《导数在研究函数中的应用》易错点导学案

《导数在研究函数中的应用》易错点导学案
姓名: 班级: 组别: 组名:____________ 【学习目标】 1.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间;会利用单调性求参数的取值范围; 2.掌握利用导数求函数极值、最值的方法,并能解决相关综合问题; 【重点难点】 重点:能利用导数研究函数的单调性; 难点:掌握利用导数求函数最值的方法; 【学习过程】 知识点一:函数的单调性与导数 例 1.求函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的单调区间。 3

变式 1:求函数 f ( x) ? x 3 的单调区间。

变式 2:已知函数 f ( x) ? ax ? 1是 R 上的增函数,求实数 a 的取值范围。
3

结论: (1)函数单调递增的充分条件: 如果 f ( x) ? 0, x ? (a, b) ,则 f(x)在区间(a,b)上
'

1

(2)函数单调递增的必要条件: 如果 f(x)在区间(a,b)上单调递增,则 注意:当 f ' ( x) 在某个区间内个别点处为零,在其余点处均为正时,f(x)在这个区间上也是单 调递增的。在求参数的取值范围时,应检验

知识点二:函数的极值与导数 例 2.求函数 f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? 11x ? 16 的极值。

结论:求函数极值的方法: (1)求 f ' ( x) (2)求方程 f ' ( x) ? 0 的根。 (3)检查 f ' ( x) 在方程根左右的值的符号,如果 极值。 上述结论哪一点是最容易忽略什么呢?试做本题,做完后尝试作归纳: 变式题:若函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x=1 处取得极值 10,试求 a,b 的值。
3 2 2



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知识点三:函数的最值与导数 题型一:利用导数求函数的最值 例 3. (2007 江苏) 函数 f ( x) ? x ? 12x ? 8 在区间 ?? 3,3? 上的最大值与最小值分别是 M 和 m,
3

2

求 M-m=

结论:求可导函数 f(x)在闭区间 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤:

题型二:利用函数的最值求参数 变式 1:函数 f ( x) ? x 3 ? 12x ? b 在区间 ?? 3,3? 上的最小值为-8,求 b 及它在该区间上的最 大值。

【基础达标】 B1.已知函数 f ( x) ? x ?
2

a ( x ? 0, 常数 a ? R), 若函数 f ( x)在x ? ?2,??) 上是单调递增的, x
3

求 a 的取值范围。

B2.直线 y=a 与函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 的图象有三个相异的交点,求 a 的取值范围。

C3.已知函数 f ( x) ? x 3 ? x ? a, x ? R (1) 求函数 f(x)在区间 ?? 1,1? 上的最值; (2) 求证:对于区间 ?? 1,1? 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1

【课后反思】

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