苏教版高二选修2-2归纳推理证明讲义

南京市大厂高级中学高二数学(文理)

§2.1.1 合情推理(归纳推理)
【教学目标】 1.结合生活实例和已学数学实例,了解推理的含义和推理的常见模式; 2.了解合情推理的含义,理解归纳法的原理,体会归纳法在数学发现中的作用; 3.通过归纳法的学习,培养创新意识. 【重点难点】了解合情推理的含义,理解归纳法的原理,体会归纳法在数学发现中的作用 【教学设计】 〖问题情境〗 1、分析下面三个推理案例各有什么特点? 案例 1 前提 当 n ? 0 时,n ? n ? 11 ? 11 ; 当 n ? 1 时,n ? n ? 11 ? 11 ; 当 n ? 2 时,
2 2

n2 ? n ? 11 ? 13 ;当 n ? 3 时, n2 ? n ? 11 ? 17 ;当 n ? 4 时, n2 ? n ? 11 ? 23 ;当 n ? 5 2 时, n ? n ? 11 ? 31 ;11、11、13、17、23、31 都是质数.结论 对于所有的自然数 n , n2 ? n ? 11 的值都是质数.
案例 2 前提 矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和.结论 长方体的对角线的平方 等于长、宽、高的平方和. 案例 3 前提 所有的树都是植物,梧桐是树.结论 梧桐是植物. 2、分析下面三个推理案例有什么共同点? 案例 4 蛇是用肺呼吸的, 鳄鱼是用肺呼吸的, 海龟是用肺呼吸的, 蜥蜴是用肺呼吸的, 蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,所以,所有的爬行动物都是用肺呼吸的. 案例 5 三角形的内角和是 180°,凸四边形的内角和是 360°,凸五边形的内角和是 540°,??,由此我们猜想:凸 n 边形的内角和是(n-2)180°. 案例 6

2 2 ?1 2 2 ? 2 2 2 ? 3 b b?m ? , ? , ? , ??, 由此我们猜想: ? ( a, b, m 3 3 ?1 3 3 ? 2 3 3 ? 3 a a?m

均为正整数). 〖数学建构〗 【学生活动】 组织学生讨论上述两组问题 (可从这些方面比较: 结论是否正确, 一般与特殊的关系, 思维收敛还是发散等) 【数学建构】 1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 包含 的是什么; 和 两个部分, .任何 都 是推理所依据的命题,它告诉我们已知 . . 到 、由 到 的推理.

是根据前提推得的命题,它告诉我们推出的是什么.

2、从个别事实中推演出一般的结论的推理通常称为 3、 归纳推理的思维过程 (一般步骤) : 4、归纳推理的特点:归纳推理是由 其结论具有 特征.

选修 2-2 第 2 章 2.1.1 合情推理

苏教版高中数学 2-2(选修)

〖数学应用〗
例 1 已知数列 {an } 的每一项均为正数, a1 的一个通项公式.
2 2 ? 1, an ) ,试归纳出数列 ?1 ? an ? 1(n ? 1, 2,?

例 2(哥德巴赫猜想)4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=3+7=5=5,12=5+7,14=3+11=7+7,

16=3+13,18=5+13,20=3+17=7+13,??, 猜想: . 介绍 哥德巴赫猜想的由来和发展 归纳推理的特点: (1) 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现 象,该结论超越了前提所包容的范围 (2) 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和 实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具 (3) 归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一 步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题 例 3 数一数图中的凸多面体的面数 F、 顶点数 V 和棱数 E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系. 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

〖阅读〗 “完全归纳法”P65 归纳法分类—— 两种归纳法比较

南京市大厂高级中学高二数学(文理)

§2.1.1 合情推理(类比推理)
【教学目标】 1.了解合情推理的含义,理解类比推理的原理,体会类比推理在数学发现中的作用; 2.通过类比推理的学习,培养创新意识. 【重点难点】理解类比推理的原理,体会类比推理在数学发现中的作用 【教学设计】 〖问题情境〗 1、据传,春秋时代鲁国的公输班受到路边齿形草能割破行人的腿的启发,发明了锯 子.他用的是什么思维方法? 2、试根据等式的性质猜想不等式的性质: 等式性质 不等式性质 (1) (2) (3)

a ?b? a?c ?b?c
a ? b ? ac ? bc

a ? b ? a 2 ? b2

3、科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征: (1)火星也绕太阳运行、绕轴自转的行星; (2)有大气层,在一年中也有季节变更; (3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想:火星上也可能有生命存在. 〖数学建构〗 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相 似或相同,像这样的推理通常称为 (简称 ). 思维过程流程图(一般步骤) : 类比推理的一般模式为: , , , A 类事物具有性质 a,b,c,d, B 类事物具有性质 a ,b ,c , , , , , (a,b,c 与 a ,b ,c 相似或相同) 所以,B 类事物可能具有性质 d . 类比推理的几个特点 (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有 的认识为基础,类比出新的结果; (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; (3)类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能. 〖数学应用〗 例 1 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间 A c 中四面体性质的猜想. a
O C

b

B

选修 2-2 第 2 章 2.1.1 合情推理

苏教版高中数学 2-2(选修)

