接 EF,设 EF 的中点为 G,则当点 P 从点 C 运动到点 D 时,点 G 移动的路径长为.

4.已知 x,x 都为整数,且满足( + ) ( 个.

+

)=﹣ (



) ,则 x+y 的可能值有

5.已知 P 为等腰△ ABC 内一点,AB=BC,∠BPC=108°.D 为 AC 的中点,BD 与 PC 交于 点 E,如果 P 为△ ABE 的内心,则∠PAC 的度数是. 6.如图,在△ ABCAB=7,AC=11,点 M 是 BC 的中点,AD 是∠BAC 的平分线,MF∥AD, 则 FC 的长为.

7.将 1、2、3、4、5 这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个 数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有.

8.对任意实数 x、y、z 定义运算“*”:x*y= *z,则:2013*2012*…*3*2 的值为.

;且 x*y*z=(x*y)

9.已知正整数 a,b,c 满足 a+b ﹣2c﹣2=0,3a ﹣8b+c=0,则 abc 的最大值为.

2

2

二、解答题(共 3 小题,满分 0 分) 10.在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx+b+2(k≠0)的图象与 x 轴、y 轴的正半轴分别交 于 A,B 两点,且使得△ OAB 的面积值等于|OA|+|OB|+3. (1)用 b 表示 k; (2)求△ OAB 面积的最小值. 11.设 a,b,c 是素数,记 x=b+c﹣a,y=c+a﹣b,z=a+b﹣c,当 z =y, b,c 能否构成三角形的三边长?证明你的结论.
2



=2 时,a,

12.如图,在矩形 ABCD 中,AD=8,直线 DE 交直线 AB 于点 E,交直线 BC 于 F,AE=6. (1)若点 P 是边 AD 上的一个动点(不与点 A、D 重合) ,PH⊥DE 于 H,设 DP 为 x,四 边形 AEHP 的面积为 y,试求 y 与 x 的函数解析式; (2)若 AE=2EB. ①求圆心在直线 BC 上,且与直线 DE、AB 都相切的⊙O 的半径长; ②半径为 4,圆心在直线 DF 上,且与矩形 ABCD 的至少一边所在直线相切的圆共有多少 个?(直接写出满足条件的圆的个数即可)

安徽省铜陵十五中 2015 届高考数学模拟试卷(少年班)
参考答案与试题解析

一、填空题(共 9 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 1.已知实数 x,y 满足; ﹣ =3,y +y =3,则
4 2

的值为



考点: 函数的零点与方程根的关系;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用已知条件求出 x ,y 的值,代入求解即可. 解答: 解: ﹣ =3,可得 3x +2x ﹣4=0,解得 x =
4 2 2 2 2



y +y =3,解得:y =

4

2

2



=

=

= 故答案为:

= .

点评: 本题考查有理指数幂的运算,函数的零点与方程的根的关系,基本知识的考查.
2 3

2.设 a=

,b 是 a 的小数部分,则(b+2) 是 9.

考点: 二项式系数的性质. 专 题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据已知,表示出 b 的值,即可得出结论. 解答: 解:∵a= ∴b=( ) ﹣2,
3 2 2

,b 是 a 的小数部分,

2

∴(b+2) =3 =9 故答案为:9 点评: 此题主要考查了估算无理数,表示出 b 的值是解题关键. 3.如图,四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形,点 C、D 在边 AB 上,且 AC=DB=1,点 P 是线段 CD 上的动点, 分别以 AP、 PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 AMNP 和正方形 BRQP, E、F 分别为 MN 、QR 的中点,连接 EF,设 EF 的中点为 G,则当点 P 从点 C 运动到点 D 时,点 G 移动的路径长为 2.

