【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第2章 第7讲 函数图象]

第 7 讲 函数图象
一、选择题 1.函数 y=|x|与 y= x2+1在同一坐标系上的图像为( )

解析

因为|x|≤ x2+1, 所以函数 y=|x|的图像在函数 y= x2+1图像的下

方,排除 C、D,当 x→+∞时, x2+1→|x|,排除 B,故选 A. 答案 A 1 的图象与函数 y=2sin π x(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐 1-x ). B.4 C.6 D.8

2.函数 y=

标之和等于( A.2 解析

此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题.两

个函数都是中心对称图形.

如上图,两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称,两个图象在[-2,4]上共 8 个公共点,每两个对应交点横坐标之和为 2,故所有交点的横坐标之和为 8. 答案 D

π? ?1? ? π 3. 已知函数 f(x)=? e?x-tan x?-2<x<2?, 若实数 x0 是函数 y=f(x)的零点, 且 0<t<x0, ? ? ? ?

则 f(t)的值 A.大于 1 解析 B.大于 0 C.小于 0

( D.不大于 0

).

?1? ? π π? 分别作出函数 y = ? e? x 与 y = tan x 在区间 ?-2,2? 上的图象,得到 ? ? ? ?

π ?1? 0<x0<2,且在区间(0,x0)内,函数 y=? e?x 的图象位于函数 y=tan x 的图象上 ? ? 方,即 0<x<x0 时,f(x)>0,则 f(t)>0,故选 B. 答案 B ? ? 2? ? 2 4.如图,正方形 ABCD 的顶点 A?0, ?,B? ,0?,顶点 C、D 位于第一象限, 2? ?2 ? ? 直线 l:x=t(0≤t≤ 2)将正方形 ABCD 分成两部分,记位于直线 l 左侧阴影 部分的面积为 f(t),则函数 S=f(t)的图象大致是 ( ).

解析 当直线 l 从原点平移到点 B 时,面积增加得越来越快;当直线 l 从点 B 平移到点 C 时,面积增加得越来越慢.故选 C. 答案 C

5.给出四个函数,分别满足①f(x+y)=f(x)+f(y), ②g(x+y)=g(x)·g(y),③h(x·y)=h(x)+h(y), ④m(x·y)=m(x)·m(y).又给出四个函数的图象,那么正确的匹配方案可以 是( )

A.①甲,②乙,③丙,④丁 C.①丙,②甲,③乙,④丁 解析

B.①乙,②丙,③甲,④丁 D.①丁,②甲,③乙,④丙

图象甲是一个指数函数的图象,它应满足②;图象乙是一个对数函数

的图象,它应满足③;图象丁是 y=x 的图象,满足①. 答案 D

6.如右图,已知正四棱锥 S-ABCD 所有棱长都为 1, 点 E 是侧棱 SC 上一动点,过点 E 垂直于 SC 的截面 将正四棱锥分成上、下两部分.记 SE=x(0<x<1),截 面下面部分的体积为 V(x),则函数 y=V(x)的图象大 致为 ( ).

1 解析 (1)当 0<x<2时, 过 E 点的截面为五边形 EFGHI(如图 1 所示), 连接 FI,

由 SC 与该截面垂直知,SC⊥EF,SC⊥EI,∴EF=EI=SEtan 60° = 3x,SI =2SE=2x, IH=FG=BI=1-2x, FI=GH= 2AH=2 1 的面积 S=FG×GH+2FI× 2x, ∴五边形 EFGHI

?1 ? EF2-?2FI?2=2 2x-3 2x2, ? ?

1 1 1 ∴ V(x) = VC - EFGHI + 2VI - BHC = 3 (2 2 x - 3 2 x2)×CE + 2× 3 × 2 ×1×(1 -

2 2 2x)× 2 (1-2x)= 2x3- 2x2+ 6 ,其图象不可能是一条线段,故排除 C, D. 1 (2)当2≤x<1 时, 过 E 点的截面为三角形,如图 2,设此三角形为△EFG,则 EG=EF=ECtan 60° = 3(1-x),CG=CF=2CE=2(1-x),三棱锥 E-FGC 2 底面 FGC 上的高 h=ECsin 45° = 2 (1-x), 1 1 2 ∴V(x)=3×2CG· CF· h= 3 (1-x)3, ∴V′(x)=- 2(1-x)2, ?1 ? ? ?1 ?? 又显然 V′(x)=- 2(1-x)2 在区间?2,1?上单调递增,V′(x)<0?x∈?2,1??, ? ? ? ? ?? 2 ?1 ? ∴函数 V(x)= 3 (1-x)3 在区间?2,1?上单调递减,且递减的速率越来越慢, ? ? 故排除 B,应选 A. 答案 A 二、填空题 7. 函数 y= 1 的图象与函数 y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之 1-x

