复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明

复旦大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1. 已知 a,b 为不相等的正数,A ? a a ? b b , B ? a b ? b a , A、 的大小关系( 则 B A. A ? B 【答案】A 1 1 1 2.设 x,y,z 都是正实数,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a,b,c 三个数( y z x A.至少有一个不大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2 【答案】C 3.已知 a,b,c 都是正数,则三数 a ? A.都大于 2 C.至少有一个不大于 2 【答案】D 4.用反证法证明“方程 ax A. 至多有一个解 C. 至少有三个解 【答案】C 5.用反证法证明命题“若 a ? b ? 0 ,则 a, b 全为 0”其反设正确的是(
2 2

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

)

B. A ? B

C. A ? B

D. A ? B

)

1 1 1 ,b ? ,c ? ( b c a
B.都小于 2

)

D.至少有一个不小于 2

2

? bx ? c ? 0(a ? 0) 至多有两个解”的假设中,正确的是(
B. 有且只有两个解 D. 至少有两个解

)

)

A. a, b 至少有一个不为 0 C. a, b 全不为 0 【答案】A

B. a, b 至少有一个为 0 D. a, b 中只有一个为 0

6. 用反证法证明某命题时,对某结论: “自然数 a,b,c 中恰有一个偶数” ,正确的假设为( A. a,b,c 都是奇数 B. a,b,c 都是偶数 C. a,b,c 中至少有两个偶数 D. a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 【答案】D

)

7.下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成 的规律,a 所表示的数是( A.2 B.4 ) C.6 D. 8

【答案】C 8.若 P ?

a ? 7 ? a ? 4, Q ? a ? 3 ? a , (a ? 0) ,则 P, Q 的大小关系是(
B. P = Q C. P < Q

)

A. P > Q 【答案】C

D.由 a 的取值确定

9.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( A.假设三内角都不大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 【答案】B B.假设三内角都大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度

)

10.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f (n) 个区域,则 f ( n) 的表达式为(

)

A.

n ?1

B.

2n

n2 ? n ? 2 C. 2

D. n ? n ? 1
2

【答案】C 11.用反证法证明: “方程 ax
2

? bx ? c ? 0, 且 a, b, c 都是奇数,则方程没有整数根” 正确的假
) C.自然数或负整数 D.正整数或负整数

设是方程存在实数根 x0 为( A.整数 【答案】C 12.下列推理是归纳推理的是(

B.奇数或偶数 )

A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得 P 的轨迹为椭圆 B.由 a1=a,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 C.由圆 x +y =r 的面积π r ,猜想出椭圆 D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.研究问题: “已知关于 x 的不等式 ax
2
2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 的面积 S=π ab a 2 b2

? bx ? c ? 0 的解集为 (1, 2) ,解关于 x 的不等式

cx 2 ? bx ? a ? 0 ” ,有如下解法:
解:由 ax
2

1 1 1 1 ? bx ? c ? 0 ? a ? b( ) ? c( ) 2 ? 0 ,令 y ? ,则 y ? ( , 1) , x x x 2
2

所以不等式 cx

1 ? bx ? a ? 0 的解集为 ( , 1) . 2
k x?b ? ? 0 的解集为 (?2, ? 1) ? (2, 3) ,则关 x?a x?c

参考上述解法,已知关于 x 的不等式

于 x 的不等式

kx bx ? 1 ? ? 0 的解集为 ax ? 1 cx ? 1

【答案】 ? ?

? 1 1? ?1 ? , ? ? ? ? ,1? ? 2 3? ? 2 ?

14.若三角形内切圆的半径为 r ,三边长为 a,b,c ,则三角形的面积等于 S ?

1 r (a ? b ? c) , 2 根据类比推理的方法,若一个四面体的内切球的半径为 R ,四个面的面积分别是 S1,S2,S3,S4 ,则四面体的体积 V ? .