考点: 轨迹方程. 专题: 综合题. 分析: 设 KH 的中点为 S,连接 PE,PF,SE,SF,PS,由三角形相似结合 E 为 MN 的中 点,S 为 KH 的中点可得 A,E,S 共线,F 为 QR 的中点,S 为 KH 的中点得 B,F,S 共线, 再由三角形相似得到 ES∥PF,PE∥FS,结合 G 为 EF 的中点可得 G 为 PS 的中点,即 G 的 轨迹为△ CSD 的中位线,由三角形的中位线长是底边的一半得答案. 解答: 解:如图,

设 KH 的中点为 S,连接 PE,PF,SE,SF,PS, ∵E 为 MN 的中点,S 为 KH 的中点,∴A,E,S 共线, F 为 QR 的中点,S 为 KH 的中点,∴BFS 共线, 由△ AME∽△PQF,得∠SAP=∠FPB,∴ES∥PF, △ PNE∽△BRF,得∠EPA=∠FBP,∴PE∥FS, 则 四边形 PESF 为平行四边形,则 G 为 PS 的中点, ∴G 的轨迹为△ CSD 的中位线, ∵CD=AB﹣AC﹣BD=6﹣1﹣1=4,∴点 G 移动的路径长为 .

故答案为:2. 点评: 本题考查了轨迹方程, 考查了三角形的中位线知识, 考查了三角形相似及动点的轨 迹,是中档题.

4.已知 x,x 都为整数,且满足( + ) ( 3 个. 考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 =

+

)=﹣ (



) ,则 x+y 的可能值有

, ( + ) (

+

)=﹣ (



) ,

化为

=

,即

=0,

可得

=0,或

= =

.即可得出.

解答: 解: ∵

, ( + ) (

+

) =﹣ (



) ,

又∵





=



化为 ∴ 由 由 =0,或 = .

=0,

=0,可得 x+y=0, (x?y≠0) ; = ,化为 ,∴x+y= = ,只有当 y=1 或 2 时,x 分别

为﹣2,﹣1. ∴x+y=﹣1 或 1, 综上可得:x+y=﹣1 或 1 或 0. 故答案为:3. 点评: 本题考查了因式分解方法、乘法公式、整数的性质,考查了分类讨论思想方法,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题. 5.已知 P 为等腰△ ABC 内一点,AB=BC,∠BPC=108°.D 为 AC 的中点,BD 与 PC 交于 点 E,如果 P 为△ ABE 的内心,则∠PAC 的度数是 48°. . 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 先画图,由对顶角,三角形全等可得∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED=60°,即可求 ∠PCA,∠PBE,∠ABD,∠BAD,∠PAE 的值,由∠PAC=∠PAE+∠CAE 即可得解. 解答: 解:由题意可得:∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED, 而∠PEA+∠PEB+AED=180°, 所以∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED=60°, 所以可得∠PCA=30°, 又∠BPC=108°,所以∠PBE=12°,从而∠ABD=24°, 所以∠BAD=90°﹣24°=66°, 所以∠PAE= (∠BAD﹣∠CAE)= (66°﹣30°)=18°, 所以∠PAC=∠PAE+∠CAE=18°+30°=48°. 故答案为:48°.

点评: 本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形的全等,三角形内心,三角形内角和等 知识的应用,考查了分析问题解决问题的能力,考查了转化思想,属于中档题. 6.如图,在△ ABCAB=7,AC=11,点 M 是 BC 的中点,AD 是∠BAC 的平分线,MF∥AD, 则 FC 的长为 9.

考点: 相似三角形的判定. 专题: 计算题. 分析: 利用角平分线定理、中点性质及其平行线分线段成比例定理即可得出. 解答: 解:如图所示,∵AD 是∠BAC 的平分线,∴ ∵点 M 是 BC 的中点,∴ ∵MF∥AD,∴ ∵CF+FA=11,∴CF=9. . ,解得 . ,

点评: 熟练掌握角平分线定理、中点性质及其平行线分线段成比例定理是解题的关键. 7. 将 1、2、3、4、5 这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个 数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有 5. 考点: 计数原理的应用. 专题: 应用题;排列组合.

