2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析_图文

高一数学竞赛训练试题(3)

一.填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分)

1.若 x≥ 2 ,则函数 f (x) ? x ? 1 的最小值是



x ?1

2.已知函数 f (x) ? ex .若 f (a ? b) ? 2 ,则 f (3a) ? f (3b) 的值是



? ? 3.已知数列 an 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为前 n 项和,且满足

? ? an2 ? S2n?1 , n ? N* ,则数列 an 的通项 an ?



4.若函数

f

(x)

?

??2x2 ? 3x, x ≥ 0,

? ???2

x

2

?

ax,

x

?

0

是奇函数,则实数

a

的值是



5.已知函数 f (x) ? lg | x ? 10 | .若关于 x 的方程 f 2 (x) ? 5 f (x) ? 6 ? 0 的实根之和为 3

m ,则 f (m) 的值是



6.设? 、 ? 都是锐角,且 cos? ? 5 , sin(? ? ? ) ? 3 ,则 cos ? 等于



5

5

7.设 n≤2000,n∈N,且 ? θ∈R 满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ,那么这样的 n 有_______



8.若满足 ?ABC ? ? , AC ? 3, BC ? m 的△ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围 3





9.设集合 S ? ?1, 2, ,8? , A , B 是 S 的两个非空子集,且 A 中的最大数小于 B 中的

最小数,则这样的集合对 ( A, B) 的个数是



10.如果正整数 m 可以表示为 x2 ? 4 y2 ( x ,y ? Z ),那么称 m 为“好数”.问 1,2,3,…,

2014 中“好数”的个数为



二.解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)

11.已知 a , b , c 为正实数, ax ? by ? cz , 1 ? 1 ? 1 ? 0 ,求 abc 的值. xyz

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12.已知不等式

2(2a ? 3)cos(?

?

?)? 4

sin?

6 ? cos?

? 2sin 2?

[ ? 3a ?6 对于?

? ?[0, ]
2



成立.求 a 的取值范围.

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13.如图,已知 ?ABC 是锐角三角形,以 AB 为直径的圆交边 AC 于点 D ,交边 AB 上 的高 CH 于点 E .以 AC 为直径的半圆交 BD 的延长线于点 G .求证: AG ? AE .
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14.(1)正六边形被 3 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 4 个三角形.将每个
三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.怎样 分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大?
(2)凸 2016 边形被 2013条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 2014 个三
角形.将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜 色不同.在上述分割并涂色的所有情形中,红色三角形个数与蓝色三角形个数之差 的最大值是多少?证明你的结论.
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解:设 x2-4y2=m=ab(, b>a),则有(x+2y)(x-2y)=ab. 所以 x+2y=b、x-2y=a。解得:x=a+2b, y=b4-a。可见,b-a 是 4 的倍数即可。分别对 a 为奇数、单偶数、双偶数的情况讨论。 (1)a 为奇数 2p+1 时(p≥0), m=ab=(2p+1)[(2p+1)+4q]=4(p2+p+2pq+q)+1,即 m 是(4k+1) 型(k≥0)。由 2013=1+4(n-1),解得 n=504; (2)a 为单偶数 4p+2 时(p≥0),m=ab=(4p+2)[(4p+2)+4q]=8(2p2+2p+2pq+q)+4,m 是(8k+4) 型,(k≥0)。由 2012=4+8(n-1),解得 n=252; (3)a 为双偶数 4p 时(p≥0),m=ab=4p(4p+4q)=16p(p+q),m 是 16k 型,(k≥1)。 由 2000=16+16(n-1),解得 n=125; 1 到 2014 内可表示为 x2-4y2 的自然数 m 的个数为 504+252+125=881。
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7.设 n≤2000,n∈N,且 ? θ∈R 满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ,那么这样的 n 有_______



[解] 由题设得

[cos(? ?? ) ? i sin(? ?? )]n ? cosn(? ?? ) ? i sin(? ?? ) ? cos(? ? n? ) ? i sin(? ? n? )

2

2

2

2

2

2

,所以 n=4k+1.又因为 0≤n≤2000,所以 1≤k≤500,所以这样的 n 有 500 个。

12.已知不等式

2(2a ? 3)cos(?

?

?)? 4

sin?

6 ? cos?

? 2sin 2?

[ ? 3a ?6 对于?

?[0, ? ] 2



成立.求 a 的取值范围.

分析 所给不等式中有两个变量,给出其中一个的范围,求另一个的范围,常采用

分离变量的方法.注意到与角 θ 有关的几个三角函数式, cos(? ? ? ) ? 2 (sin? ? cos? ) , 42
sin 2? ? 2sin? cos? ,因此考虑令 sin? ? cos? ? x 进行变量代换,以化简所给不等式,再寻 求解题思路.

解 设 sin? ? cos? ? x ,则 cos(? ? ? ) ? 2 x, sin 2? ? x2 ?1 ,当? ?[0, ? ] 时,

42

2

x ? ??1, 2?? .从而原不等式可化为:

(2a ? 3)x ? 6 ? 2(x2 ?1) ? 3a ? 6 ,即 2x2 ? 2ax ? 3x ? 6 ? 3a ? 4 ? 0 ,

x

x

? ? 2x(x

?

2 x

?

a)

?

3(x

?

2 x

?

a)

?

0



(2x

?

3) ???

x

?

2 x

?

a

? ??

?

0

x ? ??1, 2?? (1) [来源:学科网]

∴原不等式等价于不等式(1),

x ? ??1, 2?? , ? 2x ? 3 ? 0

? ? (1)不等式恒成立等价于 x ? 2 ? a ? 0 x

x ? ??1,

2?? 恒成立.









a?(

?x 2 x

m)

a

x ?(x??

1?? , .2 又)

f (x) ? x ? 2 x



??1,

2 ??

上递减,

2

?(x ? x

m)

a? x

x3? ??(

?? 1,, 所以2 a )? 3 .

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