高中数学高一数学第五章(第13课时)正弦定理、余弦定理(1)教案

课 题:正弦定理、余弦定理(1)

教学目的:

⑴使学生掌握正弦定理

⑵能应用解斜三角形,解决实际问题 新疆 王新敞 奎屯
教学重点:正弦定理 教学难点:正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
一、引言:在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,

可以由已知的边和角求出未知的边和角 那么斜三角形怎么办? 新疆 王新敞 奎屯
——提出课题:正弦定理、余弦定理 二、讲解新课: 正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,



a = b = c =2R(R 为△ABC 外接圆半径)

s i An sin B sin C

1.直角三角形中:sinA= a ,sinB= b , sinC=1

c

c

即 c= a , c= b , c= c .

sin A

sin B

sin C

∴a=b=c sin A sin B sin C

2.斜三角形中

证明一:(等积法)在任意斜△ABC 当中

S△ABC=

1 2

ab sin

C

?

1 2

ac sin

B

?

1 2

bc sin

A

两边同除以 1 abc 即得: a = b = c

2

sin A sin B sin C

证明二:(外接圆法)

如图所示,∠A=∠D

∴ a ? a ? CD ? 2R sin A sin D

同理 b =2R, c =2R

sin B

sin C

C

a

bO

B

c

A

D

1

证明三:(向量法)
过 A 作单位向量 j 垂直于 AC

由 AC + CB = AB

两边同乘以单位向量 j 得 j ?( AC + CB )= j ? AB

则 j ? AC + j ? CB = j ? AB

∴| j |?| AC |cos90?+| j |?| CB |cos(90??C)=| j |?| AB |cos(90??A)

∴ a sinC ? c sin A ∴ a = c sin A sin C

同理,若过 C 作 j 垂直于 CB 得: c = b

∴a=b=c

sin C sin B

sin A sin B sin C

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题:

1.两角和任意一边,求其它两边和一角;

2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角

新疆 王新敞

(见图示)

奎屯

已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况:

⑴若 A 为锐角时:

?a ? b sin A 无解

??a ? bsinA 一解(直角) ??bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝)

??a ? b

一解(锐角)

已知边a,b和?A

C b
a
A H
a<CH=bsinA 无解

C

C

b a
A B

b

a

a

A

B1 H B2

a=CH=bsinA 仅有一个解

CH=bsinA<a<b 有两个解

?a ? b 无解

⑵若 A 为直角或钝角时: ? ?a ? b

一解(锐角)

C

b

a

A

H

B

a?b

仅有一个解

2

三、讲解范例:
例 1 已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 45 0 ,C ? 30 0 ,求a,b和B

解:? c ? 10, A ? 450 ,C ? 30 0

∴ B ? 180 0 ? ( A ? C) ? 105 0

由 a ? c 得 a ? c sin A ? 10 ? sin 45 0 ? 10 2

sin A sin C

sin C

sin 30 0

由b ? c得 sin B sin C

b ? c sin B ? 10 ? sin105 0 ? 20 sin 75 0 ? 20 ? 6 ? 2 ? 5 6 ? 5 2

sin C

sin 30 0

4

例 2 在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60 0 , c ? 1,求a和A,C

解:∵ b ? c ,? sin C ? c sin B ? 1? sin 60 0 ? 1

sin B sin C

b

3

2

? b ? c, B ? 60 0 ,?C ? B,C为锐角,?C ? 30 0 , B ? 90 0

∴ a ? b2 ? c2 ? 2 例 3 ?ABC中,c ? 6, A ? 45 0 , a ? 2,求b和B,C

解:? a

?

c

,?sin C ? c sin A ?

6 ? sin 45 0 ?

3

sin A sin C

a

2

2

? c sin A ? a ? c,?C ? 60 0 或120 0

?当C ? 60 0时,B ? 75 0 ,b ? c sin B ? sin C

6 sin 75 0 sin 60 0

?