分析: 根据题意设一个满足要求的数列 a1,a2,a3,a4,a5,然后分情况讨论题目中的要 求. 解答: 解:设 a1,a2,a3,a4,a5 是 1,2,3,4,5 的一个满足要求的排列. 首先,对于 a1,a2,a3,a4,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与 已知条件矛盾. 又如果 ai(1≤i≤3)是偶数,ai+1 是奇数,则 ai+2 是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个 或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数. 所以 a1,a2,a3,a4,a5 只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下 5 种情形满足条件: 2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3; 4,3,1,2,5; 4,5,3,2,1. 故答案为:5. 点评: 本题考查了整数的奇偶性问题,解决此题的关键是分情况讨论.找出 a1,a2,a3, a4,a5 只能是偶,奇,奇,偶,奇时才满足条件.

8.对任意实数 x、y、z 定义运算“*”:x*y=

;且 x*y*z=(x*y)

*z,则:2013*2012*…*3*2 的值为



考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 2013*2012*…*4=m, 则*3=m*3, 由 x*y 的计算公式推导出 m*3=9, 从而*2=9*2, 再由由 x*y 的计算公式能求出 2013*2012*…*3*2 的值. 解答: 解:∵x*y= ∴设 2013*2012*…*4=m, 则*3=m*3 = ∴*2=9*2 = =9, ,且 x*y*z=(x*y)*z,

=

. .

故答案为:

点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意新定义的合理运用.

9.已知正整数 a,b,c 满足 a+b ﹣2c﹣2=0,3a ﹣8b+c=0,则 abc 的最大值为 2013. 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 2 2 2 分析: 3a ﹣8b+c=0,可得 c=8b﹣3a ,代入 a+b ﹣2c﹣2=0,可得(b﹣8) =66﹣6a ﹣a, 2 因此 66﹣6a ﹣a 为完全平方数,可得 a,进而得出 b,c. 2 2 2 解答: 解:3a ﹣8b+c=0?c=8b﹣3a ,代入 a+b ﹣2c﹣2=0, 2 2 可得(b﹣8) =66﹣6a ﹣a, 2 ∴66﹣6a ﹣a 为完全平方数,则 a=3, 可得 b=5 或 11,c=13 或 61, ∴abc 的最大值为 3×11×61=2013. 故答案为:2013. 点评: 本题考查了乘法公式与完全平方数、整数的性质,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 二、解答题(共 3 小题,满分 0 分) 10.在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx+b+2(k≠0)的图象与 x 轴、y 轴的正半轴分别交 于 A,B 两点,且使得△ OAB 的面积值等于|OA|+|OB|+3. (1)用 b 表示 k; (2)求△ OAB 面积的最小值. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先求出 A,B 两点的坐标,然后表示出△ OAB 的面积,令其等于|OA|+|OB|+3 即可用 b 表示 k; (2)化简所求式子后根据配方法即可求出△ OAB 面积的最小值 解答: 解: (1)令 x=0,得 y=b,b>0; 令 y=0,得 x=﹣ >0,k<0. 所以 A,B 两点的坐标分别为 A(﹣ ,0) ,B(0,b) , 于是,△ OAB 的面积为 S= b(﹣ ) . 由题意,有 = +b+3,

2

2

解得 k= (2)b>2,

,b>2;

由(1)知 S=?b(﹣ )= =(b﹣2) +7≥7 ,

=

当且仅当 b﹣2=

时,有 S=7



即当 b=2 ,k=﹣1 时,不等式中的等号成立. 所以,△ OAB 面积的最小值为 7 . 点评: 本题考查了二次函数的最值及三角形的面积, 难度一般, 关键是根据已知条件求出 用 b 表示 k 后由配方法即可得出答案. 11.设 a,b,c 是素数,记 x=b+c﹣a,y=c+a﹣b,z=a+b﹣c,当 z =y, b,c 能否构成三角形的三边长?证明你的结论. 考点 : 素数与合数. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 首先根据题意用含有 x,y,z 的代数式表示出 a,b,c,再根据 y=z ,得到 a= , 根据 z 为整数, a 为素数求出 z 和 a 的值, 进而求出 b 和 c 的值, 最后判断 a,
2 2



