浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:统计

浙江大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:统计 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1. 经过对 K 的统计量的研究, 得到了若干个临界值, K 的观测值 k ? 3 .8 4 1 时, 当 我们(
2 2

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

)

A. 在错误的概率不超过 0.05 的前提下可认为 A 与 B 有关 B. 在错误的概率不超过 0.05 的前提下可认为 A 与 B 无关 C. 在错误的概率不超过 0.01 的前提下可认为 A 与 B 有关 D.没有充分理由说明事件 A 与 B 有关 【答案】A 2.对于线性相关系数,叙述正确的是( )

A. | r |? 1, | r | 越接近于 1,相关程度越弱,|r|越接近于 0,相关程度越强 B. | r |? 1, | r | 越接近于 1,相关程度越强,|r|越接近于 0,相关程度越弱 C. | r |? ( 0 , ? ? ), | r | 越大,相关程度越强;|r|越小,相关程度越弱 D. | r |? ( 0 , ? ? ), | r | 越大,相关程度越弱;|r|越小,相关程度越强 【答案】B 3.有五组变量:①汽车的重量和汽车每消耗 1 升汽油所行驶的平均路程;②平均日学习时间和 平均学习成绩;③某人每日吸烟量和其身体健康情况;④正方形的边长和面积;⑤汽车的重 量和百公里耗油量.其中两个变量成正相关的是( A.①③ 【答案】C 4.两个变量 x,y 与其线性相关系数 r 有下列说法 (1)若 r>0,则 x 增大时,y 也相应增大; (2)若 r<0,则 x 增大时,y 也相应增大; (3)若 r=1 或 r=-1,则 x 与 y 的关系完全对应(有函数关系),在散点图上各个散点均在一条 直线上, 其中正确的有( A. ①② 【答案】C 5.对 100 只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得 到如下列联表 ) B. ②③ C. ①③ D. ①②③ B.②④ C.②⑤ ) D.④⑤

由K

2

?

n(ad ? bc)

2

( a ? b )(c ? d )( a ? c )(b ? d )

? 5 .5 6

附表:

则下列说法正确的是(

)

A.在犯错误的概率不超过 0 .1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关” ; B. .在犯错误的概率不超过 0 .1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关” ; C.有 9 5 D.有 9 5 【答案】C 6.对变量 x, y 有观测数据( x 1 , y 1 ) (i=1,2,?,10) ,得散点图 1;对变量 u ,v 有观测数 据( u 1 , v 1 ) (i=1,2,?,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断( )
0 0

以上的把握认为“对激素敏感与性别有关” ; 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关” ;

0 0

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关

B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关

【答案】C 7.对两个变量 y 和 x 进行回归分析,得到一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),则 下列说法中不正确的是( ) A.由样本数据得到的回归方程=x+必过样本点的中心( x , y ) B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 2 2 C.用相关指数 R 来刻画回归效果,R 的值越小,说明模型的拟合效果越好 D.在残差图中,残差点比较均匀地落在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适,带状

区域越窄,说明回归方程的预报精确度越高; 【答案】C 8.已知 x , y 的值如表所示:

如果 y 与 x 呈线性相关且回归直线方程为 y ? b x ? A. ? 【答案】B 9.给出下列结论:在回归分析中可用
1 2

7 2

,则 b ? (
1 2

) C. ?
1 10

B.

D.

1 10

(1)可用相关指数 R 2 的值判断模型的拟合效果, R 2 越大,模型的拟合效果越好; (2)可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越大,模型的拟合效果越好; (3)可用相关系数 r 的值判断模型的拟合效果, r 越大,模型的拟合效果越好; (4)可用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模 型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高. 以上结论中,正确的是( ) A. (3) (1) (4) B. (4) (1) C. (3) (2) (4) D. (2) (1) (3) 【答案】B 10.现有以下两项调查:①某校高二年级共有 15 个班,现从中选择 2 个班,检查其清洁卫生状 况;②某市有大型、中型与小型的商店共 1500 家,三者数量之比为 1∶5∶9.为了调查全市 商店每日零售额情况,抽取其中 15 家进行调查.完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依 次是( ) A. 简单随机抽样法,分层抽样法 B. 系统抽样法,简单随机抽样法 C.分层抽样法,系统抽样法 D.系统抽样法,分层抽样法 【答案】A 11. 为防止某种疾病, 今研制一种新的预防药. 任选取 100 只小白鼠作试验, 得到如下的列联表:

K 的 观 测 值 为 3 .2 0 7 9

2

,则在犯错误的概率不超过(

)的前提下认为 “药物对防止某种疾病有

效” 。 A. 0.025 参考数据: B. 0.10 C. 0.01 D. 0.005

【答案】B 12.某企业有职工 1 5 0 人,其中高级职称 1 5 人,中级职称 4 5 人,一般职员 9 0 人,现抽取 3 0 人 进行分层抽样,则各职称人数分别为( )

A. 5 ,1 0 ,1 5 【答案】B

B. 3, 9 ,1 8

C. 3,1 0 ,1 7

D. 5 , 9 ,1 6

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分) .(保

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.样本数为 9 的一组数据,它们的平均数是 5,频率条形图如图,则其标准差等于 留根号)

【答案】 2 2
5 5 5

14.在求两个变量 x 和 y 的线性回归方程过程中, 计算得 ? x i =25,
i ?1 5

?
i ?1

yi

=250,

?
i ?1

xi

2

=145,

?
i ?1

xi yi

=1380, 则该回归方程是

.

