浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明


浙江大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( A.假设三内角都不大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 【答案】B 2.下列不等式不成立的是( A. a +b +c B.
2 2 2

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 )

B.假设三内角都大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度

? ab+bc+ca
b

)

b a

?

a

? a ? b (a>0,b>0)
(a ? 3)

C. D. 【答案】D

a ? a ?1 ? a ? 2 ? a ? 3

8 ? 7 < 5 ? 10

3.四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐 1,2,3,4 号位子上(如图) ,第一次前 后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,?,这样交替进行下去,那么第 2009 次互 换座位后,小兔的座位对应的是( )

A.编号 1 【答案】A

B. 编号 2

C. 编号 3

D. 编号 4

4.德国数学家洛萨·科拉茨 1937 年提出了一个猜想:任给一个正整数 n,如果它是偶数,就将 它减半;如果它是奇数,则将它乘 3 再加 1,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可 以得到 1。如初始正整数为 6,按照上述变换规则,得到一个数列:6,3,10,5,16,8,4, 2,1。现在请你研究:如果对正整数 n(首项) ,按照上述规则实施变换(1 可以多次出现) 后的第八项为 1,则 n 的所有可能的对值为( A.2,3,16,20,21,128 C.2,16,21,128 【答案】A 5.用反证法证明“如果 a ? b ,那么 A. a ? b C.
3
3

) B.2,3,16,21 D.3,16,20,21,64

a ? 3 b ”时,反证假设的内容应是(
B. a ? b

)

a?

3

b或

3

a?

3

b

D.

3

a?

3

b且

3

a?

3

b

【答案】C 6. 观察式子:1 ? A. 1 ? C. 1 ? 【答案】C 7.用反证法证明“如果 a>b,那么 A. 3
3

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,? ,则可归纳出式子为( 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4
B. 1 ? D. 1 ?

)

1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? (n ≥ 2) 2 2 3 n 2n ? 1 1 1 1 2n ? 1 ? 2 ??? 2 ? (n ≥ 2) 2 2 3 n n

1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? (n ≥ 2) 2 2 3 n 2n ? 1 1 1 1 2n ? 2 ??? 2 ? (n ≥ 2) 2 2 3 n 2n ? 1

a=3b C. 3 a = 3 b 且 3 a < 3 b

) a > 3 b ”假设的内容应是( 3 3 B. a < b D. 3 a = 3 b 或 3 a < 3 b )

【答案】D 2 8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 等于( 2 2 2 2 A. B. C. n D. 2 (n+1) n(n+1) 2 -1 2n-1 【答案】B 9.用反证法证明命题: “若整数系数一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,那么

a, b, c 中至少有一个是偶数”时,应假设(
A. a, b, c 中至多一个是偶数 C. a, b, c 中全是奇数 数 【答案】C

) B. a, b, c 中至少一个是奇数 D. a, b, c 中恰有一个偶

10.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60 ”时,反设正确的是( A.假设三内角都大于 60
o

o

)

B.假设三内角都不大于 60
o

o

C.假设三内角至多有一个大于 60 大于 60 【答案】A 11.用反证法证明“方程 ax A. 至多有一个解 C. 至少有三个解 【答案】C
2
o

D. 假设三内角至多有两个

? bx ? c ? 0(a ? 0) 至多有两个解”的假设中,正确的是(
B. 有且只有两个解 D. 至少有两个解

)

12.用反证法证明命题: a, b, c, d ? R , a ? b ? 1 , c ? d ? 1 ,且 ac ? bd ? 1 ,则 a, b, c, d 中至 “ 少有一个负数”时的假设为( A. a, b, c, d 中至少有一个正数 ) B. a, b, c, d 全为正数

C. a, b, c, d 中至多有一个负数 【答案】D

D. a, b, c, d 全都大于等于 0

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.2011 年 11 月 2 日,即 20111102,正好前后对称,因而被称为“完美对称日” ,请你写出本 世纪的一个 “完美对称日” : 【答案】如:20011002,20100102 等 14.在如图所示的数表中,第 i 行第 j 列的数记为 ai , j ,且满足 a1, j .

? 2 j ?1, ai ,1 ? i ,

ai?1, j ?1 ? ai , j ? ai ?1 , j (i, j ? N? ) ,记第 3 行的数 3,5,8,13,22, ??? 依次组成数列 {bn } ,
则数列 {bn } 的通项公式为 。

【答案】 an

? 2 n?1 ? n ? 1
2

15.研究问题: “已知关于 x 的不等式 ax

? bx ? c ? 0 的解集为 (1, 2) ,解关于 x 的不等式

cx 2 ? bx ? a ? 0 ” ,有如下解法:
解:由 ax
2

1 1 1 1 ? bx ? c ? 0 ? a ? b( ) ? c( ) 2 ? 0 ,令 y ? ,则 y ? ( , 1) , x x x 2
2

所以不等式 cx

1 ? bx ? a ? 0 的解集为 ( , 1) . 2
k x?b ? ? 0 的解集为 (?2, ? 1) ? (2, 3) ,则关 x?a x?c

参考上述解法,已知关于 x 的不等式

于 x 的不等式

kx bx ? 1 ? ? 0 的解集为 ax ? 1 cx ? 1

【答案】 ? ?

