2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数极值课件1 新人教B版选修2-2_图文

利用导数研究函数的极值 :自主探究阶段 阅读教材第27页思考下列问题. 1、什么是函数的极大值与极小值? 2、极值与最值的区别? 阅读教材第28页思考下列问题. 1、观察极值点处的切线斜率,得出什么结论? 2、极大值附近的单调性如何变化?极小值呢? 3、求函数极值的步骤? ' f 4、如果 ( x0 ) ? 0 , 则 x0 一定是极值点吗? 阅读教材第28页思考下列问题. 如何求函数 y ? f ( x) 在 ? a, b?的最值? 自主探究阶段 极大值:已知函数 f ( x) ,设 x0 是定义域 ( a, b) 内任一点,如果对 x0 附近的所有点 x,都有 ,则称函数 f ( x) 在点 x0 处取得极大 f X0) 值。记作 y极大 ? ( 。并把 x0 称为函数 f ( x) 的 一个极大值点。 f ( x) ? f ( x0 ) 极小值:如果在 x0 附近都有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则 f ( x) 在点 x0 处取得极小值,记作 y极小 ? f ( x0 ) 称函数 并把 x0 称为函数 f ( x) 的一个极小值点。 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小 值点统称为极值点。 自主探究阶段 y o a x0 x1 x2 x3 b x 1、在(a,b)内极大值与极小值唯一吗? 2、极大值一定大于极小值吗? 3、若改为[a,b]内,a,b可能是极值点吗? 自主探究阶段 根据下列图像指出函数的极值点? y y y a o o a x1 x2 A x1 x2 b x x3 b x o a x1 x2 B x3 b x C 指出上述图像中的最值点? 结合图像猜想最值可能出现在哪些位置上? 自主探究阶段 例 已知函数 f ( x) ? 1 3 x ? 4x ? 4 3 x∈(0, +∞) 求函数的极值,并画出函数的大致图像。 2 解: f ' ( x) ? x2 ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2) 解方程 x ? 4 ? 0 得 x1 ? ?2, x2 ? 2 x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 0 ?1 1 3 (2,+∞) y 8 f ' ( x) f ( x) ﹢ 9 0 1 3 ﹣ ﹢ ?3 ? 2 o 所以 当 f (?2) ? 9 x ? ?2 时,函数有极大值, 所以 当 x ? 2 1 3 1 f (2) ? ? 1 时,函数有极小值, 3 2 x 4 求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值。 解: 是 9 1 3 f ( ?3) ? 7, f (4) ? 9 与极值点的函数值比较,得到最大值 ,最小值是 ?1 1 。 3 1 3 导学达标阶段 基础训练: 1、关于极值,如下叙述正确的是 ( D ) A如f ' ( x0 ) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极值。 B 对于函数 f ( x) ,极大值和极小值是唯一的。 C 极大值总比极小值大。 D 极大值可能是最大值。 2、求函数 y ? 3x4 ? 4x3 的极值。 1 3 3、求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 3 在[0,3]的最值。 导学达标阶段 拓展探究: 3 2 f ( x ) ? ax ? bx 已知函数 在 x ? 1 处有极大值3, 求(1)a , b 的值。(2)函数 f ( x) 的极小值。 解(1) f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx 当 x ? 1 时, f ' (1) ? 3a ? 2b ? 0, f (1) ? a ? b ? 3 所以:a ? ?6, b ? 9 。 (2) f ( x) ? ?6x3 ? 9x2 , f ' ( x) ? ?18x2 ?18x ? ?18x( x ?1) ' f 令 ( x) ? 0 得 x?0 或 x ?1 1 0 (1,+∞) x f ' ( x) f ( x) (-∞,0) 0 0 (0,1) ﹣ ﹢ ﹣ 0 3 所以极小值为0。 成果检测阶段 1 求函数 f ( x) ? ln x ? x ' 解:f ( x) ? 的极值。 1 1 ? x x2 令 f ( x) ? 0 ' 1 1 ? 2 ? 0因为 x x x ? 0 所以 x ? 1 1 x f ' ( x) f ( x) (0,1) (1, ??) - 0 1 + 所以函数的极小值为1。 课堂小结 1、极大值与极小值的定义。 2、极值与最值的求法。 课后作业 教材30页 练习B 思考题 高考题赏析: 设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) 求函数的单调区间与极值点。 解: f ' ( x) ? 3x2 ? 3a 当 a ? 0, f ' ( x) ? 0 函数在R上单调递增 。此时没有极值点。 ' 当 a ? 0, f ( x) ? 3( x ? a )( x ? a ) ? 0 x ? ? a x f ' ( x) f ( x) ? a (-∞, )? a (? a , a ) a ( a,+∞) ﹢ 0 ﹣ 0 ﹢ 所以函数的增区间为 (??, ? a ) 和 ( a , ??) 。 所以函数的减区间为 (? a , a ) 。 函数的极大值点为 ? a ,函数的极小值点为 a 。

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