高考数学文科二轮复习专题一函数与导数不等式第3讲不等式_图文

第3讲 不等式
1

高考定位 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利 用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点,主要以 选择题、填空题为主;2.在解答题中,特别是在解析几何中 求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求 解,难度较大.
2

真题感悟

1.(2017·全国Ⅰ卷)设 x,y 满足约束条件???xx+ -3y≥y≤13,,则 z=x+y 的最 ??y≥0,
大值为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

3

解析 根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分(含边界),则 当目标函数z=x+y经过A(3,0)时取得最大值,故zmax=3+0=3.
答案 D
4

??x+y≤2, 2.(2016·山东卷)若变量 x,y 满足?2x-3y≤9,则 x2+y2 的最大值是
??x≥0, ()

A.4

B.9

C.10

D.12

5

解析 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示: x2+y2 表示区域内点到原点距离的平方,由?????x2+x-y=3y2=,9得 A(3,-1).
由图形知,(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10. 答案 C
6

3.(2017·天 津 卷 ) 若

a



b∈R



ab>0





a4+4b4+1 ab











________.

解析

∵a



b∈R



ab>0





a4+4b4+1 ab



4a2abb2+1=

4ab



1 ab

≥2 4ab·a1b=4,

??a2=2b2, ??a2= 当且仅当???4ab=a1b,即???b2=

222,时取得等号. 4

答案 4

7

4.(2017·全国Ⅲ卷)设函数 f(x)=?????x2+x,1x,>0x,≤0,则满足 f(x)+f???x-12???>1 的 x 的取值范围是________.
8

解析 当 x≤0 时,f(x)+f???x-12???=(x+1)+???x-12+1???, 原不等式化为 2x+32>1,解得-14<x≤0,

当 0<x≤12时,f(x)+f???x-12???=2x+???x-12+1???

原不等式化为 2x+x+12>1,该式恒成立,



x>12时,f(x)+f???x-12???=2x+

x? 1
22





x>12时,2x+

x? 1
22

>

1
22

+20=1+

2>1 恒成立,

综上可知,不等式的解集为???-14,+∞???. 答案 ???-14,+∞???
9

考点整合
1.不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法. 一元二次不等式 ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0,Δ=b2-4ac>0),如 果 a 与 ax2+bx+c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax2+ bx+c 异号,则其解集在两根之间. (2)简单分式不等式的解法. ①gf((xx))>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0).
②gf((xx))≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. (3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式,可利用函数的 单调性求解.
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2.几个不等式 (1)a2+b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当 a=b). (2)ab≤????a+2 b????2(a,b∈R). (3) a2+2 b2≥a+2 b≥ ab≥a2+abb(a>0,b>0). (4)2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R,当 a=b 时等号成立).
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3.利用基本不等式求最值 (1)如果 x>0,y>0,xy=p(定值),当 x=y 时,x+y 有最小值 2 p(简 记为:积定,和有最小值). (2)如果 x>0,y>0,x+y=s(定值),当 x=y 时,xy 有最大值14s2(简 记为:和定,积有最大值).
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4.简单的线性规划问题 解决线性规划问题首先要找到可行域,再根据目标函数表示的 几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点 (或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证 解决.
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热点一 不等式的性质及解法 【例 1】 (1)已知函数 f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)
单调递增,则 f(2-x)>0 的解集为( ) A.{x|x>2 或 x<-2} B.{x|-2<x<2} C.{x|x<0 或 x>4} D.{x|0<x<4} (2)(2017·江苏卷)已知函数 f(x)=x3-2x+ex-e1x,其中 e 是自然对 数的底数,若 f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数 a 的取值范围是________.
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解析 (1)∵f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,

∴(-x-2)(-ax+b)=(x-2)(ax+b),则(2a-b)x=0 恒成立.

因此 2a-b=0,即 b=2a,则 f(x)=a(x-2)(x+2).

又函数在(0,+∞)上单调递增,所以 a>0.

f(2-x)>0 即 ax(x-4)>0,解得 x<0 或 x>4.

