2018年人教版高三数学一轮复习讲义:必修一第10讲 函数的综合问题

函数的综合问题 【学前诊断】 1. [难度]易 函数 y ? ln( x ?1) ? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为( ) . A. (?4, ? 1) 2. [难 度]中 B. (?4, 1) C. (?1, 1) D. (?1,1] 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? f ? f ?5?? ? __________ . 3. 1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? x? [难度]中 对任意函数 f ( x) 、 g ( x) 在公共定义域内,规定 f ( x) ※ g ( x) ? min{ f ( x), g ( x)} ,若 f ( x) ? 3 ? x, g ( x) ? log 2 x ,则 f ( x) ※ g ( x) 的 最大值为_________. [来源:Zxxk.Com] 【经典例题】 例1. 设 函 数 f ( x)在[0,2] 上 是 增 函 数 , 函 数 f ( x ? 2) 是 偶 函 数 , 则 f (1)、f (2.5)、f (3.5) 的大小关系是_____________. 解:∵ f ( x ? 2 ) 是偶函数, ∴ f ( x ? 2 ) ? f ( ? x ? 2 ) ,即 x ? 2 是函数 y ? f ( x ) 图象的一条对称轴. 又 f ( x ) 在(0,2)上是增函数, ∴ f ( x ) 在(2,4)上是减函数. 由 f ( 1) ? f ( 3 ) ,得 f ( 2.5 ) ? f ( 3 ) ? f ( 3.5 ) ,即 f ( 2.5 ) ? f ( 1) ? f ( 3.5 ) . [来源:学科网] 例 2. 设定义在 ?-2,2? 上的偶函数 f ( x)在区间?0, 2? 上单调递减,若 f (1 ? m) ? f (m) , 求实数 m 的取值范围. 解:∵ f ( x ) 是偶函数, ∴ f ( x ) ? f (| x |) , ∴ 不等式 f ( 1 ? m ) ? f ( m ) ? f (| 1 ? m |) ? f (| m |) . 又 f ( x ) 在区间[0,2]上单调递减, ?| 1 ? m |?| m |, ? ∴ ? ?2 ? 1 ? m ? 2, ? ?2 ? m ? 2. ? 解 得 ?1 ? m ? 1 . 2 故实数 m 的取值范围是 ? ?1, ? ? 1? ?. 2? 例 3. x x 2 如果函数 f ( x ) ? a a ? 3a ? 1 (a ? 0且a ? 1)在区间 ?0, ??? 上是增函数,那 ? ? 么实数 a 的取值范围是( A. ? 0, ? 3 ). C. 0, 3 ? ? ? 2? ? B. ? ? 3 ? ,1? ? ? 3 ? ? ? D. ? , ?? ? ?3 ?2 ? ? 解法 1:设 t ? ? ( x) ? a x , x ? [0,??) ,则 g (t ) ? t 2 ? (3a2 ? 1)t , t ? (0, ??) , 并且 f ( x) ? g[? ( x)] , x ? [0,??) . 若 a ? 1 ,则 t ? ? ( x) ? a x 在区间 [0, ??) 上是增函数,而 f ( x) 在区间 [0, ??) 上也是 增函数, 根据复合函数 “同增异减” ,故 g (t ) 在 [1, ? ?) 上必为增函数(因为 a>1,且 t ? a , x 所以 t>1) . 又 g (t ) 的对称轴为 t ? 3a 2 ? 1 3a 2 ? 1 ? 1. ,因此 2 2 解得 0 ? a ? 3 . 这与 a ? 1 矛盾; 3 x 若 0 ? a ? 1 ,则 t ? ? ( x) ? a 在区间 [0, ?? ) 上是减函数,而 f ( x) 在区间 [0, ?? ) 上 是 增函数,故 g (t ) 在 (0, 1] 上必为减函数(因为 0<a<1,且 t ? a ,所以 0<t<1) . x 又 g (t ) 的对称轴为 t ? 3a 2 ? 1 3a 2 ? 1 ? 1. ,因此 2 2 解得 a ? 3 3 , 所以 ? a ? 1. 3 3 3 ,1) ,选 B. 3 综上,实数 a 的取值范围是 [ 解法 2: (由 f (0) ? f (1) 作判断) f ( x) 在区间 [0, ??) 上是增函数,故 f (0) ? f (1) , 即 ?3a2 ? a(a ? 3a2 ?1) ,也即 a(3a2 ? 4a ? 1) ? 0 . 2 因为 a ? 0 ,所以 3a ? 4a ? 1 ? 0 ,解得 1 ? a ? 1. 3 这说明只有当 1 ? a ? 1 时才有 f (0) ? f (1) ,进而才有 可能使得 f ( x) 在区间 [0, ??) 3 上是增函数.由此大致范围可否定选项 A、C、D,因此选 B. 例 4. 如 图 A,B,C是函数y ? log 1 x的图像上的三点, 它们的横坐标分别是 t , 2 t ? 2 , t ? 4(t ? 1) , (1) 设 ?ABC的面积为S,求S =f (t ) ; (2) 求 S ? f (t )的最大值 . 解:注意到函数 y ? log 2 x 的图象与函数 y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对称,因此,可以 2 把问题转化为通过函数 y ? log 2 x 的图象来研究. (1)过 A, B, C 三点分别作 x 轴的垂 线,垂足分别是 A1 , B1 , C1 . 则 S ? S梯形A ABB ? S梯形B BCC ? S梯形A ACC 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [log 2t + log 2 (t + 2)] ? 2+ [log 2 (t ? 2) ?

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