2017-2018学年(新课标)北师大版高中数学必修一名师考点精讲:3.4对数

2017-2018 学年(新课标)北师大版高中数学必修一 [读教材·填要点] 1.对数的概念与性质 (1)定义: 一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,即 ab=N,那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b.其中 a 叫作对数的底数,N 叫作真数.logaN 读作以 a 为底 N 的 对数. (2)常用对数与自然对数: 以 10 为底的对数叫作常用对数, 记作 lg_N; 以 e 为底的对数叫作自然对数, 记作 ln_N. (3)基本性质: ①负数没有对数,即 logaN 中真数必须大于零; ②1 的对数为 0,即 loga1=0; ③底数的对数为 1,即 logaa=1; ④对数恒等式:alogaN=N. 2.对数的运算性质 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,则: (1)积的对数:loga(MN)=logaM+logaN; M (2)商的对数:loga =logaM-logaN; N (3)幂的对数:logaMn=nlogaM(n∈R). 3.对数的换底公式 logaN logbN= (a,b>0,a,b≠1,N>0). logab [小问题·大思维] 1.指数式 ab=N 和对数式 logaN=b(a>0 且 a≠1,N>0)有什么关系? 提示:关系如图示 2.如何用对数的定义证明 alogaN=N? 提示:因为若 ab=N,则 b=logaN(a>0 且 a≠1),所以由等量代换得 alogaN=N. 3.对数运算性质(1)当 M、N 同号时成立吗? 提示:不一定成立.如 lg [(-5)×(-3)]有意义, 而 lg(-5)、lg(-3)无意义. [研一题] [例 1] (1)将对数式 log127=-3 化为指数式; 3 1 (2)将指数式( )-2=16 化为对数式; 4 (3)求式子 log2(log5x)=0 中的 x; 1 (4)计算 4 (log29-log25). 2 1 [自主解答] (1)因为 log127=-3,所以( )-3=27; 3 3 1 (2)因为( )-2=16,所以 log116=-2; 4 4 (3)因为 log2(log5x)=0,所以 log5x=1,所以 x=5; 2log 29 9 (4)原式=2log 29-log 25= = . 2log 25 5 [悟一法] (1)对数式和指数式互化的主要依据是关系式 ab=N 等价于 b=logaN(a>0 且 a≠1,N >0),要注意 a、b、N 的位置. (2)有关“底数”和“1”的对数,可利用对数的性质求出其值为“1”和“0” ,化成常数,有利 于化简和计算. (3)对于对数恒等式 alogaN=N 要注意其结构特点:①它们是同底的;②指数中含有对数 形式;③其值为对数的真数. [通一类] 1 1.(1)将指数式 104=10 000 和( )m=5 化为对数式; 3 1 (2)将对数式 log0.10.01=2 和 ln x= 化为指数式; 2 (3)求式 log3(lg x)=1 中的 x; (4)计算 71-log75 的值. 解:(1)lg 10 000=4, m=log15; 3 1 (2)0.12=0.01, e2=x; (3)∵log3(lg x)=1,∴lg x=3,∴x=103=1 000; 7 7 (4)原式= log 5= . 7 7 5 [研一题] [例 2] 计算下列各式的值. (1)log2 lg (2) 7 1 +log212- log242; 48 2 27+lg 8-lg lg 1.2 1 000 ; 2 (3)lg 52+ lg 8+lg 5·lg 20+lg 22. 3 [自主解答] 1 (1)原式=log2 7×12 48× 42 =log2 1 =- ; 2 2 3 3 3 lg 3+3lg 2- (lg 3+2lg 2-1) 2 2 2 3 (2)原式= = = ; lg 3+2lg 2-1 lg 3+2lg 2-1 2 (3)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2 =2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=2+1=3. [悟一法] 利用对数的运算性质化简、求值的一般策略:①把复杂的真数化简;②正用公式:将式 中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简; ③逆用公式:将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则,将它们化为真数的积、商、 幂、方根,然后化简求值. [通一类] 2.用 logax,logay,logaz 表示下列各式: xy x2 y (1)loga ; (2)loga . z 3 z xy 解:(1)loga =loga(xy)-logaz=logax+logay-logaz; z x2 y 3 (2)loga =loga(x2 y)-loga z 3 z =logax2+loga y-loga 3 z 1 1 =2logax+ logay- logaz. 2 3 [研一题] [例 3] (1)计算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258). 2 1 (2)设 3a=4b=36,求 + 的值. a b log225 log25 log54 log58 [自主解答] (1)法一:原式=(log253+ + )(log52+ + ) log24 log28 log525 log5125 2log25 log25 2log52 3log52 =(3log25+ + )(log52+ + ) 2log22 3log22 2log55 3log55 1 log22 =(3+1+ )log25·(3log52)=13log25· 3 log25 =13. lg 125 lg 25 lg 5 lg 2 lg 4 l

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