(2)f′(x)=3x2-2+ex+e1x≥3x2-2+2 0,所以 f(x)为单调递增函数.

ex·e1x=3x2≥0 且 f′(x)不恒为

又 f(-x)=-x3+2x+e-x-ex=-(x3-2x+ex-e1x)=-f(x),故 f(x) 为奇函数,由 f(a-1)+f(2a2)≤0,得 f(2a2)≤f(1-a),

∴2a2≤1-a,解之得-1≤a≤12,故实数 a 的取值范围是???-1,12???. 答案 (1)C (2)???-1,12???
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探究提高 1.解一元二次不等式:先化为一般形式 ax2+bx+ c>0(a>0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二 次不等式的解集. 2.(1)对于和函数有关的不等式,可先利用函数的单调性进行转化. (2)含参数的不等式的求解,要对参数进行分类讨论.
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【训练 1】 (1)若不等式 x2-ax+1≥0 对于一切 a∈[-2,2]恒成 立,则 x 的取值范围是________. (2)已知不等式x-2 1≥15|a2-a|对于 x∈[2,6]恒成立,则 a 的取 值范围是________.
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解析 (1)因为 a∈[-2,2],可把原式看作关于 a 的一次函数,即 g(a)=-xa+x2+1≥0, 由题意可知?????gg( (- 2)2) == x2-x22+x+2x1+≥1≥ 0,0,解之得 x∈R. (2)设 y=x-2 1,y′=-(x-21)2<0, 故 y=x-2 1在 x∈[2,6]上单调递减,则 ymin=6-2 1=25, 故不等式x-2 1≥15|a2-a|对于 x∈[2,6]恒成立等价于 15|a2-a|≤25恒成立,化简得?????aa22--aa-+22≤≥00,, 解得-1≤a≤2,故 a 的取值范围是[-1,2]. 答案 (1)R (2)[-1,2]
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热点二 基本不等式及其应用 【例 2】 (1)(2017·山东卷)若直线ax+by=1(a>0,b>0)过点(1,2),则
2a+b 的最小值为________. (2)(2016·江苏卷改编)已知函数 f(x)=2x+???12???x,若对于任意 x∈R, 不等式 f(2x)≥mf(x)-6 恒成立,则实数 m 的最大值为________.
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解析 (1)∵直线ax+by=1(a>0,b>0)过点(1,2), ∴1a+2b=1(a>0,且 b>0), 则 2a+b=(2a+b)???1a+2b??? =4+ba+4ba≥4+2 ba·4ba=8. 当且仅当ba=4ba,即 a=2,b=4 时上式等号成立. 因此 2a+b 的最小值为 8.
20

(2)由条件知 f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.

∵f(2x)≥mf(x)-6 对于 x∈R 恒成立,且 f(x)>0,

∴m≤(f(f(x)x))2+4对于 x∈R 恒成立.



(f(x))2+4 f(x)



f(x)



4 f(x)

≥2

f(x)·f(4x) = 4 , 且

(f(f(0)0))2+4=4,

∴m≤4,故实数 m 的最大值为 4.

答案 (1)8 (2)4

21

探究提高 1.利用基本不等式求最值,要注意“拆、拼、凑”等变 形,变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的 条件,即“和”或“积”为定值,等号能够取得. 2.特别注意:(1)应用基本不等式求最值时,若遇等号取不到的情 况,则应结合函数的单调性求解. (2)若两次连用基本不等式,要注意等号的取得条件的一致性, 否则会出错.
22

【训练 2】 (1)已知向量 a=(3,-2),b=(x,y-1),且 a∥b,若 x,

y 均为正数,则3x+2y的最小值是(

)

5

8

A.3

B.3

C.8

D.24

(2)若实数 a,b 满足1a+2b= ab,则 ab 的最小值为(

)

A. 2

B.2

C.2 2

D.4

23

解析 (1)∵a∥b,∴3(y-1)+2x=0,即 2x+3y=3.∵x>0,y>0,

∴3x+2y=???3x+2y???·13(2x+3y)=13???6+6+9xy+4yx???≥13(12+2×6)=8. 当且仅当 3y=2x 时取等号.

(2)依题意知 a>0,b>0,则1a+2b≥2

a2b=2

2, ab

当且仅当1a=2b,即 b=2a 时,“=”成立.

∵1a+2b=

ab,∴

ab≥2

2,即 ab

ab≥2

2,

∴ab 的最小值为 2 2.