1 【答案】 R(S1 ? S2 ? S3 ? S4 ) 3
15.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角” ,正确的假设是 【答案】三角形的内角中至少有两个钝角 16.若正数 a,b,c 满足 a ? b ? 4c ? 1 ,则

a ? b ? 2c 的最大值为



10 【答案】 2
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.求证:

y ? ax2 ? 2bx ? c, y ? bx2 ? 2cx ? a, y ? cx2 ? 2ax ? b ( a, b, c 是互不相等的实

数) ,三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个交点. 【答案】假设这三条抛物线全部与 x 轴只有一个交点或没有交点,则有

?Δ 1 ? 4b 2 ? 4ac ? 0 ? 2 ?Δ 2 ? 4c ? 4ab ? 0 ? 2 ?Δ 3 ? 4a ? 4bc ? 0
2 2

三式相加,得 a +b +c -ab-ac-bc≤0 ?
2 2 2

(a-b) +(b-c) +(c-a) ≤0. ∴a=b=c 与已知 a,b,c 是互不相等的实数矛盾, ∴这三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个交点. 18.已知函数 f ( x) ? a ?
x

2

x?2 , (a ? 1) ,用反证法证明:方程 f ( x) ? 0 没有负实数根. x ?1

【答案】假设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0, 则 a 0 =x

x0 ? 2 x ,且 0< a 0 <1, x0 ? 1
1 x0 ? 2 <1,即 <x0<2. 2 x0 ? 1 π π π 2 2 , b = y ? 2z + , c = z ? 2x + ,求证: 2 3 6

所以 0<-

与假设 x0<0 矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根. 19.已知 a,b,c 均为实数,且 a = x ? 2y +
2

a,b,c 中至少有一个大于 0.

【答案】假设 a,b,c 都不大于 0 ,即 a≤0,b≤0,c≤0,得 a+b+c≤0, 而 a+b+c=(x-1) +(y-1) +(z-1) +π -3>0, 即 a+b+c>0,与 a+b+c≤0 矛盾,故假设 a,b,c 都不大于 0 是错误的, 所以 a,b,c 中至少有一个大于 0. 20. 有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的 a,b,c,?,z 的 26 个字母(不分大小写), 依次对应 1,2,3,?,26 这 26 个自然数,见如下表格:
2 2 2

给出如下变换公式:

?x ?1 ? 2 ( x ? N ,1 ? x ? 26, x不能被2整除) ? ' X ?? ? x ? 13( x ? N ,1 ? x ? 26, x能被2整除) ?2 ?
8 5+1 将明文转换成密文,如 8→ +13=17,即 h 变成 q;如 5→ =3,即 e 变成 c. 2 2 ①按上述规定,将明文 good 译成的密文是什么? ②按上述规定,若将某明文译成的密文是 shxc,那么原来的明文是什么? 【答案】①g→7→ 7+1 =4→d; 2 15+1 o→15→ =8→h; 2 d→o;

则明文 good 的密文为 dhho ②逆变换公式为

?2 x ' ? 1( x ' ? N ,1 ? x ' ? 13) ? x?? ' ?2 x ? 26( x ' ? N ,14 ? x ' ? 26) ?
则有 s→19→2×19-26=12→l; x→24→2×24-26=22→v; 故密文 shxc 的明文为 love 21.已知 a, b, c ? R ,求证:
?

h→8→2×8-1=15→o;

c→3→2×3-1=5→e

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c 。 ? 3 3
,只需证: ,

【答案】要证

只需证: 只需证: 只需证: ,而这是显然成立的,

所以

成立。

22.用分析法证明:若 a>0,则 a 2 ?

1 1 ? 2 ? a? ?2 2 a a
1 1 2 a + 2+2≥a+ + 2. a a

【答案】要证

1 1 2 a + 2- 2≥a+ -2,只需证 a a

∵a>0,∴两边均大于零,因此只需证( 1 2 只需证 a + 2+4+4 a 只需证

1 1 2 2 2 a + 2+2) ≥(a+ + 2) , a a

1 1 1 2 2 a + 2≥a + 2+2+2 2(a+ ) , a a a

1 2 1 1 1 1 2 2 2 a + 2≥ (a+ ) ,只需证 a + 2≥ (a + 2+2) , a 2 a a 2 a

1 2 即证 a + 2≥2,它显然是成立,∴原不等式成立. a


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