【答案】 y ? 6 . 5 x ? 17 . 5 15. 某研究小组为了研究中学生的身体发育情况, 在某学校随机抽出 20 名 15 至 16 周岁的男生, 将他们的身高和体重制成 2×2 的列联表,根据列联表的数据,可以有 该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和体重之间有关系。 %的把握认为

【答案】97.5 16.给出下列说法: ①从匀速传递的产品生产线上每隔 20 分钟抽取一件产品进行某种检测,这样的抽样 统抽样; ②若随机变量若 ? -N(1,4) p ( ? ?0 , )
^

为系

=m,则 p ( 0 ? ? ? 1) =
^

1 2

一 m;

③在回归直线 y =0. 2x+2 中,当变量 x 每增加 1 个单位时, y 平均增加 2 个单位; ④在 2×2 列联表中,K =13.079,则有 99.9%的把握认为两个变量有关系. 附表:
2

其中正确说法的序号为____________(把所有正确说法的序号都写上) 【答案】①②④ 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计, 随机抽取 M 名学生作为样本, 得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:

(Ⅰ)求出表中 M , p 及图中 a 的值; (Ⅱ)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 [1 0 , 1 5 ) 内的 人数; (Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加社 区服务次数在区间 [ 2 5 , 3 0 ) 内的概率. 【答案】 (Ⅰ)由分组 [1 0 , 1 5 ) 内的频数是 10,频率是 0.25 知,
10 M m 4 因为频数之和为 4 0 ,所以 1 0 ? 2 4 ? m ? 2 ? 4 0 , m ? 4 , p ? ? ? 0 .1 0 M 40 ? 0 .2 5 ,所以 M ? 4 0 .

因为 a 是对应分组 [1 5 , 2 0 ) 的频率与组距的商,所以 a ?

24 40 ? 5

? 0 .1 2

(Ⅱ)因为该校高三学生有 240 人,分组 [1 0 , 1 5 ) 内的频率是 0.25, 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人 (Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m ? 2 ? 6 人, 设在区间 [ 2 0 , 2 5 ] 内的人为 { a 1 , a 2 , a 2 , a 4 } ,在区间 [ 2 5 , 3 0 ) 内的人为 { b1 , b 2 } . 则任选 2 人共有
( a 1 , a 2 ) , ( a 1 , a 3 ) , ( a 1 , a 4 ) , ( a 1 , b1 ) , ( a 1 , b 2 ) , ( a 2 , a 3 ) , ( a 2 , a 4 ) , ( a 2 , b1 ) , ( a 2 , b 2 ) , ( a 3 , a 4 )



15 种情况, 而两人都在 [ 2 5 , 3 0 ) 内只能是 { b1 , b 2 } 一种, 所以所求概率为 P ? 1 ?
1 15 ? 14 15

( a 3 , b1 ), ( a 3 , b 2 ), ( a 4 , b1 ), ( a 4 , b 2 ), ( b1 , b 2 )

18. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表:

3 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . 5

(1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (3)已知喜爱打篮球的 10 位女生中, A1, A 2, A 3 , A 4 , A 5 还喜欢打羽毛球, B 1, B 2, B 3 还喜 欢打乒乓球, C 1, C 2 还喜欢踢足球,现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生 中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B 1 和 C 1 不全被选中的概率. 【答案】 (1) 列联表补充如下:

(2)∵ K

2

?

50 ? (20 ? 15 ? 10 ? 5) 30 ? 20 ? 25 ? 25

2

? 8 .3 3 3 ? 7 .8 7 9

∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. (3)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 名,其一切可能的结 果组成的基本事件如下:
( A1, B 1, C 1 ),A1, B 1, C 2 ),A1, B 2, C 1 ) , ( A1, B 2, C 2 ),A1, B 3, C 1 ) , ( ( ( ( A1, B 3, C 2 ), ( A 2, B 1, C 1 ),A 2, B 1, C 2 ),A 2, B 2, C 1 ) , ( A 2, B 2, C 2 ) , ( A 2, B 3, C 1 ) , ( ( ( A 2, B 3, C 2 ) , ( A 3, B 1, C 1 ),A 3, B 1, C 2 ),A 3, B 2, C 1 ) , ( A 3, B 3, C 2 ) , ( ( ( A 3, B 2, C 2 ),A 3, B 3, C 1 ),( A 4, B 1, C 1 ),A 4, B 1, C 2 ),A 4, B 2, C 1 ) , ( ( ( ( A 4, B 2, C 2 ),A 4, B 3, C 1 ),A 4, B 3, C 2 ) , ( ( ( A 5, B 1, C 1 ),A 5, B 1, C 2 ),A 5, B 2, C 1 ) , ( ( ( A 5, B 2, C 2 ),A 5, B 3, C 1 ),A 5, B 3, C 2 ) , ( (

