江苏省南通市天星湖中学2015-2016学年高二数学上学期第一次阶段性教学反馈试题

2015-2016 学年第一学期阶段性教学反馈 高二数学试题
考试时间:120 分钟 分值:160 分 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........
( ,m)三点共线,则 m 的值为 1.若 A(-2,3),B(3,-2),C 2 1



. .

2.过两点 A (m

2 ? 2,m 2 ? 3)

2 ,B (3 - m ? m ,2m) 的直线 l 的倾斜角为 45°,则 m= ▲

3.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 ▲



4.直线 l 与两条直线 x-y-7=0,y=1 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点为(1,-1), 则直线 l 的斜率为 ▲
2


2

5.过点 P(3,6)且被圆 x +y =25 截得的弦长为 8 的直线方程为 ▲ 6.直线 xcos α + 3y+2=0 的倾斜角的范围是 ▲ .



7.已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值 范围是 ▲ .

8 .若直线 2ax ? by ? 2 ? 0 (a ? 0, b ? 0) 始终平分圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的圆周,则

1 1 ? 的最小值为 ▲ a b

. .

2 2 9.点 P ( x, y ) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x ? y 的最小值是 ▲

10 .由直线 ▲ .

上的点向圆

引切线,则切线长的最小值为

2 2 11. 若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,

则直线 l 的倾斜角的取值范围是





12. 过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为 13.在圆 x +y =5x 内,过点 最长弦长为 a n,若公差
2 2





有 n 条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项 a 1, ,那么 n 的取值集合 ▲ .

14 . 若实数 a,b,c 成等差数列, 点P (-3,2) 在动直线 ax+by+c=0 上的射影为 H, 点Q (3,3) ,
-1-

则线段 QH 的最大值为 ▲ . ........ 二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题 14 分) 已知直线 l 经过点 A (1,3) ,求: (1)直线 l 在两坐标轴上的截距相等的直线方程; (2)直线 l 与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程.

16.(本小题 14 分)已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线

4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切.
(1)求圆的方程; (2)设直线 ax ? y ? 5 ? 0(a ? 0) 与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围.

x-y+2≥0, ? ? 17.(本小题 15 分)已知实数 x,y 满足?x+y-4≥0, ? ?2x-y-5≤0,
求:(1)z=x+2y-4 的最大值; (2)z=x +y -10y+25 的最小值; 2y+1 (3)z= 的取值范围. x+1
2 2

-2-

18.(本小题 15 分)已知两圆 x +y -2x-6y-1=0.x +y -10x-12y+m=0. (1)m 取何值时两圆外切? (2)m 取何值时两圆内切? (3)当 m=45 时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

2

2

2

2

-3-

19. (本小题 16 分)已知方程 x +y -2x-4y+m=0. (1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x+2y-4=0 相交于 M,N 两点,且 求 m 的值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. (其中 O 为坐标原点)

2

2

20. (本小题 16 分)已知圆 M 的方程为 x +(y-2) =1,直线 l 的方程为 x-2y=0,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B. (1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为(2,1),过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 的方程; (3)求证:经过 A,P,M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标. 时,求直线 CD

2

2

-4-

2015-2016 学年第一学期阶段性教学反馈 高二数学试题 考试时间:120 分钟 分值:160 分

命题人:梁树花 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1 ?1 ? 1.若 A(-2,3),B(3,-2),C? ,m?三点共线,则 m 的值为___ _____. 2 ?2 ? 2.过两点 A(m +2,m -3),B(3-m-m ,2m)的直线 l 的倾斜角为 45°,则 m=___-2_____. 3.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 x-2y-1=0____. 4.直线 l 与两条直线 x-y-7=0,y=1 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点为(1,-1), 2 则直线 l 的斜率为____- _______. 3 5 . 过 点 P(3 , 6) 且 被 圆 x +y =25 截 得 的 弦 长 为 8 的 直 线 方 程 为 __3x-4y+15=0 和 x=3 __________.
2 2 2 2 2

? π ? ? 5π ? 6.直线 xcos α + 3y+2=0 的倾斜角的范围是__?0, ?∪? ,π ?______. 6? ? 6 ? ?

7.已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值 范围是
3 (— ?, ] 4

?[2,??)

8 . 若直线 2ax ? by ? 2 ? 0 (a ? 0, b ? 0) 始终平分圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的圆周,则

1 1 ? 的最小值为 a b

4 ▲



2 2 9.点 P ( x, y ) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x ? y 的最小值是______8__

10 . 由 直 线 为

上的点向圆 .

引切线,则切线长的最小值

2 2 11. 若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,

则直线 l 的倾斜角的取值范围是

[

? 5? , 12 12

]



-5-

12.过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为___(x-3) +y
2

2

=2_______.
2 2

13.在圆 x +y =5x 内,过点 最长弦长为 a n,若公差

有 n 条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项 a 1, ,那么 n 的取值集合____{4,5,6,7} ________.

14 . 若实数 a,b,c 成等差数列, 点P (-3,2) 在动直线 ax+by+c=0 上的射影为 H, 点Q (3,3) , 则线段 QH 的最大值为▲
5?2 2

.

