数学快速提升成绩题型训练——三角函数

题型训练——三角函数

1. 右图为 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象的一段,求其解析式。

2

设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ?

?
8



(Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上 的图像。

1

3. 已知函数 f ( x) ? log1 (sin x ? cos x) ,
2

(1)求它的定义域和值域; (2)求它的单调区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期。

4. 已知向量 a = ( 3 ,2), b =( sin 2?x,? cos2 ?x) , ( ? ? 0) 。 (1)若 f ( x) ? a ? b ,且 f ( x) 的最小正周期为 ? ,求 f ( x) 的最大值,并求 f ( x) 取得最大 值时 x 的集合; (2)在(1)的条件下, f ( x) 沿向量 c 平移可得到函数 y ? 2 sin 2 x, 求向量 c 。

?

?

?

?

2

5. 设函数 f ( x) ? a ? b cos x ? c sin x 的图象经过两点(0,1) , (

0? x?

?
2

? ,1 ) ,且在 2

内 | f ( x) |? 2 ,求实数 a 的的取值范围.

6. 若函数 f ( x) ?

1 ? cos2 x 2 sin( ? x) 2

?

? sin x ? a 2 sin(x ? ) 的最大值为 2 ? 3 ,试确定常数 a 4

?

的值.

7. 已知二次函数 f ( x) 对任意 x ? R , 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立, 设向量 a ?(sinx, 2) ,

1 b ? (2sinx, ) , c ? (cos2x,1) , d ? (1,2) ,当 x ?[0, π ]时,求不等式 f( a ? b ) 2
>f( c ? d )的解集.
3

8. 试判断方程 sinx=

x 实数解的个数. 100?

9. 已知定义在区间 [ ? ? , ? ] 上的函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ?

x ?[ ?

? 2

2 3

?
6

对称,当

? ? , ? ] 时,函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) ,其图象如图. 6 3 2 2

(1)求函数 y ? f ( x) 在 [ ? ? , ? ] 的表达式; (2)求方程 f ( x) ? 2 的解.
2

2 3

4

? ) 的图象在 y 轴上的截距为 1,它 2 在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 ( x0 ,2) 和 ( x0 ? 3? ,?2) .
10. 已知函数 f ( x ) ? A sin( ?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0, | ? |? (1)试求 f ( x ) 的解析式; (2)将 y ? f ( x ) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) , 然后再将新的图象向

? x 轴正方向平移 个单位,得到函数 y ? g( x ) 的图象.写出函数 y ? g( x ) 的解析式. 3

1 3

5

x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3 (Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程
11. 已知函数 f ( x) ? sin (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时 函数 f(x)的值域. 12. f ( x) ? 2 3 sin( 3?x ?

?
3

) (ω>0)

(1)若 f (x +θ)是周期为 2π的偶函数,求ω及θ值 (2)f (x)在(0,

? )上是增函数,求ω最大值。 3

13. 已知 a

3 x 3 x x x ? (cos , ? cos ), b ? ( ? cos , sin ), 且 a∥b. 求 2 2 2 2 2 2
?

1 ? 2 cos(2 x ? ) 4 的值. sin(x ? ) 2

?

6

14. 已知△ABC 三内角 A、B、C 所对的边 a,b,c,且 (1)求∠B 的大小; (2)若△ABC 的面积为

a2 ? c2 ? b2 c ? . 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

3 3 ,求 b 取最小值时的三角形形状. 4

15. 求函数 y= sin(2 x ?

?
3

) cot(2 x ?

?
3

) 的值域.

7

16. 求函数 y=

tan x ? sec x ? 1 的单调区间. tan x ? sec x ? 1

17. 已知 f ( x) ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 1 ? ctgx
? 3 ? 3 ) ? ,且 ? x ? ? ,求 f(x)的值; 4 5 4 4

①化简 f(x);②若 sin( x ?

18. 已知ΔABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 A<B<C,tgA·tgC ? 2 ? 3 ,①求角 A、
8

B、C 的大小;②如果 BC 边的长等于 4 3 ,求ΔABC 的边 AC 的长及三角形的面积.

19. 已知 sin ? ?

