2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数极值课件10 新人教B版选修2-2_图文

1.3.2利用导数研究函数 的极值 复习: 单调性的判断方法有哪些? 单调性与导数有何关系? y y=f(x) f '(x)>0 y y=f(x) f '(x)<0 o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x)为常数. 设函数y=f(x)在某个区间内可导, ?如果f ′(x)>0,则f(x)在此区间为增函数; ?如果f ′(x)<0,则f(x)在此区间为减函数; ?如果f ′(x)=0,则f(x)在此区间为常数函数; 2.求函数单调性的一般步骤 ①求函数的定义域; (定义域为R时可省) ②求函数的导数 f/(x); ③ f/(x)>0 得f(x)的单调递增区间; f/(x)<0 得f(x)的单调递减区间. 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4 观察图像: 处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4), 与它们左右近旁各点处的函数值,相比有 什么特点? y f (x1) f(x3) y ? f ( x) f(x2) O a x1 f(x4) b x x2 x3 x4 一、函数的极值定义 y a o x0 b x 函数y=f(x),设X0是定义域(a,b)内任一点, 如果对X0附近的所有点X,都有f(x)<f(x0), 称函数f(x)在点X0处取极大值,记作y极大值=f(x0); 把X0称为函数f(x)的一个极大值点。 一、函数的极值定义 y a o x0 b x 如果对X0附近的所有点X,都有f(x)>f(x0), 称函数f(x)在点X0处取极小值,记作y极小值=f(x0); 把X0称为函数f(x)的一个极小植点。 ◆函数的极大值与极小值统称为极值.极 大值点与极小值点统称为极值点. 总结 (1)函数的极值是就函数在某一点 附近的小区间而言的,在函数的整 个定义区间内可能有多个极大值或 极小值,而最值是对整体而言。 (2)极大值不一定比极小值大。 (3)极值点不一定是最值点。 观察与思考:极值与导数有何关系? y y?f(x) Oa x1 x2 x3 f ?(x1)?0 f ?(x2)?0 f ?(x3)?0 cx b f ?(b)=0 在极值点处,曲线如果有切线,则切线是水平的。 结论:设x=x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在 x=x0是可导的,则必有f ?(x0)=0 二、判断函数极值的方法 y y?f(x) f ?(x)>0 f ?(x)>0 x1 x2 b x f ?(x)<0 f ?(x)<0 O a 已知函数f(x)在点x0处是连续的,且 f ?(x0)=0则 1、如果在x0附近的左侧f ’(x)>0,右侧f ’(x)<0, 则f (x0)是极大值; 2、如果在x0附近的左侧f ’(x)<0,右侧f ’(x)>0,则f (x0)是极小值; 点评:可导函数 y ? f ( x ) 在点x0取得极值的充分必要条件是 f ?( xo ) ? 0, 且在点x0左侧和右侧, f ’(x)异号. 1 3 例1 求函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? 4的极值. 3 1 3 解 因为f ?x ? ? x ? 4 x ? 4 , 所以f ' ?x ? ? x 2 ? 4 3 ' ?x ? ? 0, 得 x ? 2, 或 x ? ?2 . 令 f ? ?x ? 2 ??x ? 2 ?. 当x变化时,y′, y的变化情况如下表: + x y′ y (-∞,-2) -2 0 极大值 28/3 (-2,2) - 2 0 极小值 -4/3 (2,+∞) + 因此,当x=-2时, y极大值==28/3 当x=2时, y极小值=-4/3 1 3 例1 求函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? 4的极值. 3 y 1 3 f ?x ? ? x ? 4 x ? 4 3 o ?2 2 x 图1.3 ? 12 三、求可导函数f(x)极值的 步骤: (1) 确定函数的定义域; (2)求导数f ’(x); (3)求方程f ’(x)=0的根; (4)把定义域划分为部分区间,画表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— ?如果左正右负(+ ~ -),取得极大值 ?如果左负右正(- ~ +),取得极小值 3 ? 练习1、求函数 f ( x ) x ? 27 x 的极值: 解: 2 ? 令 f ( x ) ? 3 x ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3. 列表: x (–∞, –3) –3 (–3, 3) – 3 0 ( 3, +∞) f ?(x) f (x) + 0 + 54 ? 54 所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 . 1 3 y ? x ? 4x ? 4 思考讨论:在区间[-3,4]上, 3 的最大值? 可导函数y=f(x)在[a,b]上的最值步骤如何? y y ? f ?x ? a x1 x 2 x 3 o x 4 x5 x6 b x 1、求y=f(x)在开区间(a,b)内所有使f ’(x)=0的 点(极值点); 2、计算函数y=f(x)在极值点和端点的函数值,其 中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。 例2 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c, 当x=-1时取极大值7;当x=3时取得极小值, 求这个极小值及a、b、c的值。 练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值. 解: f ?( x ) =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.① 又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.② ? a?4 ?a ? ?3 . 由①、②解得 ? 或?

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