? 1 1? ?1 ? , ? ? ? ? ,1? ? 2 3? ? 2 ?

16.有下列各式: 猜想此类不等式的一般形式为 1 1 1 n+1 * 【答案】1+ + +?+ n+1 > (n∈N ) 2 3 2 -1 2

, (n∈N ).
*

,?,则按此规律可

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知

x ? 1, y ? 1 ,用分析法证明: x ? y ? 1 ? xy .
x ? y ? 1 ? xy ,即证 ?x ? y ?2 ? ?1 ? xy?2 ,

【答案】要证 即证 x 即证 因为 所以
2

? y2 ? 1? x2 y2 , ?1 1 ? y 2 ? 0 ,

?x ?x

2

?? ??

? ?

x ? 1, y ? 1 ,所以 x 2 ? 1 ? 0,1 ? y 2 ? 0 ,
2

? 1 1 ? y 2 ? 0 ,不等式得证. y ? ax2 ? 2bx ? c, y ? bx2 ? 2cx ? a, y ? cx2 ? 2ax ? b ( a, b, c 是互不相等的实

18.求证:

数) ,三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个交点. 【答案】假设这三条抛物线全部与 x 轴只有一个交点或没有交点,则有

?Δ 1 ? 4b 2 ? 4ac ? 0 ? 2 ?Δ 2 ? 4c ? 4ab ? 0 ? 2 ?Δ 3 ? 4a ? 4bc ? 0
2 2

三式相加,得 a +b +c -ab-ac-bc≤0 ?
2 2 2

(a-b) +(b-c) +(c-a) ≤0. ∴a=b=c 与已知 a,b,c 是互不相等的实数矛盾, ∴这三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个交点. 19.祖暅原理也就是“等积原理” ,它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提 出来的. 祖暅原理的内容是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面 的平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句 “两个胖子一般高,平行地面刀刀切,刀刀切出等面积,两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式,关键是要构造一个参照体. 试用祖暅原理推导球的体积公式.

2

【答案】 我们先推导半球的体积. 为了计算半径为 R 的半球的体积, 我们先观察 V圆锥 、 半球 、 圆柱 V V 这三个量(等底等高)之间的不等关系,

1 可以发现 V圆锥 < V半球 < V圆柱 ,即 ? R3 ? V半球 ? ? R3 ,根据这一不等关系,我们可以猜测 3 2 3 V半球 ? ? R ,并且由猜测可发现 V半球 ? V圆柱 ? V圆锥 . 3 下面进一步验证了猜想的可靠性. 关键是要构造一个参照体, 这样的参照体我们可以用圆柱内挖 去一个圆锥构造出,如右图所示. 下面利用祖暅原理证明猜想.

证明: 用平行于平面α 的任意一个平面去截这两个几何体, 截面分别为圆面和圆环面. 如果截平 面与平面α 的距离为 l ,那么圆面半径 r ? R 2 ? l 2 ,圆环面的大圆半径为 R,小圆半径为 r. 因此 S圆 ? ? r 2 ? ? ( R2 ? l 2 ) , S环 ? ? R2 ? ? l 2 ? ? ( R2 ? l 2 ) , ∴ S圆 ? S环 .

1 2 根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等,即 V半球 ? ? R2 ?R ? ? R2 ?R ? ? R3 , 3 3 4 所以 V球 ? ? R3 . 3
20.求证:

3? 7 ?2 5. 3 ? 7 ? 0,2 5 ? 0,

【答案】由于 故只需证明 ( 只需证 10 ? 2

3 ? 7)2 ? (2 5)2 .

21 ? 20 ,即 21 ? 5 .

只需证 21 ? 25 . 因为 21 ? 25 显然成立, 所以

3? 7 ?2 5.
x

21.已知函数 f ( x) ? a ?

x?2 , (a ? 1) ,用反证法证明:方程 f ( x) ? 0 没有负实数根. x ?1

【答案】假设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0, 则 a 0 =x

x0 ? 2 x ,且 0< a 0 <1, x0 ? 1
1 x0 ? 2 <1,即 <x0<2. 2 x0 ? 1

所以 0<-

与假设 x0<0 矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根. 22.用适当方法证明:如果 a ? 0, b ? 0, 那么 【答案】

a b

?
b a
.

b a

? a ? b。
a ?b b ? b?a a

a b

?

b a

? ( a ? b) ?

a b
2

? b?

? a?

b ∵ a ? 0, b ? 0,


? (a ? b)(

1

?

1 a

)?

( a ? b) ( a ? b) ab
? 0,

( a ? b)2 ( a ? b) ab



a b

?

b a

? a ? b.


相关文档

浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明 Word版含答案]
上海交通大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明
复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明
浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:统计
北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明
上海市复旦大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明 含答案(精品)
2013届复旦大学附中高三数学一轮复习单元训练:推理与证明
浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:三角函数 Word版含答案
浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:不等式
浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:空间几何体
电脑版