2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数极值课件11 新人教B版选修2-2_图文

1.3.2利用导数 研究函数的极值 问题1、用导数法确定函数的单调性的步骤是 1、确定函数f(x)的定义域 2、求出导函数 f ' ( x ) 3、解不等式 f ' ( x ) ? 0 ,得函数f(x)的单调增区间 解不等式 f ' ( x ) ? 0 ,得函数f(x)的单调减区间 问 题2: 讨 论 函 数 f ( x ) ? 3 x 3 ? x ? 1的 单 调 性 , 并分别画出 f ' ( x )和f ( x )的 大 致 图 象 y 解 :f ' ( x ) ? 9 x 2 ? 1 1 1 令 f ' ( x ) ? 0, 则 x ? ? 或 x ? 3 3 f ' ( x) ? 0 1 1 ' f ( x ) ? 0, 则 ? ? x ? 3 3 1 ? 3 1 1 即f ( x )在 (? ?, ? ),( , ? ?) 上 单 调 递 增 3 3 1 1 f ( x )在 (? , ) 上 单 调 递 减 3 3 y ? f ' ( x) f ' ( x) ? 0 o y 1 3 x f ' ( x) ? 0 y ? f ( x) ? 1 3 o 1 3 x 导数为0的点是否一定是极值点呢? 求函数 f ( x) ? x 3在点( 0, 0)处的导数? f ( x) ? 3 x ' 2 f (0) ? 0 ' O y y 导数为0的点不一定是极值点 结论:极值点处导数为0, 导数为0的点不一定是极值点 O x x y a x2 b O y x1 x3 x4 x5 x y a x2 b x1 O x3 x4 x5 x 函数的极值唯一吗? 函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有 多个极大值和极小值 y a x2 b O y x1 x3 x4 x5 x 极大值和极小值之间有大小关系吗? 极大值和极小值之间没有大小关系, 极大值可能比极小值小 y y=f(x) O 2 3 5 6 x 理解极值概念时需要注意的几点 1、函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点左右两 侧附近的点而言的,不是函数的整体性质。 2、极值点是函数定义域内的点,它只能在开区间内取到, 闭区间的区间端点不可能是极值点。 3、若f(x)在定义域内有极值,那么f(x)在定义域内绝对不能 是单调函数,即单调函数无极值。 4、极值点是x的值,极值是y的值. 求可导函数 f ( x )极 值 的 步 骤 : 1、 确 定 函 数 f ( x )的 定 义 域 ; 2、 求 导 函 数 f’ ( x ); 3、 求 方 程 f’ ( x ) ? 0的 根 ; 4、 用 方 程 f’ ( x ) ? 0的 根 将 定 义 域 划 分 成 若 干 个 小 开 区 间 , 并成 列表 格 检 查f ’ ( x )在 方 程 根 左 右 的 符 号 ?如果左正右负,则 f ( x )在 这 个 根 处 取 得 极 大 值 ?如果左负右正,则 f ( x )在 这 个 根 处 取 得 极 小 值 ? 如 果f ’ ( x )在 这 个 根 左 右 两 侧 符 不 号变 , 则 该 点 不 是f ( x )的 极 值 点 求可导函数 f ( x )在?a, b?上最值的步骤: 1.求极值 2.求端点值f(a),f(b) 3.比较极值和端点值的大小,求出 最值 4.求极值 f ( x ) ? x 2e ? x ( 2)函 数 的 定 义 域 为 R f ' ( x ) ? 2 xe? x ? x 2 e ? x ? x ( 2 ? x )e ? x 令f ' ( x ) ? 0, 得x ? 0或x ? 2 当 x变 化 时 , f ' ( x ), f ( x )变 化 状 态 如 下 表 : 由上表可以看出, f ( x )极 小 值 ? f ( 0 ) ? 0 4 f ( x )极 大 值 ? f ( 2 ) ? 2 e 已知函数 f ( x ) ? x 3 ? 3ax2 ? bx ? a 2在x ? ?1时 有极值 0,求常数 a, b的值。 解 :f ' ( x ) ? 3 x 2 ? 6ax ? b ? f ' ( ?1) ? 0 ? 3 ? 6a ? b ? 0 即? ? 2 f ( ? 1 ) ? 0 ? 1 ? 3 a ? b ? a ?0 ? ? ?a ? 1 ?a ? 2 解 得? 或? ?b ? 3 ?b ? 9 解 :f ' ( x ) ? 3 x 2 ? 6ax ? b ? f ' ( ?1) ? 0 ? 3 ? 6a ? b ? 0 ?a ? 1 ?a ? 2 即? , 解 得? 或? ? 2 ?b ? 3 ?b ? 9 ? f ( ?1) ? 0 ? ? 1 ? 3a ? b ? a ? 0 ?a ? 1 当? 时 ,f ' ( x ) ? 3 x 2 ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1) 2 ? 0 ?b ? 3 所 以f ( x )在R上 为 增 函 数 , 无 极 值 故 ,舍去; ?a ? 2 当? 时 ,f ' ( x ) ? 3 x 2 ? 12 x ? 9 ? 3( x ? 1 ( ) x ? 3) ?b ? 9 当x ? [?3,?1]时 ,f ( x )为 减 函 数 当x ? [?1,? ?]时 ,f ( x )为 增 函 数 ?a ? 2 所以, ? ?b ? 9 今天,我们学习了函数的极值的概念,并学习了利用导数求极值的方法 一、求可导函数 f ( x )极 值 的 步 骤 : 1、 确 定 函 数 f ( x )的 定 义 域 ; 2、 求 导 函 数 f’ ( x ); 3、 求 方 程 f’ ( x ) ? 0的 根 ; 4、 检 查 f’ ( x )在f ’ ( x ) ? 0的 根 左 右 两 侧 的 符 号

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