3 ? 1 , ? ? ( , ?), tg (? ? ?) ? ,求 tg(?-2?). 5 2 2

20. 已知函数 f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x)在x ? ?0,

? ?? 的值域. ? 2? ?

21. 已知向量 a =(cos (1)求 a ? b

?

?

? ?

? x x 3 3 ? sin ),且 x∈[0, ]. x,sin x), b =( ? cos , 2 2 2 2 2

(2)设函数 f ( x ) ? a ? b + a ? b ,求函数 f ( x) 的最值及相应的 x 的值。

?

? ?

9

22. 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 sin ? x sin(? x ?
2

?
2

)(?

0) 的最小正周期为π.

(Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,

2? ]上的取值范围. 3

23. 在⊿ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 tan A ? (1)求 tanC 的值;

1 3 10 , cos B ? 2 10

(2)若⊿ABC 最长的边为 1,求 b。

10

24. 如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交 AC 于 E, AB=2。 (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE。

cos B b ?? 2a ? c 。 25. 在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 cos C
(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 13, a ? c ? 4 ,求 a 的值。

答案: 1. 解析 法 1 以 M 为第一个零点,则 A= 3 ,

? ? 2 所求解析式为 y ? 3 sin(2x ? ? ) ? 2? 点 M( ,0) 在图象上,由此求得 ? ? ? 3 3 ? 所求解析式为 y ? 3 sin( 2 x ? 2? ) 3
11

法 2. 由题意 A= 3 , ? ? 2 ,则 y ? 3sin(2x ? ? )

7 7 ? , 3) ? 3 ? 3 sin( ? ? ? ) 12 6 7 7 ? 2? 2? ? 3 ? 3 sin( ? ? ? ) 即 ? ? ? ? ? 2k? . ? ? ? ? ? 2 k? . 取 ? ? ? . 6 6 2 3 3 2? ? 所求解析式为 y ? 3 sin(2 x ? ) 3
图像过点 (

2. 解析(Ⅰ)? x ?

?
8

是函数 y ? f ( x) 的图像的对称轴,? sin( 2 ?
? ?? ? ? ? 0, ? ? ? 3? . 4

?
8

? ? ) ? ?1,

?

?
4

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z.

3? 3? ,因此 y ? sin( 2 x ? ). 4 4 ? 3? ? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z . 由题意得 2 4 2 3? ? 5? )的单调增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z . 所以函数 y ? sin( 2 x ? 4 8 8 3? )知 (Ⅲ)由 y ? sin( 2 x ? 4 ? 3? 5? 7? x 0 ? 8 8 8 8
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? ?

y

?

2 2

-1

0

1

0

?

2 2

[0, ? ]上图像是 故函数 y ? f ( x)在区间

12

3. 解析 (1)由题意得 sinx-cosx>0 即 2 sin( x ? 从而得 2k? ? x ?

?
4

) ? 0,

?
4

? 2k? ? ? ,

(2k? ? ∴函数的定义域为
∵ 0 ? sin( x ?

?
4

, 2k? ?

1 ) ? 1 ,故 0<sinx-cosx≤ 2 ,所有函数 f(x)的值域是 [? ,?? ) 。 4 2 3? 5? k ?Z , 2k? ? ) (2)单调递增区间是 [2k? ? 4 4 ? 3? k ?Z , (2k? ? , 2k? ? ) 单调递减区间是 4 4
(3)因为 f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称,故 f(x)是非奇非偶函数。 (4)∵ f ( x ? 2? ) ? log1 [sin(x ? 2? ) ? cos(x ? 2? )] ? f ( x)
2

?

5? k ?Z , ) 4

∴函数 f(x)的最小正周期 T=2π。 4. 解析 f ( x) ? a ? b = 3 sin 2?x ? 2 cos ?x ? 2 sin( 2?x ?
2

?
6

) ? 1 ,T= ? , ? ? 1

f ( x) ? = 2 sin( 2 x ?

?

? ? ? ) ? 1 , ymax ? 1 ,这时 x 的集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? 6 3 ? ?

(2)? f ( x) 的图象向左平移 量 c = (?

?