例 2(G.波利亚的类比)类比实数的加法与乘法,并列出它们类似的性质. 加法的性质 乘法的性质

例 3 试将平面上的圆与空间中的球进行类比 (两类对象的生成、 形状、 定义等属性) . 圆的性质 圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相等 与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心 较近的弦较长 圆的切线垂直于经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切 点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆 心 〖反馈练习〗 1.(历史悠久的高考题赏析 2005 年全国)计算机中常用的十六进位制是逢16进1的 计算制,采用数字0-9和字母A-F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关 系如下表
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15

球的性质

例如用16进位制表示E+D=1B,则A×B= 2 2 2 2 2.(历史悠久的高考题赏析 2001 年上海)已知两个圆①x +y =1,与②x +(y-3) =1 则由 ①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为

〖回顾反思〗 〖课后作业〗

2.1.2 演绎推理

南京市大厂高级中学高二数学(文理)

【学习目标】 1.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单的 推理. 2.通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 【重点难点】 重点:演绎推理的基本模式. 难点:演绎推理的应用. 【问题情境】 1.合情推理的两个模式及其特点是什么? 2.观察下列推理案例,看他们有什么特点? 案例 1 案例 2 所有金属都能导电, 铜是金属, 所以,铜能导电. 案例 3 三角函数都是周期函数, tanx 为三角函数, 所以,tanx 为周期函数. 问题 :像这样的推理是合情推理吗? 【学生活动】 【数学建构】 1.由__________命题推演出_____________命题的推理方法,通常称为演绎推理. 2. 3.三段论的组成: (1)大前提——提供了一个_____________ (2)小前提——指出了一个_____________ (3)结论——揭示了________与__________的内在联系. 4.三段论的常用的格式为: 是演绎推理的主要形式 一切奇数都不能被 2 整除, 2100+1 为奇数, 所以,2100+1 不能被 2 整除. 案例 4 全等的三角形面积相等, ⊿ABC≌⊿A1B1C1, 所以,S⊿ABC=S⊿A1B1C1.

. 5.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的一个子集,那么 S 中所有元素也都具有性质 P. 6.合情推理与演绎推理的联系与区别.

【数学应用】

选修 2-2 第 2 章 2.1.1 合情推理

苏教版高中数学 2-2(选修)

例 1 如图,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠A,DE//BA,求证:ED=AF.

例 2 已知 a,b,m 均为正实数,b<a,求证:

b b?m ? a a?m

【回顾反思】 1.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因; (1)整数是自然数, (2)无理数是无限小数, -3 是整数,

1 ? 0.333? 是无限小数, 3 1 是无理数. 3

-3 是自然数

2、将下列演绎推理写成三段论的形式: (1)一切奇数都不能被 2 整除,75 不能被 2 整除,所以 75 是奇数; (2)三角形的内角和是 180° , Rt ?ABC 的内角和为 180° ; (3)菱形对角线互相平分. 3、已知 lg2=m,计算 lg0.8.

南京市大厂高级中学高二数学(文理)

§2.1.3 推理案例欣赏
【教学目标】 1.通过对具体数学思维的考察,进一步认识合情推理与演绎推理的作用、特点以及两者 之间的紧密关系; 2.通过对具体问题的探究,学会“提出问题”和综合推理,培养科学的思维方法. 【重点难点】 学会“提出问题”和综合推理,培养科学的思维方法 【教学设计】 〖问题情境〗 1、 合情推理与演绎推理之间具有怎样的联系与差异? 2、 在 Rt ?ABC 中,若 ?C ? 900 , 则cos2 A ? cos2 B ? 1, 则在空间中类比给出四面 体性质的猜想,并给出证明——合情推理与演绎推理是怎样推进数学发现活动 的? 〖学生活动〗

〖推理案例〗
例 1 正整数平方和公式的推导。

提出问题 前 n 个正整数的和为 S1 (n) ? 1 ? 2 ? ? ? n ?

n(n ? 1) 2 2 2 2 那么,前 n 个正整数的平方和 S2 (n) ? 1 ? 2 ? ? ? n =?

① ②

推理探究

选修 2-2 第 2 章 2.1.1 合情推理

苏教版高中数学 2-2(选修)

例 2 棱台体积公式的推导。 (1)确定类比对象

(2)对类比对象的进一步分析

(3)猜想与证明

〖回顾反思〗 对于两种推理在数学活动中的作用,著名数学教育家 G·波利亚作了精辟的论述“数 学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个数学定理之前,先得猜测这个 定理的内容;在完全详细的证明之前,先得推测证明的思维。创造过程是一个艰苦曲折的 过程。数学家创造性的工作是论证推理,既证明。但这个证明是通过合情推理、通过猜想 而发现的。” 1、 案例中的数学活动是由哪些环节构成的? 2、 在这个过程中提出了哪些猜想? 3、 提出猜想时使用了哪些推理方法? 4、 合情推理与演绎推理分别发挥什么作用?


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