和等于________. 解析 函数 y= -1 1 = 和 y=2sin πx 的图象有 1-x x-1

公共的对称中心(1,0),画出二者图象如图所示, 易知 y= 1 与 y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象共有 1-x

8 个交点,不妨设其横坐标为 x1,x2,x3,x4,x5, x6,x7,x8,且 x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8, 由对称性得 x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2, ∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=8. 答案 8 8.使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是________. 解析 作出函数 y=log2(-x)及 y=x+1 的图象. 其中 y=log2(-x)与 y=log2 x

的图象关于 y 轴对称,观察图象(如图所示)知-1<x<0,即 x∈(-1,0).也可把 ?-x>0, 原不等式化为? x+1 后作图. ?-x<2

答案 (-1,0) 9 .设 f(x) 表示- x + 6 和- 2x2 + 4x + 6 中较小者,则函数 f(x) 的最大值是 ________. 解析 在同一坐标系中,作出 y=-x+6 和 y=-2x2+4x+6 的图象如图所

示,可观察出当 x=0 时函数 f(x)取得最大值 6.

答案

6
1 x ) 的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 y=x 对称,令 2

10.已知函数 f(x)=(

h(x)=g(1-|x|),则关于 h(x)有下列命题: ①h(x)的图象关于原点对称; ②h(x)为偶函数; ③h(x)的最小值为 0; ④h(x)在(0,1)上为减函数. 其中正确命题的序号为_________.(将你认为正确的命题的序号都填上) 解析 g(x)= log 1 x,
2

∴h(x)= log 1 (1-|x|),
2

?1 ? x ? 0 ?log 1 ?1 ? x ?, ? 2 , ∴h(x)= ? 0 ? x ?1 ?log 1 ?1 ? x ?, ? 2 得函数 h(x)的大致图象如图,故正确命题序号为②③.

答案 ②③ 三、解答题 11.讨论方程|1-x|=kx 的实数根的个数. 解 设 y=|1-x|, y=kx, 则方程的实根的个数就是函数 y=|1-x|的图象与 y=kx 的图象交点的个数. 由右边图象可知:当-1≤k<0 时,方程没有实数根; 当 k=0 或 k<-1 或 k≥1 时,方程只有一个实数根; 当 0<k<1 时,方程有两个不相等的实数根. 1 12.设函数 f(x)=x+ 的图象为 C1,C1 关于点 A(2,1)对称的图象为 C2,C2 对应

x

的函数为 g(x). (1)求 g(x)的解析式; (2)若直线 y=m 与 C2 只有一个交点,求 m 的值和交点坐标. 解析 (1)设点 P(x,y)是 C2 上的任意一点,

则 P(x,y)关于点 A(2,1)对称的点为 P′(4-x,2-y), 1 代入 f(x)=x+ ,

x

可得 2-y=4-x+ ∴g(x)=x-2+

1 1 ,即 y=x-2+ , 4-x x-4

1 . x-4

?y=m, (2)由? 1 y=x-2+ , x-4 ?

消去 y

得 x2-(m+6)x+4m+9=0,Δ =(m+6)2-4(4m+9), ∵直线 y=m 与 C2 只有一个交点, ∴Δ =0,解得 m=0 或 m=4. 当 m=0 时,经检验合理,交点为(3,0); 当 m=4 时,经检验合理,交点为(5,4). 13.当 x∈(1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,求 a 的取值范围. 解 设 f1(x)=(x-1)2 ,f2(x)=logax ,要使当 x∈(1,2)
2

时,不等式 (x-1)2<logax 恒成立, 只需 f1(x)=(x-1)2 在(1,2)上的图象在 f2(x)=logax 的下方即可.

当 0<a<1 时,综合函数图象知显然不成立. 当 a>1 时,如图,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2 的图象在 f2(x)=logax 的 下方, 只需 f1(2)≤f2(2), 即(2-1)2≤loga2,loga2≥1, ∴1<a≤2. ∴a 的取值范围是(1,2] 14.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图象并判断其零点个数; (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间; (4)根据图象写出不等式 f(x)>0 的解集; (5)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有三个不相等的实根}. 解 (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4. ?x?x-4?,x≥4, (2)∵f(x)=x|m-x|=x|4-x|=? ?-x?x-4?,x<4.

∴函数 f(x)的图象如图:

由图象知 f(x)有两个零点. (3)从图象上观察可知:f(x)的单调递减区间为[2,4]. (4)从图象上观察可知: 不等式 f(x)>0 的解集为:{x|0<x<4 或 x>4}. (5)由图象可知若 y=f(x)与 y=m 的图象有三个不同的交点,则 0<m<4,∴集 合 M={m|0<m<4}.


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