改2-上海市宝山区2010届高三上学期期终质量管理测试数学卷(附解答)

上海市宝山区 2010 届高三上学期期终质量管理测试卷

1. ( 2010 宝 山 一 模 ) 若 复 数 z ? 4 ? t 2 ? ___ ? ?1, 2 ? ______. 2. (2010 宝山一模) 若圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? m ? 0 与直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 相切, 则实数 m ? ____ 6 ____.







本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

1? t 对应的点在第四象限,则实数 t 的取值范围是 i

?x ? y ? 2z ? 6 ? 3. (2010 宝山一模)已知三元一次方程组 ? ? x ? z ? 1 ,则 Dy 的值是____ 4 ____. ?x ? 2 y ? 0 ?
4. (2010 宝山一模)有 10 件产品分三个等次,其中一等品 4 件,二等品 3 件,三等品 3 件,从 10 件产品中任取 2 件,则取出的 2 件产品同等次的概率为____

4 ______. 15

5. (2010 宝山一模)已知等差数列 ?an ? 的公差不为零,首项 a 1 =1, a2 是 a 1 和 a5 的等比中项,则 数列 ?an ? 的前 10 项之和是____ 100 ______. 6. (2010 宝山一模)某抛物线形拱桥的跨度为 20 米,拱高是 4 米,在建桥时,每隔 4 米需用一根 柱支撑,其中最高支柱的高度是____ 3.84 米______.

? 2? ? a 0? 7. (2010 宝山一模)已知向量 B ? ? ? 经过矩阵 A ? ? ? 变换后得到 ?b 1? ? 3?
向 量 B? , 若 向 量 B 与 向 量 B? 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 则
a ? b ? ____ 1 ______.

1? ? 8. (2010 宝山一模)已知二项式 ? x ? ? 展开式的前三项系数成等差数 a? ?
列,则 a ? ____ 2 或 14 ______. 9. (2010 宝山一模)已知 a ? 3i ? a ? R ? 是一元二次方程 x 2 ? 4 x ? t ? 0 的 一个根,则实数 t ? ____ 13 ______.
4? 10 . ( 2010 宝 山 一 模 ) 方 程 s i n x sin x2 在 ?0 , π? 上 的 解 集 是

8

? π π 5π ? ___ ? , , ? _____. ?6 2 6 ?
11. (2010 宝山一模)按如图 1 所示的程序框图运算,若输出 k ? 2 ,则

输入 x 的取值范围是____ ? ?

2007 2009 ? ______. , 2 ? ? 4 ?

12. (2010 宝山一模) 已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 又是周期为 2 的周期函数, 当 x ? ?0 , 1? 时,
f ? x ? ? 2x ? 1,则 f ? log0.5 6? 的值为______ ? ____.

3 2

13. (2010 宝山一模)已知一圆锥的底面半径与一球的半径相等,且全面积也
1 相等,则圆锥的母线与底面所成角的大小为_____ arccos _____. 3

(结果用反三角函数值表示) 14. (2010 宝山一模)对于各数互不相等的正数数组 ? i1 , ,如果 i2 , , in ? ( n 是不小于 2 的正整数) 在 p ? q 时有 i p ? iq ,则称 i p 与 iq 是该数组的一个“逆序” ,一个数组中所有“逆序”的个数称为此 数组的“逆序数” .例如,数组 ? 2 , , “4,3” , “4,1” , “3,1” ,其“逆 4, 3, 1? 中有逆序“2,1” 序数”等于 4.若各数互不相等的正数数组 ? a1 , a2 , a3 , a4 ? 的“逆序数”是 2,则 ? a4 , a3 , a2 , a1 ? 的“逆序数”是______4____. 二、选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正 确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (2010 宝山一模)以下四个命题中的假命题是 ( C )

b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线 a 、 b 不相交” (A) “直线 a 、 ;
(B)直线“ a ? b ”的充分不必要条件是“ a 垂直于 b 所在的平面” ;

b 与同一平面 ? 所成角相等” (C)两直线“ a ∥ b ”的充要条件是“直线 a 、 ;
(D) “直线 a ∥ /平面 ? ”的必要不充分条件是“直线 a 平行于平面 ? 内的一条直线” . 16. (2010 宝山一模)已知 e1 与 e2 为不共线的非零向量,且 e1 ? e2 ,则以下四个向量中模最小者 为 ( A ) (A) e1 ? e2 ; (B) e1 ? e2 ; (C) e1 ? e2 ; (D) e1 ? e2 . 17. (2010 宝山一模)已知:圆 C 的方程为 f ? x , y0 ? 不在圆 C 上,也不在圆 C 的 y ? ? 0 ,点 P ? x0 , 圆心上,方程 C? : f ? x , y ? ? f ? x0 , y0 ? ? 0 ,则下面判断正确的是……(B (A) 方程 C ? 表示的曲线不存在; (B) 方程 C ? 表示与 C 同心且半径不同的圆; (C) 方程 C ? 表示与 C 相交的圆; (D) 当点 P 在圆 C 外时,方程 C ? 表示与 C 相离的圆. )