?
12

? ,再向上平移 1 个单位可得 y ? 2 sin 2 x 的图象,所以向 12

,1) 。

5. 解析

由图象过两点得 1=a+b,1=a+c,

? b ? 1 ? a, c ? 1 ? a, f ( x) ? a ? (1 ? a)(sin x ? cos x) ? a ? 2 (1 ? a) sin( x ?
?0 ? x ?

?
4

)

? ? 3 2 ? , 则 ? x ? ? ? ,? ? sin(x ? ) ? 1 2 4 4 4 2 4 当 a<1 时, 1 ? f ( x) ? 2 ? (1 ? 2 )a, 要使 | f ( x) |? 2 ,
只须 2 ? (1 ? 2 )a ? 2 解得 a ? ? 2 当 a ?1 时, 2 ? (1 ? 2 )a ? f ( x) ? 1 要使 | f ( x) |? 2只须 2 ? (1 ? 2 )a ? ?2 解得 a ? 4 ? 3 2 , 故所求 a 的范围是 ? 2 ? a ? 4 ? 3 2

?

6. 解析

f ( x) ?

2 1? 2c o s x ?1

2 s i n ( ? x) 2
13

?

? s i nx ? a 2 s i n x (?

?
4

)

2 cos2 x ? ? ? sin x ? a 2 sin(x ? ) ? sin x ? cos x ? a 2 sin(x ? ) 2 cos x 4 4 ? ? ? ? 2 sin( x ? ) ? a 2 sin( x ? ) ? ( 2 ? a 2 ) sin( x ? ) 4 4 4 ? 因为 f ( x) 的最大值为 2 ? 3, sin( x ? ) 的最大值为 1,则 2 ? a 2 ? 2 ? 3, 4 所以 a ? ? 3 ?

7. 解析 因为

(1 ? x) ? (1 ? x) ? 1 , f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,所以 y1 ? y2 , 2

设 f(x)的二次项系数为 m,其图象上两点为(1-x, y1 ) 、B(1+x, y2 )

由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 若 m>0,则 x≥1 时,f(x)是增函数,若 m<0,则 x≥1 时,f(x)是减函数. ∵

1 a ? b ? (sin x , 2) ? (2 sin x , ) ? 2 sin 2 x ? 1 ? 1 , c ? d ? (cos 2x , 1) ? (1 , 2) 2 ? cos 2 x ? 2 ? 1 ,

∴ 当 m ? 0 时, f (a ? b) ? f (c ? d ) ? f (2sin 2 x ?1) ? f (cos 2x ?1)

? 2 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 0 π 3π ? cos 2 x ? 0 ? 2kπ ? ? 2 x ? 2kπ ? ,k ?Z. 2 2 π 3π ?x? ∵ 0 ? x ? π, ∴ . 4 4 π 3π ? x ? π. 当 m ? 0 时,同理可得 0 ? x ? 或 4 4 π 3π }; 综上 f (a ? b) ? f (c ? d ) 的解集是当 m ? 0 时,为 {x | ? x ? 4 4 π 3π ? x ? π} . 当 m ? 0 时,为 {x | 0 ? x ? ,或 4 4

8. 解析 方程 sinx= ∵|sinx|≤1∴|

x x 实数解的个数等于函数 y=sinx 与 y= 的图象交点个数 100? 100?

x |≤1, |x|≤100л 100?
100л

当 x≥0 时,如右图,此时两线共有 100 个交点,因 y=sinx 与 y=

x 都是奇函数,由对称性知当 x≥0 时,也有 100 个交点, 100?

