极限与连续习题课2013_图文

习题课 函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断

三、 极限

一、 函数
1. 概念 定义: 设 定义域 其中 函数为特殊的映射: 值域

图形:
( 一般为曲线 )

y

y ? f ( x)

O

D

x

2. 特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 4. 复合函数 给定函数链 为单射, 反函数为其逆映射

f ?1 : f ( D) ? D

f ?g
则复合函数为 f ? g : D ? f [ g ( D) ] 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与
复合而成的一个表达式的函数.

思考与练习
1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么?

(1) f ( x) ? cos(2 arccos x) 与? ( x) ? 2 x 2 ? 1, x ? [?1,1]
相同

x, x ? a 1 ? 2 (2) f ( x) ? ? ? 与 ? ( x ) ? a ? x ? ( a ? x ) ?a , x ? a 2 相同 0, x ? 0 ? (3) f ( x) ? ? 与? ( x) ? f [ f ( x)] ?x , x ? 0 相同

?

2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?

1 (1) y ? sin x ? 1

不是 是

(2) y ? max? sin x , cos x ? , x ? [ 0, π ] 2

(3) y ? arcsin u , u ? 2 ? x 2

不是

提示: (2)

y?

cos x ,
sin x ,

0? x? π 4
π 4

?x?π 2

3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?

y
1



x, x ? 0 2 ? ? x (1) f ( x) ? ? ?? x , x ? 0
x ? 1, x ? 0 ? ? , (2) f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0
2

O ?1 x

y

x?0

4


x

2

O1

2 ( x ? 1 ) 2, x ? 1 ? 1, x ? 1 ? 3 ? ? ? (3) f ( x) ? ? ? 3? ? x ?1 x ? 1 ? 4, x ? 1 ? 1, x ? 1

? 1? x , x ? 0 6 (4) f ( x) ? ? ? 1 ? x , x?R 3 ? 1? x , x ? 0 以上各函数都是初等函数 .
3

y

1


x

O

4. 设 f ( x) ? e , f [? ( x)] ? 1 ? x , 且 ? ( x) ? 0 , 求 ? ( x) 及其定义域 .

x2

x ? 3, x?8 ? 5. 已知 f ( x) ? ? , 求 f (5) . ? f [ f ( x ? 5)] , x ? 8

1 2 2 f (sin x ? ) ? csc x ? cos x , 求 f ( x) . 6. 设 sin x
4. 解: 由 得

x

x

? ( x)

? ( x)

? ( x) ? ln(1 ? x) ,

x ? (?? , 0]

x ? 3, x?8 ? , 求 f (5) . 5. 已知 f ( x) ? ? ? f [ f ( x ? 5)] , x ? 8
解: f (5) ? f [ f (10) ] ? f (

) ? f (7 ) ? f [

]

? f(

) ? f (9) ? 6

1 ) ? csc 2 x ? cos 2 x , 求 f ( x) . 6. 设 f (sin x ? sin x 1 1 2 ? f (sin x ? ) ? ? sin x ?1 解: 2 sin x sin x 1 2 ? (sin x ? ) ?3 sin x 2 ? f ( x) ? x ? 3

例1. 设

其中

,求

解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .
1 , 代入原方程得 令 t ? x ?1 , 即 x ? 1? t x


1 ? u ?1 , 令 1? 即 x u

代入上式得 即

画线三式联立

二、 连续与间断
1. 函数连续的等价形式
x ? x0

lim f ( x) ? f ( x0 )

? ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 )

? ?x ? x ? x0 , ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?
f ( x) ? f ( x0 ) ? ?
第一类间断点

?x?0

lim ?y ? 0

? ? ? 0 , ?? ? 0 , 当 x ? x0 ? ? 时, 有
可去间断点 跳跃间断点
无穷间断点 振荡间断点

2. 函数间断点

第二类间断点

3. 闭区间上连续函数的性质 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .

例2. 设函数

在 x = 0 连续 , 则 a =

2 , b= e . a (1 ? cos x) a ? ? 提示: f (0 ) ? lim ? 2 x?0 2 x

1 2 1 ? cos x ~ x 2

f (0? ) ? lim ? ln (b ? x 2 ) ? ln b x?0 a ? 1 ? ln b 2

例3. 设函数 及可去间断点 解:

有无穷间断点
试确定常数 a 及 b . 为无穷间断点, 所以

ex ? b lim ?? x ?0 ( x ? a )( x ? 1)

( x ? a )( x ? 1) a lim ?0 ? x x ?0 1? b e ?b a ? 0 , b ?1

ex ? b 为可去间断点 , ? lim 极限存在 x ?1 x ( x ? 1)

lim(e x ? b) ? 0
x ?1

b ? lime x ? e
x ?1

例4. 设 f (x) 定义在区间

上 , 且对任意实数
, 若 f (x) 在 连续,

证明 f (x) 对一切 x 都连续 .
提示:
?x?0

lim f ( x ? ?x) ? lim [ f ( x) ? f (?x)]
?x?0

? f ( x) ? f (0) ? f ( x ? 0) ? f ( x)

阅读与练习 P65 题 1 , 3(2) ; P74 题 *6

P74 题*6. 证明: 若 f ( x) 在 (?? , ? ?) 内连续, lim f ( x)
存在, 则 f ( x) 必在 (?? , ? ?) 内有界.
x ?? x ??