基本事件的总数为 30, 用 M 表示“ B 1, C 1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 M 表示“ B 1, C 1 全被选中”

( ( 这一事件,由于 M 由 ( A1, B 1, C 1 ),A 2, B 1, C 1 ),A 3, B 1, C 1 ) ,
( A 4 , B 1 , C 1 ) , ( A 5 , B 1 , C 1 ) 5 个基本事件组成,所以 P ( M ) ?

5 30

?

1 6

,由对立事件的概率公式

得 P (M ) ? 1 ? P (M ) ? 1 ?

1 6

?

5 6



19.某产品的广告支出 x(单位:万元)与销售收入 y(单位:万元)之间有下表所对应的数据.

(1)画出表中数据的散点图; (2)求出 y 对 x 的线性回归方程; (3)若广告费为 9 万元,则销售收入约为多少万元? 【答案】 (1)散点图如图:

? b ? (2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近, 列出下列表格, 以备计算 a 、 .于是 x ?

5 2



y ?

69 2

,代入公式得:
418 ? 4 ? ? 5 2 ? 69

? b ?

x 1y1 ? x 2 y 2 ? x 3 y 3 ? x 4 y 4 ? 4 x y x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 4x
2 2 2 2 2

2 ? 73 , 5 2 5 30 ? 4 ? ( ) 2

69 73 5 ? a ? y ? bx ? ? ? ? ? 2. 2 5 2 ? 故 y 与 x 的线性回归方程为 y ? 73 5 x ? 2 ,其中回归系数为 73 5 73 5

, 万元.

它的意义是:广告支出每增加 1 万元,销售收入 y 平均增加 (3)当 x=9 万元时, y ?
73 5 ? 9 ? 2 ? 1 2 9 .4 (万元).

20.为适应新课改,切实减轻学生负担,提高学生综合素质,某市某学校高三年级文科生 300 人在数学选修 4-4、4-5、4-7 选课方面进行改革,由学生自由选择 2 门(不可多选或少选) , 选课情况如下表:

(1)为了解学生情况,现采用分层抽样方法抽取了三科作业共 50 本,统计发现 4-5 有 18 本,试 根据这一数据求出 a , b 的值。 (2)为方便开课,学校要求 a ? 1 1 0 , b ? 1 1 0 ,计算 a ? b 的概率。 【答案】 (1)由每生选2科知共有600人次选课,所以按分层抽样得:
50 600 ? 18 a ? 100



所以a=116,从而b=114 (2)因为a+b=230 a≥110,b>110,所以(a,b)的取值有: (110,120) (111,119) (112,118) (113,117) (114,116) (115,115) (116,114) (117,113) (118,112) (119,111)共10种; 其中a>b的情况有(116,114) (117,113) (118,112) (119,111)共4种; 所以 a>b 的概率为:
p ? 4 10 ? 2 5

21.将容量为 100 的样本拆分为 10 组,若前 7 组频率之和为 0.79,而剩下的三组的频数成等比 数列,其公比为整数且不为 1,求剩下的三组中频数最大的一组的频率. 【答案】设三组数分别为 a , a q , a q ( a , q ? N , q ? 1) ,则
2 ?

a ? aq ? aq

2

? 2 1 ? a (1 ? q ? q ) ? 2 1 ,又因为 1 ? q ? q
2

2

? 3 ,所以 a ?

21 1? q ? q
2

? 7

? q 是整数

? a 是 2 1 的正约数,故 a ? 1 或 a ? 3 ,
2

当 a ? 1 时,1 ? q ? q ? 2 1 ? ( q ? 4 ) ( q ? 5 ) ? 0 ? q ? 4 , q ? ? 5 舍去!频数最大的一组是
aq
2

? 1 6 ,频数最大的一组的频率是 0 .1 6 .

22.为了某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行问卷调查得到了如下的列联表:

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到不爱打篮球的学生的概率为

2 5

.

(1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有把握在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关; 请说明理由. 附参考公式: K
2

?

n ( ad ? bc )

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

【答案】∵已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到不爱打篮球的学生的概率为 ∴不爱打篮球的学生共有本质区别 50× (1)列联表补充如下:
2 5

2 5

,

=20 人

(2)∵ K

2

?

50 ( 20 ? 15 ? 10 ? 5 ) 30 ? 20 ? 25 ? 25

2

? 8 . 333 ? 7 . 879 ,

∴有把握在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关.


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