原点是重复计数的所以只有 199 个交点。

14

9. 解析

(1)当 x ? [ ? ? , 2 ? ] 时,

? ? 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) ,观察图象易得:

6 3

A ? 1, ? ? 1, ? ? ? ,即函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,由函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 3 3 ? x ? ? ? 对称得, x ? [ ? ? , ? ] 时,函数 f ( x) ? ? sin x .
?sin( x ? ? ) x ? [ ? ? , 2? ] ? 3 6 3 ∴ f ( x) ? ? . ? ?? sin x x ? [ ?? , ? ) 6 ? (2)当 x ? [ ? ? , 2 ? ] 时, 6 3 2 得, x ? ? ? ? 或 3? ? x ? ? ? 或x ? 5? ; 由 sin( x ? ? ) ? 3 2 3 4 4 12 12 当 x ? [ ? ? , ? ? ] 时,由 ? sin x ? 2 得, x ? ? 3? 或x ? ? ? . 4 4 2 6 2 的解集为 { ? 3? , ? ? , ? ? , 5? } ∴方程 f ( x) ? 4 4 12 12 2

2

2

6

6

10. 解析 (1)由题意可得:

T ? 6? , A ? 2 ,

, ? sin ? ? ? 函数图像过(0,1)

x ? ? f ( x) ? 2 sin( ? ) ; 3 6
(2) g ( x) ? 2 sin( x ?

1 ? ? , ? ? ? ,?? ? 2 2 6

1 ? f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) , 3


?

6

)

11. 解析 (1) f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2

2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) =0 即 ? ? k? (k ? z )得x ? ? 3 3 3 3 2 3k ? 1 ?, k ? z 即对称中心的横坐标为 2
由 sin( (Ⅱ)由已知 b2=ac, cos x ?

k?z

1 ? ? 2 x ? 5? ? ? cos x ? 1 , 0? x? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? | ? |?| ? | , ? sin ? sin( ? ) ? 1 , 3 2 9 2 3 3 3 2x ? 3 ? 3 ? sin( ? ) ? 1 ? , 3 3 2
15

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2

即 f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 ?

3 ]. 2

12. 解析(1)因为 f (x +θ)= 2 3 sin( 3?x ? 3? ? 又 f (x +θ)是周期为 2π的偶函数, 故 ? ?

?
3

)
k? Z

1 ? ,? ? k? ? 3 6 ? 1 (2)因为 f (x)在(0, )上是增函数,故ω最大值为 3 6

13. 由 a∥b 得,

3 x x x ? cos 2 ? sin cos ? 0, 4 2 2 2 3 1 ? cos x 1 1 ? sin x ? 0, ? sin x ? cos x ? , 即 ? 4 2 2 2

1 ? 2 cos(2 x ? ) 1 ? 2 (cos2 x cos ? sin 2 x sin ) 4 ? 4 4 ? cos x sin(x ? ) 2

?

?

?

1 ? cos2 x ? sin 2 x 2 cos2 x ? 2 sin x cos x ? ? ? 2(sin x ? cos x) ? 1. cos x cos x

思路点拨:三角函数的求值问题,关键是要找到已知和结论之间的联系,本题先要应用向量 的有关知识及二倍角公式将已知条件化简,然后将所求式子的角向已知角转化.

a2 ? c2 ? b2 a ?c ?b c b ? 得 2 2ac ? 14. (1)由 2 2 2 2 2 2a ? c a ? b ? c 2a ? c a ?b ?c 2ab
2 2 2



cos B sin B ? , cos C 2 sin A ? sin C

2 sin A cos B ? cos B sin C ? sin B cosC,
即 2 sin A cos B ? cos B sin c ? sin B cosC,

2 sin A cosB ? sin(B ? C ),

2 sin AcosB ? sin A, 由 B ? C ? ? ? A得,
16

∵ sin A ? 0,? cos B ? (2) 由 S ?ABC ?

1 , ?B ? 60 ? . 2

1 1 3 3 acsin B ? acsin 60? ? 得,ac ? 3, 2 2 4

∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2accos60? ? 2ac ? ac ? ac ? 3, 当且仅当 a ? c ? 3 时取等号, 即 b ? 3 ,故当 b 取最小值 3 时,三角形为正三角形.

15. 解:原函数化简为

y ? cos(2 x ?

?

).这里sin(2 x ? ) ? 0即2 x ? ? k? 3 3 3

?

?

? k? ? ? ? 2 x ? ? k? x? ? ? ? ? ? 3 2 6 ?? (k ? Z ) 得原函数的定义域为 由? ? ? 5 ? ?cos(2 x ? ) ? 0 ?k? ? ? x ? k? ? ? ? 3 12 12 ? ?
? ? ?? ? ? 5? ? ?k? ? 12 , k? ? 6 ? ? ? k? ? 6 , k? ? 12 ?, k ? Z . ? ? ? ?

