2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数极值课件6 新人教B版选修2-2_图文

1.3.2 利用导数研究函数的最值 一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定 义, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数 值都大, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极 大值; 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函 数值都小, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个 极小值. y f ( x4 ) f ( x1 ) o a a X1 X2 X3 X4 b x (1)极值是一个局部概念. (2)函数的极值不是唯一的. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部. 一般地,当函数f(x)在x0处连续时, 判别 f(x0)是极大(小)值的方法是: (1) 如果在x0附近的左侧 f ’(x) >0, 右侧 f ’(x) <0, 那么,f(x0)是极大值; (2) 如果在x0附近的左侧f ’(x) <0, 右侧 f ’(x) >0, 那么, f(x0)是极小值. 求函数y=f(x)在[a,b]的最大(小)值 步骤如下: (1)求函数f(x)在开区间(a,b)内所有 使f ’(x)=0的点; (2)计算函数f(x)在区间内使f ’(x)=0的 所有点和端点的函数值,其中最大的一个 为最大值,最小的一个为最小值。 1 3 例1.已知函数y= x -4x+4, 3 (1)求函数的极值,并画出函数的大致 图象; (2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和 最小值 1 3 解:(1)y’=( x -4x+4)’=x2-4 3 =(x+2)(x-2) 令y’=0,解得x1=-2,x2=2 当x变化时,y’,y的变化情况如下表: x y’ ? ??, ?2? + -2 0 28 极大值 3 (-2,2) - 2 0 ? 2, ??? + y ↗ ↘ 4 极小值? 3 ↗ 28 ∴当x=-2时,y有极大值且y极大值= 3 4 当x=2时,y有极小值且y极小值=- 3 28 1 (2)f(-3)=7,f(4)=9 = , 3 3 与极值点的函数值比较得到该函数在区 间[-3,4]上 1 最大值是9 , 3 4 最小值是- 3 y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 例2.求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2] 上的最大值与最小值 解:先求导数,得y ’=4x3-4x, 令y ’=0 即4x3-4x=0, 解得x1=-1,x2=0,x3=1. 导数y ’的正负以及f(-2),f(2)如下表: x -2 (-2,-1) -1 y’ y 13 - ↘ 0 4 (-1,0) + ↗ 0 0 5 (0,1) - ↘ 1 0 4 (1,2) + ↗ 2 13 从上表知: 当x=±2时,函数有最大值13, 当x=±1时,函数有最小值4 1 2 例3求函数f ? x ? ? ln?1 ? x ? ? x 在区间?0,2? 4 上的最值。 [解] 显然a≠0. f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4). 令f′(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去). (1)当a>0时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f ( x) [-1,0) + 0 0 最大值 (0,2] - 所以当x=0时,f(x)取得最大值,所以f(0)=b=3. 又f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2). 所以当x=2时,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,a=2. (2)当a<0时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f ( x) [-1,0) - 0 0 最小值 (0,2] + 所以当x=0时,f(x)取得最小值,所以b=-29. 又f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1). 所以当x=2时,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,a=-2. 综上所述a=2,b=3或a=-2,b=-29. [点拨] 本题运用了求极值、最值的方法,采用了待定系数法 确定a,b的值,体现了方程的思想和分类讨论的思想.

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