3 ?1,

?当C ? 120 0时,B ? 15 0 ,b ? c sin B ? sin C

6 sin15 0 ? sin 60 0

3 ?1

?b ? 3 ? 1, B ? 75 0 ,C ? 60 0 或 b ? 3 ?1, B ? 15 0 , C ? 120 0

3

例 4 已知△ABC,BD为 B 的平分线,求证:AB∶BC=AD∶DC

分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而 B 的平

分线 BD 将△ABC 分成了两个三角形:△ABD 与△CBD,故要证结论成立,可证明

它的等价形式:AB∶AD=BC∶DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角

形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为

AB ? AD , BC ? DC ,再根据相等角正弦值相等,互补 sin ABD sin ABD sin BDC sin DBC
角正弦值也相等即可证明结论 新疆 王新敞 奎屯
证明:在△ABD 内,利用正弦定理得:

AB ? AD 即 AB ? sin ADB sin ADB sin ABD AD sin ABD 在△BCD 内,利用正弦定理得:

BC ? DC ,即 BC ? sin BDC . sin BDC sin DBC DC sin DBC ∵BD 是 B 的平分线
新疆 王新敞
奎屯
∴∠ABD=∠DBC ∴sinABD=sinDBC 新疆 王新敞 奎屯
∵∠ADB+∠BDC=180°

∴sinADB=sin(180°-∠BDC)=sinBDC

∴ AB ? sin ADB ? sin BDC ? BC AD sin ABD sin DBC CD
∴ AB ? AD BC DC
评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且

注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用 新疆 王新敞 奎屯
四、课堂练习:

1 在△ABC 中, a 新疆 王新敞

?

b

?

c

? k ,则 k 为(

)

奎屯

sin A sin B sin C

A 2R 新疆 王新敞 奎屯

BR 新疆 王新敞 奎屯

C 4R 新疆 王新敞 奎屯

D 新疆 王新敞

1

R

(R

为△ABC

外接圆半径)

奎屯

2

2 △ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为( ) 新疆 王新敞 奎屯

A 直角三 新疆 王新敞 奎屯

B 新疆 王新敞 奎屯

C 等边三角形 新疆 王新敞 奎屯

D 等腰三角形 新疆 王新敞 奎屯

3 在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的 新疆 王新敞 奎屯

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

新疆

新疆

新疆

新疆

王新敞

王新敞

王新敞

王新敞

奎屯

奎屯

奎屯

奎屯

4 在△ABC 新疆 王新敞

中,求证:

c os2 A

?

cos2B

?

1

?

1

奎屯

a2

b2

a2 b2

参考答案:1 A,2 A 新疆 王新敞

新疆 王新敞

奎屯

奎屯

3 C新疆 王新敞 奎屯

4 新疆 王新敞 奎屯

a

?

b

? sin A ? sin B ? (sin A)2 ? (sin B )2

sin A sin B a

b

a

b

4

?

sin 2 a2

A

?

sin 2 b2

B

?

1 ? cos2A a2

?

1? cos2B b2

?

c os2 A a2

?

cos2B b2

?

1 a2

?

1 b2

五、小结 正弦定理,两种应用

六、课后作业:

1 在△ABC 新疆 王新敞

中,已知

sin

A

?

sin(A ?

B)

,求证:a2,b2,c2 成等差数列 新疆 王新敞

奎屯

奎屯

sin C sin(B ? C)

证明:由已知得 sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)·sin(A-B)

cos2B-cos2C=cos2A-cos2B

2cos2B=cos2A+cos2C

2 ? 1? cos2B ? 1? cos2A ? 1? cos2B

2

2

2

∴2sin2B=sin2A+sin2C

由正弦定理可得 2b2=a2+c2

即 a2,b2,c2 成等差数列 新疆 王新敞 奎屯

七、板书设计(略)

八、课后记:

5


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