专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用-备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板Word版含解析_图文

【高考地位】 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法,它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实 际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 主要涉及分段函 数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想,可培养逻辑思维能力和抽象思维能 力和严密的思考问题的能力。 【方法点评】 类型一 分段函数 使用情景:分段函数 解题模板:第一步 第二步 第三步 例 1 函数 f ( x) ? ? A. 1 【答案】C 【解析】第一步,通过观察分析,决定如何对自变量进行分类: 令 log2 a ? 0 和 a ? 4a ? 1 ? 0 得 a ? 1 ,a ? ?2 ? 3,a ? ?2 ? 3, 2 通过观察分析,决定如何对自变量进行分类; 通过运算、变形,利用常见基本初等函数,将问题转化为几段加以求解; 得出结论. ?log2 x, 2 x?0 ? x ? 4 x ? 1, x ? 0 17 ? 5 16 ,若实数 a 满足 f ( f (a)) =1,则实数 a 的所有取值的和为( ) B. C. ? 15 ? 5 16 D. ? 2 若 ? 2 ? 3 ? a ? ?2 ? 3 则 f ?a ? ? a 2 ? 4a ? 1,所以 f ? f ?a ?? ? a 2 ? 4a ? 1 ? 4 a 2 ? 4a ? 1 ? 1 ? 1 , 2 ? ? ? ? 所以 a ? ?2 ? 3 或 a ? ?2 ? 3 ; 若 a ? ?2 ? 3 则 f ?a ? ? a 2 ? 4a ? 1,所以 f ? f ?a ?? ? log2 a 2 ? 4a ? 1 ? 1 , 所以 a ? ?2 ? 5 (舍)或 a ? ?2 ? 5 ; 第三步 得出结论. ? ? 所以 a 所有可能值为 4,?2 ? 5 ,1,?2 ? 3,?2 ? 3, 15 1 ? 5 ,故选 C. ,其和为 ? 16 16 ) ? x ? 2, x ? ?1 ? 【变式演练 1】在函数 y ? ? x 2 , ? 1 ? x ? 2 中,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的值是( ? 2 x, x ? 2 ? A. 1 【答案】C 【解析】 B. 1或 3 2 C. ?1 D. 3 x ? 2 ? 1 ? x ? ?1 ; 2x ? 1 ? x ? x2 ? 1 ? x ? 1 ; 试题解析: 当 x ? ?1 时, 当 ?1 ? x ? 2 时, 当 x ? 2 时, (舍). 考点:本题考查函数性质 1 2 2 ? ? x , x ? ? 0, ?? ? 例 2 已知函数 f ? x ? ? ? 在区间 ? ??, ?? ? 上是增函数,则常数 a 的取值范围是 3 2 x ? a ? 3 a ? 2, x ? ?? , 0 ? ? ? ? ( ) B. ? ??,1? A. ?1, 2 ? 【答案】C ? 2, ?? ? C. ?1, 2? D. ? ??,1? ? 2, ?? ? 第三步,得出结论: 所以只需满足 a 2 ? 3a ? 2 ? 0 ,解得: 1 ? a ? 2 ,所以答案为 C. 考点:1.分段函数;2.函数的单调性. 点评:本题考查了分段函数的单调性,渗透着分类讨论的数学思想,考查学生正确理解函数的单调性的概 念,其解题的关键点有二:其一是分段函数在每一个区间上的增函数(或减函数) ;其二是满足函数在整个 区间上是增函数 (或减函数) , 即左段的函数的最大值 (或最小值) 小于等于右段函数的最小值 (或最大值) . 【变式演练 2】 【2018 年全国(新课标 I 卷) 】已知函数 存在 2 个零点,则 a 的取值范围是 A. [–1,0) 【答案】C B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞) .若 g(x) 点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是 将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数 的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果. 例3 ?( x ? a) 2 , x ? 0, ? 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 的取值范围为( f ( x) ? ? 1 ? x ? ? a, x ? 0, x ? (B)[-1,0] (C)[1,2] (D) [0, 2] ). (A)[-1,2] 【答案】D 考点:分段函数的单调性与最值问题. 2 ? ? x ? ? 3, x ? 1 【变式演练 3】已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?3)) ? x 2 ?lg( x ? 1), x ? 1 ? 【答案】 0 , 2 2 - 3 . 【解析】 , f ( x ) 的最小值是 . f ( f (?3)) ? f (1) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 2 2 ? 3 ,当且仅当 x ? 2 时,等 号成立,当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,当且仅当 x ? 0 时,等号成立,故 f ( x) 最小值为 2 2 ? 3 . 考点:分段函数 类型二 含参数函数的最值问题 使用情景:含参函数在区间上的最值问题 解题模板:第一步 第二步 通过观察函数的特征,分析参数的位置在什么位置; 通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论; 第三步 其最值; 第四步 根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性,并根据函数的单调性求出 得出结论. 例 4 已知函数 y ? f ( x) 是二次函数,且满足 f (0) ? 3 , f (?1) ? f (3) ? 0 (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)若 x ?[t , t

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