........ 二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题 14 分) 已知直线 l 经过点 A (1,3) ,求:

(1)直线 l 在两坐标轴上的截距相等的直线方程; (2)直线 l 与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程; 解: (1)若直线 l 的截距为 0 ,则直线方程为 y ? 3x ; 若直线 l 的截距不为零,则可设直线方程为:

x y ? ? 1 ,由题设有 a a

1 3 1 ? ? 1 ? a ? , 所以直线方程为: x ? y ? 4 ? 0 , a a 4
综上,所求直线的方程为 3x ? y ? 0或x ? y ? 4 ? 0 。 (2)设直线方程为:

x y 1 3 1 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) , ? ? 1 ,而面积 S ? ab , a b a b 2

又由

1 3 13 1 3 ? ab ? 12 , ? ?1 得 1? ? ? 2 a b ab a b

等号当且仅当

1 3 1 ? ? 成立, 即当 a ? 2, b ? 6 时,面积最小为 12 a b 2

所求直线方程为 3x ? y ? 6 ? 0

16(本小题 14 分)已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线

4 x ? 3 y ? 29 ? 0
相切. (1)求圆的方程; (2)设直线 ax ? y ? 5 ? 0(a ? 0) 与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围;
-6-

解: (1)设圆心为 M(m,0) (m ? Z ) 。由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切,且半径为 5, 所以

| 4m ? 29 | ? 5,即 | 4m ? 29 |? 25。 因为 m 为整数,故 m=1。 5
···················· 4?

故所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25。

(2)把直线 ax ? y ? 5 ? 0即y ? ax ? 5 代入圆的方程, 消去 y 整理,得 (a 2 ? 1) x 2 ? 2(5a ? 1) x ? 1 ? 0 。 由于直线 ax ? y ? 5 ? 0 交圆于 A,B 两点,故 ? ? 4(5a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0 。
2 即 12a ? 5a ? 0 ,由于 a ? 0 ,解得 a ?

5 5 。所以实数 a 的取值范围是 ( ,?? ) 。 ·· 8 ? 12 12

x-y+2≥0, ? ? 17.(本小题 15 分)已知?x+y-4≥0, ? ?2x-y-5≤0,
求:(1)z=x+2y-4 的最大值; (2)z=x +y -10y+25 的最小值; 2y+1 (3)z= 的取值范围. x+1 解
2 2

作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标 A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).(5 分) (1)易知可行域内各点均在直线 x+2y-4=0 的上方,故 x+2y-4>0,将点 C(7,9)代入 z 得最大值为 21.(8 分) (2)z=x +y -10y+25=x +(y-5) 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的 平方,过 M 作直线 AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上, 9 2 故 z 的最小值是|MN| = .(11 分) 2 1? ? 表示可行域内任一点(x,y)与定点 Q?-1,- ?连线的斜率的两倍, 2? x-?-1? ?
2 2 2 2

(3)z=2×

y-?- ? 2

? 1? ? ?

7 3 因此 kQA= ,kQB= , 4 8

?3 7? 故 z 的范围为? , ? ?4 2?
-7-

18.(本小题 15 分) 已知两圆 x +y -2x-6y-1=0.x +y -10x-12y+m=0. (1)m 取何值时两圆外切? (2)m 取何值时两圆内切? (3)当 m=45 时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解:(1)由已知可得两个圆的方程分别为(x-1) +(y-3) =11、(x-5) +(y-6) =61-m, 两圆的圆心距 d= 由两圆的半径之和为 (2)由两圆的圆心距 d= + =5,两圆的半径之和为 =5,可得 m=25+10 + . ,
2 2 2 2

2

2

2

2

=5 等于两圆的半径之差为| |,

即|

-

|=5,可得

得 m=25-10
2

=5 (舍去),或 .
2

-

=-5,解

(3)当 m=45 时,两圆的方程分别为 (x-1) + (y-3) =11、(x-5) +(y-6) =16, 把两个圆的方程相减,可得公共弦所在的直线方程为 4x+3y-23=0. 第一个圆的圆心(1,3)到公共弦所在的直线的距离为 d= =2 . =2,可得弦长为 2

2

2

-8-

19(本小题 16 分)已知方程 x +y -2x-4y+m=0. (1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x+2y-4=0 相交于 M,N 两点,且 求 m 的值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. 解:(1)x +y -2x-4y+m=0 即(x-1) +(y-2) =5-m(2 分) 若此方程表示圆,则 5-m>0∴m<5
2 2 2 2

2

2

(其中 O 为坐标原点)

(2) ∵△=(-16) -4×5×(8+m)>0 ∴ ∵ ,
2

x=4-2y 代入得 5y -16y+8+m=0

2

得出:x 1x 2+y 1y 2=0 而 x 1x 2=(4-2y 1)?(4-2y 2)=16-8(y 1+y 2)+4y 1y 满足 故的 m 值为 .

2

∴5y 1y 2-8(y 1+y 2)+16=0,∴

(3) 设 圆 心 为 (a , b) , 且

O

点 为 以

MN

为 直 径 的 圆 上 的 点

半径

圆的方程

20. (本小题 16 分)已知圆 M 的方程为 x +(y-2) =1,直线 l 的方程为 x-2y=0,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B. (1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为(2,1),过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 的方程; 时,求直线 CD

2

2

-9-

(3)求证:经过 A,P,M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.

解:(1)设 P(2m,m),由题可知 MP=2,所以(2m) +(m-2) =4, 解之得: , .

2

2

故所求点 P 的坐标为 P(0,0)或

(2)设直线 CD 的方程为:y-1=k(x-2),易知 k 存在,

由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为 解得,k=-1 或

,所以



,故所求直线 CD 的方程为:x+y-3=0 或 x+7y-9=0. ,

(3)设 P(2m,m),MP 的中点

因为 PA 是圆 M 的切线,所以经过 A,P,M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为: 化简得:x +y -2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于 m 的恒等式, 故 x +y -2y=0 且(2x+y-2)=0,
2 2 2 2

解得

或 , )

所以经过 A,P,M 三点的圆必过定点(0,2)或(

- 10 -


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