16. 解:化简函数式并跟踪 x 的取值范围的变化得

x ? y ? tan( ? ) 2 4

且 cos x ? 0 , sin

x ? 0. 2

? ? ? x ? k? ? 2 ? (k ? Z ) ? 由 ? x ? 2k? ? ? x ? ? ?k? ? ? ? ? k? ? 2 2 4 2 ?
故函数递增区间为 ( 2k? ?

? ? ? x ? k? ? 2 ? (k ? Z ) ? x ? 2k? ? 3? ? ?2k? ? ? x ? 2k? ? 2 2 ?

3? ? ? ? ,2k? ? ) , (2k? ? ,2k? ) , ( 2k? ,2k? ? ).k ? Z 2 2 2 2

17. 解:①分析:注意此处角,名的关系,所以切化弦化同角,2x 化 x,化同角.

17

f ( x) ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin 2 x ? 1 ? cos x 1 ? ctgx 1? sin x 2 sin 2 x ? (cos x ? sin x) ? 2 sin 2 x sin x ? cos x
? ? ? ,而 x ? ( x ? ) ? ,∴可把 x 化成已知. 4 4 4

?

②求 f(x)即求 sinx,此处未知角 x,已知角 x ? ∵

? 3 ? x ? ?, 4 4



? ? ? x ? ? ?, 2 4

∴ cos(x ?

? ? 4 ) ? ? 1 ? sin 2 ( x ? ) ? ? , 4 4 5

? ? )? ] 4 4 ? ? ? ? 7 ? sin( x ? ) cos ? cos( x ? ) sin ? 2 4 4 4 4 10 49 2 ∴ f ( x) ? 2 sin x ? . 25
∴ sin x ? sin[( x ?

18. 解:(1)法 1,∵tgA·tgC ? 2 ? 3 ,∴

sin A sin C ? 2? 3, cos A cos C

即 sin A ? sin C ? (2 ? 3) cos A ? cosC ∴?

1 2? 3 [cos(A ? C ) ? cos(A ? C )] ? [cos(A ? C ) ? cos(A ? C )] 2 2

∵A+B+C=180? 且 2B=A+C, ∴B=60?, A+C=120?, ∴ cos( A ? C ) ? ?

1 , 2



1 1 2? 3 2? 3 ? cos(A ? C ) ? ? ? cos(A ? C ) 4 2 4 2 3 2

∴ cos(A ? C ) ?

∵A<60?<C, 且 A+C=120?, ∴ 0<A<60?, 60?<C<120?, ∴ -120?<A-C<0?,∴ A-C=-30?, 又 A+C=120?∴ A=45?, C=75?. 法 2:∵A+B+C=180?, 2B=A+C, ∴B=60?, A+C=120?,
18

∴ tg ( A ? C) ? ? 3 又 tg ( A ? C ) ?

tgA ? tgC , tgAtgC ? 2 ? 3 1 ? tgAtgC

∴ ? 3?

tgA ? tgC 1? 2 ? 3

∴ tgA ? tgC ? 3 ? 3

又 tgAtgC ? 2 ? 3

且 0?<A<60?<C<120?,

∴ tgA=1, tgC ? 2 ? 3 , ∴ A=45?, ∴ C=120?-45?=75? (2) 由正弦定理: ∴ SΔABC ?

| AC | | BC | ? , ∴ | AC |? 6 2 , 0 sin 60 sin 450

1 | AC | ? | BC | ? sin C 2

?

1 ? 6 2 ? 4 3 ? sin 750 2

? 12 2 sin(450 ? 300 ) ? 18 ? 6 3.

19. ∵ sin ? ?

3 ? 4 3 , ? ? ( , ?), ∴ cos ? ? ? , ∴ tg? ? ? , 5 2 5 4 1 1 4 又 tg ( ? ? ?) ? , ∴ tg? ? ? , ∴ tg 2? ? ? , 2 2 3 3 4 7 ? ? tg? ? tg 2? 7 4 3 ∴ tg (? ? 2?) ? . ? ? 12 ? 3 4 1 ? tg? ? tg 2? 2 24 1 ? (? )(? ) 4 3

20. 解: f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ? ? 3 ?