1 2

1 2

1 3

2 3

2 5

3 5

1 4

3 4

18. (2010 宝山一模) 幂函数 y ? x?1 , 及直线 y ? x ,y ? 1 ,x ? 1 将直角坐标系第一象限分成八个“卦限” :Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ, Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示) ,那么,幂函数 y ? x 象限中经过的“卦限”是……( D ) (A)Ⅳ,Ⅶ; (B)Ⅳ,Ⅷ; (C)Ⅲ,Ⅷ; (D)Ⅲ,Ⅶ.
3 ? 2

y

y ? x ?1


y?x

的图像在第一 Ⅳ

Ⅱ Ⅰ

y ?1
Ⅴ Ⅵ O Ⅶ Ⅷ

三、解答题(本题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题 必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)

x ?1

x

(2010 宝山一模) 在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 已知底面 ABCD 的边长为 2, 点 P 是 CC1 的中点,直线 AP 与平面 BCC1B1 成 30 角,求异面直线 BC1 和 AP 所成角的大小.(结果用反三角 函数值表示)
D1
?

C1

A1

B1

P

D

C

A

B

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (2010 宝山一模)已知函数 f (x) ? sin

x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3

(1)将 f(x)写成 Asin( ?x ? ?) ? h ( A ? 0 )的形式,并求其图像对称中心的横坐标; (2)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b ? ac ,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的取值范围及此时
2

函数 f(x)的值域.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (2010 宝山一模)已知函数 f ( x) ? 3x ? k (k 为常数) , A(?2k , 2) 是函数 y ? f ?1 ( x) 图像上的 点. (1)求实数 k 的值及函数 y ? f ?1 ( x) 的解析式; (2)将 y ? f ?1 ( x) 的图像按向量 a ? (3,0) 平移得到函数 y=g(x)的图像. 若 2f ?1 (x ? m ? 3) ? g(x) ? 1 对任意的 x ? 0 恒成立,试求实数 m 的取值范围.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分. ( 2010 宝 山一 模 )已 知点 F1 , F2 是 双 曲线 M :

x2 y 2 ? ? 1 的 左 右焦 点 , 其渐 近 线为 a 2 b2

y ? ? 3x ,且右顶点到左焦点的距离为 3.
(1)求双曲线 M 的方程; ( 2 ) 过 F2 的直线 l 与 M 相交于 A 、 B 两点,直线 l 的法向量为 n ? ( k , ?1), (k ? 0),且

OA ? OB ? 0 ,求 k 的值;
(3)在(2)的条件下,若双曲线 M 在第四象限的部分存在一点 C 满足 OA ? OB ? mF2C , 求 m 的值及△ABC 的面积 S?ABC . 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满 分 8 分. (2010 宝山一模)已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , 3a n ?1 ? 4Sn ? 3 ( n 为正整数). (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)记 S ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? ,若对任意正整数 n , kS ? Sn 恒成立,求 k 的取值范围?
2 (3)已知集合 A ? x x ? a ? (a ? 1) x, a ? 0 ,若以 a 为首项,a 为公比的等比数列前 n 项和记

?

?

为 Tn ,问是否存在实数 a 使得对于任意的 n ? N? , 均有Tn ? A .若存在,求出 a 的取值范围;若不存

在,说明理由.

2009 学年第一学期期终质量管理测试卷
高 三 数 学 参 考 答 案
2010.1.24 一、填空题 1. (?1, 2) 6. 11. ? ? ? 3.84 米 2. 6 7. 1 12. ? 3. 4 8. 2 或 14 4.

4 15

5. 100 10. {

9. 13
1 3

? ? 5

, , ?} 6 2 6

2007 2009 ? . , 4 2 ? ?

3 2

13. arccos

14. 4

二、选择题. 15.C 三、解答题 19.解: 连结 BP,设长方体的高为 h , 因为 AB⊥平面 BCC1B1 , 所以,∠APB 即为直线 AP 与平面 BCC1B1 所成的角…………………………3 分 16.A 17.B 18.D

PB ?

h2 ?4 , 4
h2 ?4 4 得 h ? 4 2 .……………………………………………5 分 2

由 tan 60 ?
0

又因为 AD1 / / BC1 , 所以 ?D1 AP 是异面直线 BC1 和 AP 所成的角.………………………………8 分 在 ?D1AP 中, AD1 ? 6 , PA ? 4 , D1P ? 2 3 , 所以, cos ?D1AP ?

