2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数极值课件2 新人教B版选修2-2_图文

一 函数极值的定义 一般地,设函数 f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上可导,且 x0 ? ? a, b ? (1)如果在 x0 附近的所有X,都有 f ( x0 ) > f (x), 那么 f ( x0 )是极大值.x0 叫极大值点 (2)如果在 x0 附近的所有X,都有 f ( x0 ) < f (x), x0 叫极小值点。 那么 f ( x0 ) 是极小值. f ( x3 ) y 观察右图,试 指出该函数的极 f ( x 4 ) 值点与极值,并 f ( x1 ) 说出哪些是极大 值点,哪些是极 f ( x 2 ) 小值点. O a x1 x2 x3 x4 b x 注意: (1)极值是一个局部概念; (2)极值点是自变量的值,极值指的是函数值; (3)函数的极大值未必大于极小值; (4)函数的极值点一定在区间的内部,区间 的端点不能成为 极值点。。 y P(x1,f(x1)) Q(x2,f(x2)) x2 y=f(x) o a x1 x3 x4 b x y f(a)和 f(b)是否为极值? y=f ( x) O a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 b x 极大值点有:x2、x4、x6 极小值点有:x1、x3、x5、x7 【求函数极值的步骤】 (1)求导并优先考虑其定义域; (2)解方程f’(x)=0,得可能的极值点; (3)列表;用方程f’(x)=0的根,顺次将 函数的定义域分成若干个开区间, (4)根据左增右减为极大,右减左增为 极小就得到函数的所有极值。 二 求函数的极值 1 3 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 例 求函数 3 y? ? x 2 ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2) 解: 令 y? ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2 y?, y 的变化情况如下表: 当 x 变化时, x f?(x) f(x) ( ?? ,?2) + -2 0 极大值 28 3 (-2,2) — 2 0 ( 2,?? ) + 4 极小值? 3 28 y ? x ? ? 2 当 时,y有极大值,并且 极大值 3 4 当 x ? 2 时,y有极小值,并且 y极小值 ? ? 3 2 3 f ( x ) ? ( x ? 1 ) ? 1 的极值. 例2 求函数 解:y? ? 6 x ( x 2 ? 1) 2 令 y? ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? 0, x3 ? 1. 当 x 变化时,y?, y 的变化情况如下表: x y? ( ?? ,?1) — y -1 (-1,0) 0 (0,1) 0 — 0 + 无极值 极小值0 (1,?? ) 1 0 + 无极值 思考:极值与导数有何关系? 极值点处的导数为0 导数为零处不一定是极值点 注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 极值点导数为0,但导数为0初不 一定是极值点 用导数求极值的一般步骤? 图像中:左增右减有极大, 左减右增有极小 练习 求下列函数的极值: 2 (1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 解: 1 (1) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0,解得 x ? . 列表: 12 x 1 (??, ) 12 – 单调递减 1 12 f ?( x) f (x) 0 49 ? 24 1 ( ,??) 12 + 单调递增 1 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 12 1 49 f( )?? . 12 24 练习2 求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; 2 (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 解: (2) 令f ?( x) ? 3x 2 ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3. 列表: x (–∞, –3) –3 0 (–3, 3) – 3 0 ( 3, +∞) f ?( x) + + f (x) 单调递增 54 单调递减 ? 54 单调递增 所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 . 练习1. 3 2 2 函数 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1时有极值10,则a, b的值为( C ) A、 a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B、 a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C、a ? ?4, b ? 11 D、 以上都不对 , f (1) ? 10 解:由题设条件得:? ? / ? f (1) ? 0 解之得 ? a ? 3 ? a ? ?4 或? ? ?b ? ?3 ? b ? 11 ?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ?? ? 3 ? 2a ? b ? 0 通过验证,都合要求,故应选择A。 注意代 入检验

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