证: 令 lim f ( x) ? A , 则给定 ? ? 0 , ? X ? 0 ,当 x ? X 时, 有

A ? ? ? f ( x) ? A ? ?
y M 1 f ( x) A
X

又 f ( x) ? C [? X , X ] , 根据有界性定理, ? M1 ? 0 , 使

取 则

f ( x) ? M1 ,

x ? [? X , X ]

M ? max ? A ? ? , A ? ? , M1 ? f ( x) ? M , x ? (?? , ?)

?X O

x

例5. 设 f ( x) 在 对任意的
使 证: 令

上连续 , 且恒为正 , 证明: 必存在一点

,则

? ? f ( x1 ) f ( x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]2 ? 0


故由零点定理知 , 存在

使



例6. 设 f ( x) 在 使 必有一点 证:


上连续, 且 a ? c ? d ? b , 证明:



由介值定理,



三、 极限
1. 极限定义的等价形式 (以 x ? x0 为例 )

"? ?? "

(即 ? ? f ( x) ? A 为无穷小)

有 2. 极限存在准则及极限运算法则

3. 无穷小 无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 常用等价无穷小: 2 x sin x ~ x 1 ? cos x ~ 1 2

arcsin x ~ x
ex ?1 ~ x 4. 两个重要极限
(1 ? x) ? ? 1 ~ ? x
或 注: 代表相同的表达式 5. 求极限的基本方法

6. 判断极限不存在的方法

例7. 求下列极限:

(1) lim (sin x ? 1 ? sin x )
x ???

(2)

2 1 ? x lim sinπ x x ?1

(3)

cot x 1 ? x lim ? 1? x ? x ?0

提示: (1) sin x ? 1 ? sin x

x ?1 ? x x ?1 ? x ? 2 sin cos 2 2 1 x ?1 ? x ? 2 sin cos 2( x ? 1 ? x ) 2
无穷小 有界

(2)

2 1 ? x lim x?1 sin π x

令t ? x ?1

? lim ?t (t ? 2)
t ?0

sin π (t ?1) sin π t

? lim t (t ? 2)
t ?0

2 t (t ? 2 ) ? lim ? πt t ?0 π

1? x (3) lim ? x ?0 1 ? x

?cot x ? lim (1 ? 2 x ) cot x
x ?0

1?

1? x

x ) ~ 2x ln (1 ? 12 ?x 1? x

? e x?0
x ? x0 x ? x0

x 2x lim ( cos sin x ? 1? x )

? e2

复习: 若 lim u ( x) ? 0 , lim v( x) ? ? , 则有

x ? x0

lim ? 1 ? u ( x) ?

v( x)

?e

x ? x0

lim v( x) u ( x)

?e

例8. 确定常数 a , b , 使
解: 原式可变形为

lim x ( 3
x??

1 x3

?1 ? a ? b x) ?0

?

x ??

lim ( 3

1 x3

?1 ? a ? b )?0 x

故 ? 1 ? a ? 0 , 于是 a ? ?1 , 而

1 ? lim x ?? 3 (1 ? x 3 ) 2 ? x ? 3 1 ? x 3 ? x 2

?

例9. 当 x ? 0时, 3 x 2 ? x 是 解: 设其为 x 的 k 阶无穷小, 则

的几阶无穷小?

x2 ? x lim ? C ? 0 k x ?0 x
3


2 3 1 x ? x x2 ? x 3 2 ?3k 2 3 ? lim x ( 1 ? x ) ? lim lim 3 k k x?0 x ?0 x ?0 x x
3



1 k? 6

阅读与练习
1. 求 解: 的间断点, 并判别其类型.

(1 ? x) sin x 1 lim ? sin 1 x? ?1 x ( x ? 1)( x ? 1) 2
x = –1 为第一类可去间断点 lim f ( x) ? ?
x? 1

x = 1 为第二类无穷间断点
x? 0

lim? f ( x) ? ?1,

x? 0

lim? f ( x) ? 1

x = 0 为第一类跳跃间断点

2. 求

(2000考研) 注意此项含绝对值

解:

3 4 ? ? ? 2 ? e1 ? ? 2 e x ? e x sin x ? x sin x ? ? lim ? ? ?1 lim ? ? ? 4 4 ?? ? ?? ? x x ? x ?0 x x ?0 1 ? e x e ? 1 ? ? ? ?

1 ? 2 ? e1 ? ? ? x x sin x 2 ? e sin x ? ? ? ? lim ? ? lim ? ?1 4 4 ? ?? ? ? ? x x x ?0 1 ? e x x ?0 1 ? e x ? ? ? ?

原式 = 1

3. 求 lim (1 ? 2
x ? ??

x

? 3x ) x .
x x
1 x

1

解: 令 f ( x) ? (1 ? 2 ? 3 ) ? 3 ? 则
1 x

x (1 ) 3

x ? (2 ) 3

?1 ?

1 x

3 ? f ( x) ? 3 ? 3 利用夹逼准则可知 lim f ( x) ? 3 .
x ???

作业
P75 4 (1) , (4) ; 5 ; 8 ; 9 (2) , (3) , (6) ; 10; 11 ; 12 ; 13


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