5 16 ? 36 ? 12 5 ? ,即 ?D1AP ? arc cos ……………12 分 6 2?4?6 6
D1 C1

A1

B1

P

D

C

A

B

20.解: (1) f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? sin( 2 x ? ? ) ? 3 ………………………………3 分 2 3 2 3 3 3 2 由 sin(

2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) =0 即 ? ? k?(k ? z)得x ? ?, k ? z 3 3 3 3 2 3k ? 1 ? , k ? z ……………………………………………………6 分 即对称中心的横坐标为 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? c2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? (2)由已知 b2=ac 知 cos x ? 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2x ? 5? ? ? cos x ? 1, 0?x? , ? ? ? ……………………………………9 分 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? | ? |?| ? | ? sin ? sin( ? ) ? 1 3 2 9 2 3 3 3 2x ? 3 3 ? 3 ? sin( ? ) ? ? 1? 3 3 2 2 3 ], 即 f ( x ) 的值域为 ( 3 ,1 ? 2 ? 3 ] …………………………………14 分 综上所述, x ? (0, ] , f ( x ) 的值域为 ( 3 ,1 ? 3 2


21.解: (1)∵A(-2k, 2)是函数 y=f 1(x)图像上的点. ∴B(2,-2K)是函数 y=f(x)上的点. ∴-2k=32+k

∴k=-3, ∴y=f(x)=3x-3 ……………………………………………………………………3 分 ∴y=f 1(x)=log3(x+3) , (x>-3) ………………………………………………………………6 分


(2)将 y=f 1(x)的图像按向量 a =(3,0)平移,得函数 y=g(x)=log3x(x>0) …………8 分


要使 2f 1(x+ m ? 3 )-g(x)≥1 恒成立,


即使 2log3(x+ m )-log3x≥1 恒成立.

m ? 2 m ≥3 在 x>0 时恒成立, x m 只须(x+ ? 2 m )min≥3.……………………………………………………………11 分 x m m 又 x+ ? 2 m (当且仅当 x= 即x ? m 时取等号) x x m ∴(x+ ? 2 m )min=4 m , x
所以有 x+

只须 4 m ≥3,即 m≥

9 . 16
?9 ? ,?? ? …………………………………………………………14 分 ?16 ?

∴实数 m 的取值范围为 ?

y2 ? 1 .…………………………………………………………4 分 22.解: (1) 由题意得 x ? 3
2

? 2 y2 ?1 ?x ? (2) 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,由 ? 得 (3 ? k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? (4k 2 ? 3) ? 0(*) 3 ? y ? k ( x ? 2) ?
? 4k 2 x ?x ?? ? ? 1 2 3? k2 所以 ? ………………………………………………………………6 分 2 4 k ? 3 ?x ? x ? ? ? 1 2 3? k2 ?
由 OA ? OB ? 0 得 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1 ? x2 ? 2k 2 ( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? 0 代入化简,并解得 k ? ?

3 (舍去负值)……………………………………………9 分 5

(3)把 k ?

3 2 代入(*)并化简得 4 x ? 4 x ? 9 ? 0 , 5

? x1 ? x2 ? ?1 ? 此时 ? 9, x1 ? x2 ? ? ? ? 4
所以 | AB |? (1 ? k ) ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? ? ? 4 …………………………………11 分
2 2

1 ? x0 ? 2 ? ? m ? 设 C ( x0 , y0 ) ,由 OA ? OB ? mF2C 得 ? 代入双曲线 M 的方程解得 15 ?y ? ? 0 ? m ?
m?? 3 3 15 ) ,……………………………………14 分 (舍) ,m=2,所以 C ( , ? 2 2 2

点 C 到直线 AB 的距离为 d ?

3 , 2

所以 S ?ABC ?

1 d ? | AB |? 6 .……………………………………………………16 分 2

23. (1) 由题意知,当 n ? 2 时, ?

?3a n ?1 ? 4Sn ? 3 ?3a n ? 4Sn ?1 ? 3

两式相减变形得:

a n ?1 1 ? ? (n ? 2) an 3

又 n ? 1 时, a 2 ? ?

1 ,于是 3

a2 1 ? ? ………………………………………1 分 a1 3
1 3

故 {an } 是以 a1 ? 1 为首项,公比 q ? ? 的等比数列

?a n ?

1 , (n ? N* ) ………………………………………………………………4 分 n ?1 (?3)

(2) 由 S ?

1 1? 1 3

?

3 4

得 k?

4 1 Sn ? 1 ? = f ( n) ………………………………5 分 3 (?3) n

当 n 是偶数时, f ( n) 是 n 的增函数, 于是 f ( n) min ? f ( 2) ?

8 8 ,故 k ? ……………7 分 9 9

当 n 是奇数时, f ( n) 是 n 的减函数, 因为 lim f (n) ? 1 ,故 k≤1.……………………9 分
n ??

综上所述,k 的取值范围是 (?? , ) …………………………………………………………10 分

8 9

时, A ? {x |1 ? x ? a}, (3)①当 a ? 1
T2 ? a ? a 2 ,若 T2 ? A, 则 1 ? a ? a 2 ? a.
?a 2 ? a ? 1 ? 0, ? 此不等式组的解集为空集. 得?a 2 ? 0, ?a ? 1 ?

即当 a ? 1时, 不存在满足条件的实数 a. ………………………………………………13 分

时, A ? {x | a ? x ? 1}. ②当 0 ? a ? 1
a (1 ? a n ) 是关于 n 的增函数. 1? a a a , 故Tn ? [a, ). …………………………………………………15 分 且 lim Tn ? n ?? 1? a 1? a
2 而 Tn ? a ? a ?

? an ?

?0 ? a ? 1, 1 ? 因此对任意的 n ? N , 要使 Tn ? A, 只需 ? a 解得 0 ? a ? . ……………18 分 2 ? 1. ? ?1 ? a
?


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