答案 (1)C (2)C

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热点三 简单的线性规划问题

命题角度 1 已知线性约束条件,求线性目标函数最值

【 例 3 - 1 】 (1)(2017·天 津 卷 ) 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件

??2x+y≥0,

???xx+ ≤20y,-2≥0,则目标函数 z=x+y 的最大值为(

)

??y≤3,

2

3

A.3

B.1

C.2

D.3

??x-y≥0, (2)(2017·全国Ⅲ卷)若 x,y 满足约束条件?x+y-2≤0,则 z=3x-
??y≥0,

4y 的最小值为________.

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解析 (1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,由 z=x+y得y=-x+z,作出直线y=-x,平移使之经过可行域,观 察可知,最优解在B(0,3)处取得,故zmax=0+3=3,选项D符合.
26

(2)由题设,画出可行域如图阴影部分所示:
由 z=3x-4y, 得 y=34x-4z, 作出直线 y=34x,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经过点 A(1,1)时,z 有最小值.故 zmin=3×1-4×1=-1. 答案 (1)D (2)-1
27

命题角度 2 求非线性目标函数的最值 ??2x-y-4≥0,
【例 3-2】 (2017·汉中模拟)已知实数 x,y 满足?x-2y-2≤0, ??y≤6,
则 z=yx+ +12的取值范围是________.
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解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,
联立?????2x-x-2yy- -42= =00, ,得 A(2,0).联立?????y2=x-6, y-4=0,得点 B(5,6). z=yx+ +12的几何意义为可行域内的动点与定点 P(-2,-1)连线的斜 率,∵kPA=14,kPB=1,∴z=yx+ +12的取值范围为???14,1???.
答案 ???14,1???
29

命题角度 3 线性规划中参数问题

【例 3-3】 (2017·池州模拟)已知 x,y 满足约束条件???ax-x+y-y≥24≤,0, ??x-2y+3≥0,

目标函数 z=2x-3y 的最大值是 2,则实数 a=( )

1

A.2

B.1

3

C.2

D.4

30

解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,
∵目标函数 z=2x-3y 的最大值是 2, 由图象知 z=2x-3y 经过平面区域的 A 时目标函数取得最大值 2. 由?????x2-x-y-3y2==20,,解得 A(4,2),同时 A(4,2)也在直线 ax+y-4=0 上,∴4a=2,则 a=12.
答案 A
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探究提高 1.线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合 的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目 标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行 比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会 在可行域的端点或边界上取得.
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2.对于线性规划中的参数问题,需注意: (1)当最值是已知时,目标函数中的参数往往与直线斜率有关, 解题时应充分利用斜率这一特征加以转化. (2)当目标函数与最值都是已知,且约束条件中含有参数时,因 为平面区域是变动的,所以要抓住目标函数及最值已知这一突破 口,先确定最优解,然后变动参数范围,使得这样的最优解在该 区域内即可.
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【训练 3】 (1)(2017·山东卷)已知 x,y 满足约束条件???xx+ -32≥ y+05,≤0, ??y≤2,
则 z=x+2y 的最大值是( )

A.-3

B.-1

C.1

D.3

(2)(2017·新乡模拟)若实数 x,y 满足???22xx- +yy+ -26≥ ≤00, ,且 z=mx- ??0≤y≤3,

y(m<2)的最小值为-52,则 m 等于(

)

5 A.4

B.-56

C.1

1 D.3

34

解析 (1)已知约束条件可行域如图中阴影部分所示,z=x+2y经 过B(-1,2)时有最大值,
∴zmax=-1+2×2=3.
35

(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,
z=mx-y(m<2)的最小值为-52,可知目标函数的最优解过点 A,由 ?????y2=x-3, y+2=0,解得 A???12,3???. ∴-52=m2 -3,解得 m=1. 答案 (1)D (2)C
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1.多次使用基本不等式的注意事项 当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成 立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此 在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解 题的必要步骤,也是检验转换是否有误的一种方法.
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2.基本不等式除了在客观题考查外,在解答题的关键步骤中也往 往起到“巧解”的作用,但往往需先变换形式才能应用.
3.解决线性规划问题首先要作出可行域,再注意目标函数表示的 几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点 (或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证 解决.
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4.解答不等式与导数、数列的综合问题时,不等式作为一种工具 常起到关键的作用,往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、 分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中,要以数 学思想方法为思维依据,并结合导数、数列的相关知识解题, 在复习中通过解此类问题,体会每道题中所蕴含的思想方法及 规律,逐步提高自己的逻辑推理能力.
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