2017苏教版高一数学三角函数的图象与性质2.doc

1.3.2 三角函数的图像与性质（2）
一、课题：正、余弦函数的定义域、值域 二、教学目标：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示； 2.能说出函数 y ? sin x ， x ? R 和 y ? cos x ， x ? R 的值域、最大值、最小值，以及使函数 取得这些值的 x 的集合。 三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域的求法。 四、教学过程： （一）复习： 1．三角函数的定义。 （二）新课讲解： 1．正弦、余弦函数的定义域 函 数

y ? sin x
x?R
（2） y ? cos( x ? （5） y ?

y ? cos x

定义域 （1） y ? sin 2 x ； （ 4） y ?

x?R

例 1：求下列函数的定义域：

?
3

)；

（3） y ? sin x ；

1 ； sin x ? 1

25 ? x 2 ? lg sin x ．
（2）

解： （1） 2 x ? R ， ∴ x ? R ；

?
3

? x?R， ∴ x? R；

（3） sin x ? 0 ， ∴ x ?[2k? , 2k? ? ? ] (k ? Z ) ； （4） sin x ? 1 ? 0 ，∴ sin x ? ?1 ， ∴ x ?{x | x ? R 且 x ? 2k? ? （5） ?

?
2

, k ? Z} ；

? 25 ? x 2 ? 0 ?sin x ? 0
数 域

∴?

??5 ? x ? 5 ?2k? ? x ? 2k? ? ?

(k ? Z )
y ? cos x

∴ x ?[?5, ?? ) ? [0, ? ) ．

2．正、余弦函数的值域 函 值

y ? sin x

[?1,1]

[?1,1]

例 2：求使下列函数取得最大值的自变量 x 的集合，并说出最大值是什么？ （1） y ? cos x ? 1 ， x ? R ； （2） y ? sin 2 x ， x ? R ． 解： （1）使函数 y ? cos x ? 1 ， x ? R 取得最大值的 x 的集合，就是使函数 y ? cos x ， x ? R 取得最大值 的 x 的集合 {x | x ? 2k? , k ? Z } ， 所以，函数 y ? cos x ? 1 ， x ? R 的最大值是 1 ? 1 ? 2 ． （2）令 z ? 2 x ，那么 x ? R 必须并且只需 z ? R ，且使函数 y ? sin z ， z ? R 取得最大值 的 z 的集合是 {z | z ?

?
2

? 2k? , k ? Z } ，由 2 x ? z ?

?
2

? 2k? ，得 x ?

?
4

? k? ，

? ? k? , k ? Z } ，函数的最大值是 1 ． 4 说明：函数 y ? A sin(? x ? ? ) ， x ? R 的最值：最大值 | A | ，最小值 ? | A | ．
即：使函数 y ? sin 2 x ， x ? R 取得最大值的 x 的集合是 {x | x ? 例 3：求下列函数的值域： （1） y ?

1 ； sin x ? 1
2

（2） y ?

sin x ． sin x ? 2
2

解： （1）∵ 0 ? sin x ? 1 ，∴ 1 ? sin x ? 1 ? 2 ， ∴
2

1 ? y ?1 2

所以，值域为 { y | （2） sin x ?

1 ? y ? 1} ． 2

2y 2y ， ∴ ?1 ? sin x ? 1 ， ∴ ?1 ? ?1， y ?1 1? y 1 1 解得 ?1 ? y ? ， 所以，值域为 { y | ?1 ? y ? } ． 3 3

五、练习： 六、小结：1．正、余弦函数的定义域、值域； 2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值域。 七、作业： 补充：求下列函数的值域： （1） y ?

2 ? sin x cos x ? 3 ； （2） y ? ； （3） y ? asinx ? b （其中 a , b 为常数） ． 1 ? sin x cos x ? 2