=2 时,a,

b,c 能否构成三角形的边长. 解答: 解:不能. 依题意,得 a= (y+z) ,b= (x+z) ,c= (x+y) . 因为 y=z ,所以 a= (y+z)= (z +z)= 又由于 z 为整数,a 为素数, 所以 z=2 或﹣3,a=3. 当 z=2 时,y=z =4,x=( +2) =16. 进而,b=9,c=10,与 b,c 是素数矛盾; 当 z=﹣3 时,a+b﹣c<0,所以 a,b,c 不能构成三角形的三边长. 点评: 本题主要考查了质数与合数的知识,解答本题的关键根据 a 为素数求出 z 的值,进 而求出 a 的值. 12.如图,在矩形 ABCD 中,AD=8,直线 DE 交直线 A B 于点 E,交直线 BC 于 F,AE=6. (1)若点 P 是边 AD 上的一个动点(不与点 A、D 重合) ,PH⊥DE 于 H,设 DP 为 x,四 边形 AEHP 的面积为 y,试求 y 与 x 的函数解析式; (2)若 AE=2EB. ①求圆心在直线 BC 上,且与直线 DE、AB 都相切的⊙O 的半径长; ②半径为 4,圆心在直线 DF 上,且与矩形 ABCD 的至少一边所在直线相切的圆共有多少 个?(直接写出满足条件的圆的个数即可)
2 2 2 2



考点: 圆方程的综 合应用. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1) 根据题意, 作 PH⊥DF 于点 H, 进而得出△ PHD∽△EAD, 即可求出 DH= x, PH= x,利用 y=S△ AED﹣S△ PHD 求出即可; (2)①分别利用若⊙O1 与直线 DE、AB 都相切,且圆心 O1 在 AB 的左侧,过点 O1 作 O1G1⊥DF 于 G1,若⊙O2 与直线 DE、AB 都相切,且圆心 O2 在 AB 的右侧,过点 O2 作 O2G2⊥DF 于 G2,求出即可; ②利用图形分析得出所有的可能即可. 解答: 解: (1)如图 1,作 PH⊥DF 于点 H, 在 Rt△ AED 中, ∵AE=6,AD=8, ∴ED=10, ∵∠PHD=∠EAD=90°,∠PDH=∠EDA, ∴△PHD∽△EAD, ∴ ,

∴DH= x,PH= x, ∴y=S△ AED﹣S△ PHD=24﹣ (2)①∵∥BC, ∴△EBF∽△EAD, ∴ , x;
2

∴EF=5,BF=4, 如图 1,若⊙O1 与直线 DE、AB 都相切,且圆心 O1 在 AB 的左侧,过点 O1 作 O1G1⊥DF 于 G1, 则可设 O1G1=O1B=r1, ∵S△ EO1F+S△ EBO1=S△ EBF, ∴ r1×5+ r1×3= ×3×4, 解得:r1= , 若⊙O2 与直线 DE、AB 都相切,且圆心 O2 在 AB 的右侧,过点 O2 作 O2G2⊥DF 于 G2, 则可设 O2G2=O2B=r2, ∵S△ FO2D= FO2×DC= DF×O2G2, ∴ ×(4+r2)×(6+3)= ×(10+5)×r2, 解得:r2=6, 即满足条件的圆的半径为 或 6;

②如图 2 所示:符合题意的有 7

个. 点评: 此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质以及相似三角形的判定与性质等知 识,利用分类讨论得出是解题关键.


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