正弦定理余弦定理应用举例(距离)(高度)(角度)_图文

1.2 正弦定理余弦定理 应用举例

1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量: ①距离问题、②高度问题、③角度问题、 ④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.

实际应用问题中有关的名称、术语

1.仰角、俯角、视角。
(1).当视线在水平线上方时,视线与水平线所成角 叫仰角。 (2).当视线在水平线下方时,视线与水平线所成角 叫俯角。 (3).由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。(一 般这两条视线过被观察物的两端点) 视线 仰角 俯角 视线 水平线

2.方向角、方位角。

(1).方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成 的小于900的水平角叫方向角。
(2).方位角:指北方向线顺时针旋转到目标方向线 所成的角叫方位角。 B 300 北 A 点A在北偏东600,方位角600. 0 60 点B在北偏西300,方位角3300. 西 点C在南偏西450,方位角2250. C 点D在南偏东200,方位角1600. 450 200 南 D 东

3.水平距离、垂直距离、坡面距离。

坡面距离 α 水平距离 坡度(坡度比) i: 垂直距离/水平距离 坡角α: tanα=垂直距离/水平距离

垂 直 距 离

要测量不可到达的两点间的距离,可用 哪些方法?
如图:设A、B两点在河的两岸,怎样测 量两点之间的距离?
B

A

方案一:构造直角三角形
在河岸的一侧取一点C,使得AC⊥BC 若能测得AC的长及∠BAC,那么AB即可求出 B

A

此方案有缺陷吗?

C

题型分类 深度剖析
题型一 与距离有关的问题
【例1】如图,设A,B两点在河的两岸.需要测量A,B 两点间的距离,测量者在A的同侧河岸边选定一点 C.测出AC=55米, ∠ BAC=45°, ?ACB ? 75?

求A,B两点间的距离.

B

A

C

如图,A、B两点都在河的对岸(不可到 达),设计一种测量A、B两点间距离的 方法。

.

A

.

B

?
D.

?

?

?
基 线

.C

【例2 】 要测量对岸A、B两点之间的距离,选取

相距 3 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,

∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求
A、B之间的距离. 分析题意,作出草图,综合运用正、 余弦定理求 解.

解 如图所示在△ACD中,
∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, ∴AC=CD= 3km. 在△BCD中,∠BCD=45°, ∠BDC=75°,∠CBD=60°.
? BC ? 3 sin 75? ? sin 60? 6? 2. 2

在△ABC中,由余弦定理,得
AB 2 ? ( 3)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? 2 ? 3 ? 6 ? 2 ? cos 75? 2 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5, ? AB ? 5(km). ? A、B之间的距离为 5 km .

练习1 海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛 成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,那么B岛和 C岛间的距离是 。 C 60°

解:应用正弦定理,C=45?
BC/sin60? =10/sin45 ? BC=10sin60? /sin45 ? 答:

A

75°

5 6 海里
B

我舰在敌岛 A 南偏西 50°相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正 由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰? C
又在△ABC中由正弦定理得: AC ? BC

sin B

sin A

10? A
50? 40?
B

AC sin A 5 3 故 sin B ? ? BC 14 ≈0.6186

B ≈ 38013’
故我舰行的方向为北偏东

11047’

探究提高 求距离问题要注意:
(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所
求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若

有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求
解.

(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可
用,就选择更便于计算的定理.

(3)阅读课本第11页和第12页的例1,例2的 距离测量方法.

AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为 建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度 AB的方法
分析:由于建筑物的底部B 是不可到达的,所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识,只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角,就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。

题型二 与高度有关的问题

例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑 物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法
解:选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α,β,CD=a,测角仪 器的高是h.那么,在⊿ACD中, 根据正弦定理可得

a sin ? sin ? AB ? AE ? h ? AC sin ? ? h ? ?h sin(? ? ? )

a sin ? AC ? sin(? ? ? )

练习1 如图,要测底部不能到达的烟囱的高AB,从与烟囱底 部在同一水平直线上的C、D两处,测得烟囱的仰角分别是

? ? 60? ,CD间的距离是12m.已知测角仪器 ? ? 45?和
高1.5m,求烟囱的高。 图中给出了怎样的一个 几何图形?已知什么,

求什么?

分析:如图,因为AB=AA1+A1B,又 已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。

B

解: 在?BC1 D1中, ?C1 BD1 ? 60 ? ? 45 ? ? 15 ?,

由正弦定理可得 : C1 D1 BC1 ? sin B sin D1
C1 C

?
D1 D

?

A1
A

C1 D1 ? sin D1 12 ? sin 120 ? ? BC1 ? ? sin B sin 15 ? ? 18 2 ? 6 6
2 ? A1 B ? BC1 ? 18 ? 6 3 2 ? AB ? A1 B ? AA1 ? ( 19.5 ? 6 3) (m)
答:烟囱的高为( . 19.5 ? 6 3) (m)

例2.在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的
俯角分别是30°,60°,则塔高为多少米 解析 作出示意图如图, 由已知:在Rt△OAC中,OA=200, ∠OAC=30°,则OC=OA· tan∠OAC =200tan 30°= 200 3 .
tan 30? ? 200 , 3 200 3 ,∠BAD=30°, 3
200 3 ? 3

在Rt△ABD中,AD=

3

则BD=AD· tan∠BAD=

? BC ? CD ? BD ? 200 ? 200 ? 400 . 3 3

练习2 在山顶铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角α=75°,在塔 底C处测得A处的俯角β=45°。 已知铁塔BC部分的高为30m,求 出山高CD.
分析:根据已知条件,应该设 法计算出AB或AC的长 解:在⊿ABC中, ∠BCA=90°+β=1350, ∠ABC=90°-α=150, ∠BAC=α-β=300, ∠BAD=α=750. BC AB ? 根据正弦定理, sin ?BAC sin ?ACB

BC sin ?ACB 30 sin135 0 所以,AB ? ? ? 30 2 0 sin ?BAC sin 30

BD ? AB sin ?BAD ? 30 2 ? sin 75 6? 2 ? 30 2 ? ? 15( 3 ? 1) 4

0

CD ? BD ? BC ? 15 ? 15 3 ? 30 ? 15 3 ? 15(km)

练习3 如图所示,测量河对岸的 塔高AB时,可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D,现测得

∠BCD=α,∠BDC=β,CD=x,并
在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.

