2017苏教版高一数学三角函数的图象与性质2.doc

1.3.2 三角函数的图像与性质(2)
一、课题:正、余弦函数的定义域、值域 二、教学目标:1.能指出正弦、余弦函数的定义域,并用集合符号来表示; 2.能说出函数 y ? sin x , x ? R 和 y ? cos x , x ? R 的值域、最大值、最小值,以及使函数 取得这些值的 x 的集合。 三、教学重、难点:与正、余弦函数相关的函数的定义域的求法。 四、教学过程: (一)复习: 1.三角函数的定义。 (二)新课讲解: 1.正弦、余弦函数的定义域 函 数

y ? sin x
x?R
(2) y ? cos( x ? (5) y ?

y ? cos x

定义域 (1) y ? sin 2 x ; ( 4) y ?

x?R

例 1:求下列函数的定义域:

?
3

);

(3) y ? sin x ;

1 ; sin x ? 1

25 ? x 2 ? lg sin x .
(2)

解: (1) 2 x ? R , ∴ x ? R ;

?
3

? x?R, ∴ x? R;

(3) sin x ? 0 , ∴ x ?[2k? , 2k? ? ? ] (k ? Z ) ; (4) sin x ? 1 ? 0 ,∴ sin x ? ?1 , ∴ x ?{x | x ? R 且 x ? 2k? ? (5) ?

?
2

, k ? Z} ;

? 25 ? x 2 ? 0 ?sin x ? 0
数 域

∴?

??5 ? x ? 5 ?2k? ? x ? 2k? ? ?

(k ? Z )
y ? cos x

∴ x ?[?5, ?? ) ? [0, ? ) .

2.正、余弦函数的值域 函 值

y ? sin x

[?1,1]

[?1,1]

例 2:求使下列函数取得最大值的自变量 x 的集合,并说出最大值是什么? (1) y ? cos x ? 1 , x ? R ; (2) y ? sin 2 x , x ? R . 解: (1)使函数 y ? cos x ? 1 , x ? R 取得最大值的 x 的集合,就是使函数 y ? cos x , x ? R 取得最大值 的 x 的集合 {x | x ? 2k? , k ? Z } , 所以,函数 y ? cos x ? 1 , x ? R 的最大值是 1 ? 1 ? 2 . (2)令 z ? 2 x ,那么 x ? R 必须并且只需 z ? R ,且使函数 y ? sin z , z ? R 取得最大值 的 z 的集合是 {z | z ?

?
2

? 2k? , k ? Z } ,由 2 x ? z ?

?
2

? 2k? ,得 x ?

?
4

? k? ,

? ? k? , k ? Z } ,函数的最大值是 1 . 4 说明:函数 y ? A sin(? x ? ? ) , x ? R 的最值:最大值 | A | ,最小值 ? | A | .
即:使函数 y ? sin 2 x , x ? R 取得最大值的 x 的集合是 {x | x ? 例 3:求下列函数的值域: (1) y ?

1 ; sin x ? 1
2

(2) y ?

sin x . sin x ? 2
2

解: (1)∵ 0 ? sin x ? 1 ,∴ 1 ? sin x ? 1 ? 2 , ∴
2

1 ? y ?1 2

所以,值域为 { y | (2) sin x ?

1 ? y ? 1} . 2

2y 2y , ∴ ?1 ? sin x ? 1 , ∴ ?1 ? ?1, y ?1 1? y 1 1 解得 ?1 ? y ? , 所以,值域为 { y | ?1 ? y ? } . 3 3

五、练习: 六、小结:1.正、余弦函数的定义域、值域; 2.与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值域。 七、作业: 补充:求下列函数的值域: (1) y ?

2 ? sin x cos x ? 3 ; (2) y ? ; (3) y ? asinx ? b (其中 a , b 为常数) . 1 ? sin x cos x ? 2


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