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x 2 2

?

1 3 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? sin(2 x ?

?
3

)?

3 2

(I) T ?

2? ?? 2

(II)∴ 0 ? x ?

?
2



?
3

? 2x ?

?
3

?

4? 3



?

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3

所以 f ( x) 的值域为: ?? 3 ,

? ?

2? 3? ? 2 ?
19

21. 解: (错误!未找到引用源。 )由已知条件: 0 ? x ?

?
2

, 得:

a ? b ? (cos

3x x 3x x ? cos ,sin ? sin ) 2 2 2 2

(cos

3x x 3x x ? cos )2 ? (sin ? sin )2 2 2 2 2

? 2 ? 2 cos2x ? 2 sin x

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x ? cos 2 x 2 2 2 2 ? 1 3 ? ?2 sin 2 x ? 2 sin x ? 1 ? ?2(sin x ? ) 2 ? ,因为: 0 ? x ? ,所以: 2 2 2 0 ? sin x ? 1 1 3 所以,只有当: x ? 时, f max ( x ) ? , x ? 0 ,或 x ? 1 时, f min ( x) ? 1 2 2
(2) f ( x) ? 2 sin x ? cos

22. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 ? sin 2? x 2 2

=

3 1 1 sin ? x ? cos 2? x ? 2 2 2

= sin(2? x ?

?

1 )? . 6 2
因为函数 f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以 解得ω=1.

2? ?? 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin(2 x ? 因为 0≤x≤ 所以 ?

?

1 ? 7? . ≤ 2x ? ≤ 6 6 2 1 ? 所以 ? ≤ (2 x ? ) ≤1. 2 6 ? 1 3 3 因此 0≤ sin(2 x ? ) ? ≤ ,即 f(x)的取值范围为[0, ] 2 6 2 2

2? , 3

1 )? . 6 2

20

23. 解: (1)

cos B ?

3 10 ? 0, ? B 锐角, 10
sin B 1 10 ? , ,? tan B ? cos B 3 10

且 sin B ? 1 ? cos B ?
2

1 1 ? tan A ? tan B ? tan C ? tan ?? ? ( A ? B)? ? ? tan( A ? B) ? ? ? ? 2 3 ? ?1 1 1 1 ? tan A ? tan B 1? ? 2 3
(2)由(1)知 C 为钝角, C 是最大角,最大边为 c=1,

tan C ? ?1,? C ? 135?,? sin C ?

2 , 2
1? 10 10 ? 5 。 5 2 2

由正弦定理:

c sin B b c ? ? 得b ? sin B sin C sin C

24. 解: (Ⅰ)因为∠BCD ? 90 ? 60 ? 150 , CB ? AC ? CD , 所以∠CBE ? 15 . 所以 cos∠CBE ? cos(45 ? 30 ) ? (Ⅱ)在 △ ABE 中, AB ? 2 , 由正弦定理
AE 2 . ? sin(45 ? 15 ) sin(90 ? 15 )
A

6? 2 . 4

D C E

B

2sin 30 故 AE ? cos15 ?

2?

1 2

6? 2 4

? 6? 2

25. 解析:

a b c ? ? ? 2R (1)由正弦定理得 sin A sin B sin C ,得
21

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, C ? 2R sin C

cos B sin B ?? 2 sin A ? sin C ,即 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 代入 cos C
2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? 0
∵ A+B+C= ? ∴ sin(B+C)=sinA ∴ 2 sin A cos B ? sin A ? 0

∵ sin A ? 0



cos B ? ?

1 2

又 ∵ 角 B 为三角形的内角



B?

2? 3

(2)将

b ? 13 , a ? c ? 4, B ?

2? 3 代入余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得
2? 3

13 ? a 2 ? (4 ? a) 2 ? 2a(4 ? a) cos
2 ∴ a ? 4a ? 3 ? 0

∴ a ? 1或a ? 3

22


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