解 在△BCD中,∠CBD=π?α?β
由正弦定理得 BC CD ? , sin ?BDC sin ?CBD x ? sin ? CD sin ? BDC 所以BC ? ? sin ?CBD sin(? ? ? ) x tan ? sin ? 在 Rt ?ABC中, AB ? BC tan ?ACB ? . sin(? ? ? )

探究提高 解斜三角形应用题的一般步骤是:
(1)准确理解题意,分清已知与所求;
(2)依题意画出示意图;

(3)分析与问题有关的三角形;
(4)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形 , 逐步求解问题的答案; (5)注意方程思想的运用; (6)要综合运用立体几何知识与平面几何知识.

n mile:海里,航海上度量距离的单位。
没有统一符号 它等于地球椭圆子午线上纬度1分 (一度等于六十分,一圆周为360度) 所对应的弧长。

1海里=1.852公里(千米) (中国标准)

题型三 与角度有关的问题

例1 如图,某渔轮在航行中不幸遇险,发出 呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,测出该 渔轮在方位角为45°,距离为10n mile的C 处,并测得渔轮正沿方位角为105 °的方向, 以9n mile/h的速度向小岛靠拢.我海军舰艇 立即以21n mile/h的速度前去营救.求舰艇 的航向和靠近渔轮所需的时间(角度精确到 北 0.1 °,时间精确到1min) 北 105° C 方位角:指从正北方向 B 顺时针旋转到目标方向线 的水平角.


北 解:设舰艇收到信号后x h 北 105° C 在B处靠拢渔轮,则AB= B 21x,BC=9x,又AC=10, ∠ACB=45°+(180°- 105°)=120°. A 由余弦定理,得: 2 2 2 AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos ?ACB,即

(21x) ?10 ? (9x)
2
2

2

2

? 2 ?10 ? 9 x cos120?

化简得:36 x ? 9 x ? 10 ? 0 解得:x=2/3(h)=40(min)(负值舍去)

由正弦定理,得

所以∠BAC≈21.8°,方位角为45 ° + 21.8 °=66.8 ° 答:舰艇应沿着方位角66.8 °的方向航行, 经过40min就可靠近渔轮.

BC sin ?ACB 9 x sin120 ? 3 3 sin ?BAC ? ? ? AB 21x 14

练习:海中有岛A,已知A岛周围8海里内有暗礁,今有一货 轮由西向东航行,望见A岛在北偏东75°,航行20 2 海里后,

见此岛在北偏东30°,如货轮不改变航向继续前进,问有无
触礁危险。

A
北 北

B

20 2

C

M

解: 在△ABC中∠ACB=120°∠ABC=15°由正弦定理得:

AC BC ? sin15? sin 45?
由BC=20 2 ,可求AC ∴ 得AM= 15 2 ? 5 6 ≈8.97>8

A
∴无触礁危险 北 75? 北 30?
20 2

B

C

M

[例2].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A 3 ? 1 n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的 方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3

n mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以
10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,

问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
分析 如图所示,注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等,若在D 处相遇,则可先在△ABC中求出BC, 再在△BCD中求∠BCD.

解:设缉私船用t h在D处追上走私船, 则有CD=10 3 t,BD=10t.

在△ABC中,∵AB=
∠BAC=120°, =(

3 -1,AC=2,

∴由余弦定理,

得BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC
3

-1)2+22-2×( 3 -1)×2×cos 120°=6,
2sin120? 6

由正弦定理, sin ?ABC ? ∴BC= 6 ? ,

2 ? ? ?ABC ? 45? 2

即∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD中,由正弦定理,得
sin ?BCD ? BD ? sin ?CBD ? 10t sin120? ? 1 , CD 2 10 3t

∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上走

练习2
如图.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海 里的 B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即 前往救

援.同时把消息告知在甲船的南偏西 30?.相距10海里
C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线

前往B处营救(角度精确到1).
A B

71

0

C

例3 如图:甲船以每小时 30 2海里的速度向正

北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行. 当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距20海里. 当 甲船航行20分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲 船的北偏西120°方向的 B2 处,此时两船相 距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? ?
120

B2

A2

105? A1

B1

题型四 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 [例4] 如图所示,已知半圆的直径AB=2,

点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的
一个动点,以DC为边作等边△PCD,且点D与 圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的 最大值.

解 设∠POB=θ,四边形面积为y, 则在△POC中,由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP· OCcos θ=5?4cos θ.
? y ? S ?OPC ? S ?PCD ? 1 ? 1 ? 2sin ? ? 3 (5 ? 4cos ? ) 2 4 ? 2sin(? ? ? ) ? 5 3 . 3 4 ? 当? ? ? ? ? ,即? ? 5? 时, ymax ? 2 ? 5 3 . 3 2 6 4 所以四边形OPDC 面积的最大值为2 ? 5 3 . 4

思想方法 感悟提高
1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念

建立三角函数模型.
2.把生活中的问题化为二维空间解决,即在一个 平面上利用三角函数求值. 3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.


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